Шпора по матану

1.Мн-во операций над мн-вами
Мн-во – совокупность объектов, обладающих определенным св-вом.
Пересечением двух мн-в А и В н-ся мн-во С, состоящее из Эл-ов,
принадлежащих как мн-ву А, так и мн-ву В.(А={1,2,3}, B={2,5}, A?B={2})
Объединением двух мн-в А и В н-ся мн-во С, состоящее из Эл-ов,
принадлежащих хотя бы одному из мн-в А или В.(A={1,2,3}, B={2,5}
AuB={1,2,3,5}Разностью С двух мн-в А и В н-ся мн-во, состоящ. Из Эл-ов мн-
ва А и не принадл. В(Разностью мн-ва целых чисел и мн-ва четных чисел явл.
Мн-во нечетных чисел) Если А подмн-во В, то разность В\А н-ся дополнением А
до В. Дополнением мн-ва А н-ся мн-во, состоящ. Из Эл-ов универсального мн-
ва не принадлежащих мн-ву А.

2.Мн-во вещ.чисел, основные св-ва точных граней
Наиболее употребительные числовые мн-ва: N-мн-во натуральных чисел Q-мн-во
рациональных чисел R-мн-во вещественных чисел C-мн-во комплексных чисел
(Cегмент: [a,b]={x|aА.

7. Б-м и б-б пос-ти: опр, осн. Св-ва, связь между ними
Пос-ть Xn н-ся б-б, если для любого положительного числа А существует номер
N такой, что при всех n>N выполняется нер-во |Xn|>A, т.е.
((A>0)((N=N(A))((n>N):|Xn|>A Любая б-б пос-ть явл. неограниченной. Однако
неограниченная пос-ть может и не быть б-б.
Пос-ть {An} н-ся б-м, если для любого положительного числа ? (сколь бы
малым мы его ни взяли) существует номер N=N(?) такой, что при всех n>N
выполняется нер-во |An|< ?, т.е. ((?>0)((N=N(?))( (n>N):|An|< ?
Св-ва: 1.Если {Xn} б-б пос-ть и все ее члены отличны от нуля, то по-сть
{1\Xn} б-м и обратно. 2.Сумма и разность двух б-м пос-тей есть б-м пос-ть.
(следствие: алгебраическая сумма любого конечного числа б-м постей есть б-м
пость.) 3.Произведение двух б-м постей есть б-м пость.4. Произведение
ограниченной пости на бесконечно малую пость есть пость б-м.

8.Понятие сходящихся постей, lim пости.
Опр Если для любого ( >0 найдется такой номер N, для любого n >N:(xn-a(< (
Все посл-ти имеющие предел наз-ся сходящимися, а не имеющее его наз-ся
расходящимися.
Опр Число а н-ся пределом пости Xn для любой точки окрестности а, сущ.
N=N((), такой, что все Эл-ты Xn  с номерами n>N находятся в этой (-
окрестности.

9.Основные св-ва сход. Постей
Теорема «Об единственности пределов»
Если посл-ть xn сходится, то она имеет единственный предел. Док-во (от
противного)
{xn} имеет два разл. Предела a и b, а(b. Тогда согласно определению
пределов любая из окрестностей т. а содержит все эл-ты посл-ти xn за
исключением конечного числа и аналогичным св-вом обладает любая окрестность
в точке b. Возьмем два радиуса (= (b-a)/2, т.к. эти окрестности не
пересекаются, то одновременно они не могут содержать все эл-ты начиная с
некоторого номера. Получим противоречие теор. док-на.
Теорема «Сходящаяся посл-ть ограничена»
Пусть посл-ть {xn}(а ( >о N:(n>N(xn-a(<( эквивалентна а-(N =>
что каждый из членов посл-ти удовлетворяет неравенству(xn(( c = max {(a-
((,(a+((,(xn(,…,(xn-1(}
Теорема «Об арифметических дейсьвиях»
Пусть посл-ть {xn}(a,{yn}(b тогда арифметические операции с этими посл-тями
приводят к посл-тям также имеющие пределы, причем:
а) предел lim(n(()(xn(yn)=a(b
б) предел lim(n(()(xn(yn)=a(b
в) предел lim(n(()(xn/yn)=a/b, b(0
Док-во: а)xn(yn=(а+(n)((b+(n)=(a(b)+((n((n) Правая часть полученная в
разности представляет сумму числа a+b б/м посл-тью, поэтому стоящая в левой
части xn+yn имеет предел равный a(b. Аналогично др. св-ва.
б) xn(yn=(а+(n)((b+(n)=ab+(nb+a(n+(n(n
(n(b – это произведение const на б/м
а((n(0, (n(n(0, как произведение б/м.
=> поэтому в правой части стоит сумма числа а(b+ б/м посл-ть. По т-ме О
связи сходящихся посл-тей в б/м посл-ти в правой части xn(yn сводится к a(b

10. Предельный переход в нер-вах.
11. Монотонные пос-ти
Посл-ть {xn} наз-ся возр., если x1<…x2>…>xn>xn+1>…;
невозр., если x1(x2(…(xn(xn+1(…
Все такие посл-ти наз-ся монотонными. Возр. и убыв. наз-ся строго
монотонными
Монотонные посл-ти ограничены с одной стороны, по крайней мере. Неубывающие
ограничены снизу, например 1 членом, а не возрастыющие ограничены сверху.

12. Число е
Рассмотрим числ. посл-ть с общим членом xn=(1+1/n)^n (в степени n)(1) .
Оказывается, что посл-ть (1) монотонно возр-ет, ограничена сверху и сл-но
явл-ся сходящейся, предел этой пос-ти наз-ся экспонентой и обозначается
символом е(2,7128…
Док-ем формулу lim(n->?)(1+1/n)^n(в степени n)=е
yN=[pic]; zN=yN +[pic]
1) yN монотонно растет
2) yN0
4) zN монотонно убывает
Доказателство:
zN-zN+1 = yN +[pic] - yN+1 -[pic]= [pic]+[pic]-[pic]=[pic]
2=y1 противоречие

13. Th о вложенных промежутках
Пусть на числовой прямой задана посл-ть отрезков
[a1,b1],[a2,b2],…,[an,bn],…
Причем эти отрезки удовл-ют сл. усл.:
1) каждый посл-щий вложен в предыдущий, т.е. [an+1,bn+1]([an,bn], (n=1,2,…;
2) Длины отрезков (0 с ростом n, т.е. lim(n(()(bn-an)=0. Посл-ть с
указанными св-вами наз-ют вложенными.
Теорема  Любая посл-ть вложенных отрезков содержит единную т-ку с
принадлежащую всем отрезкам посл-ти одновременно, с общая точка всех
отрезков к которой они стягиваются.
14.Понятие ф-ии, способы задания, классификация
15.Предел ф-ии в точке(Гейне,Коши,правый,левый) Предел ф-ии на
бесконечности
16. Th о пределе ф-ии
17. Первый замечательный предел
[pic]
Доказательство: докажем для [pic]справедливость неравенства [pic]
В силу четности входящих в неравенство  ф-ий,  докажем  это  неравенство  на
промежутке[pic]
Из рисунка видно, что площадь кругового сектора
[pic]
[pic], так как х>0, то [pic],
2. следовательно, что [pic]

[pic]

[pic]

1. Покажем, что [pic]
[pic]
[pic]

2. Докажем, что [pic]
[pic]
3. Последнее утверждение:
 [pic]

18. Второй замечательный предел
lim(n(()(1+1/n)^n=e  Док-во:
x(+( n x:n=[x] => n(x 1/(n+1)<1/x<1/n
Посколько при ув-нии основания и степени у показательной ф-ции, ф-ция
возрастает, то можно записать новое неравенство (1/(n+1))^n((1+1/n)^x(
(1+1/n)^(n+1) (4)
Рассмотрим  пос-ти стоящие справа и слева. Покажем что их предел число е.
Заметим (х(+(, n(()
lim(n(()(1+1/(n+1))=lim(n(()(1+1/(n+1))^n+1-1=
lim(n(()(1+1/(n+1))^n+1(lim(n(()1/(1+1/(n+1))=e
lim(n(()(1+1/n)^n+1= lim(n(()(1+1/n)^n( lim(n(()(1+1/n)=e(1=e
19.Б-м ф-ии, действия над ними
Опр. Ф-ция ((х) наз-ся б/м  если ее предел в этой т-ке равен 0 из этого
определения вытекает следующее св-во б/м ф-ций:
а) Алгебраическая сумма и произведение б/м ф-ций есть б/м ф-ции.
б) Произведение б/м ф-ции на ограниченную ф-цию есть б/м ф-ция, т.е. если
((х)(0 при х(х0, а f(x) определена и ограничена (( С:(((х)((С)=> ((х)((х)(0
при х(х0
Для того чтобы различать б/м по их скорости стремления к 0 вводят сл.
понятие:
1) Если отношение 2-х б/м ((х)/((х)(0 при х(х0 то говорят что б/м ( имеет
более высокий порядок малости чем (.
2) Если ((х)/((х)(A(0 при х(х0 (A-число), то ((х) и ((х) наз-ся б/м одного
порядка.
3) если ((х)/((х)(1 , то ((х) и ((х) наз-ся эквивалентными б/м (((х)~((х)),
при х(х0.
4) Если ((х)/(^n(х)(А(0, то ((х) наз-ся б/м n-ного порядка относительно
((х).
Аналогичные определения для случаев: х(х0-, х(х0+, х(-(, х(+( и х((.

20. Б-б ф-ии, связь с б-м
  Опр. Ф-ия y=f(x) называется бесконечно большой в точке а, если ее предел
  в этой точке равен бесконечности. (f(x)-б-б)=lim(x->a)(f(x))=?

  Свойства :Пусть y=f(x) и y=g(x) - бесконечно большие ф-ии в точке а.

  Ф-ия ((х) имеет предел в точке а, отличный от 0

  Ф-ия ((х) и ((ч) – бесконечно малые

  Тогда справедливы следующие утверждения:

1. Произведение двух бесконечно больших ф-ий – бесконечно большая ф-ия.
  [pic]

2. Произведение бесконечно больших на ф-ию, имеющую отличный от нуля  предел
  - бесконечно большая.  [pic]
3. Ф-ия, обратная величине бесконечно большой –  есть  бесконечно  малая,  и
  наоборот.
[pic]

21.Сравнение б-м ф-ии, сравнение б-б ф-ии
22.Определение непрерывности в точке, на отрезке.
Опр1.Ф-ия у=f(x) н-ся непрерывной в т.Х0, если lim(x->x0)(f(x))=f(x0)
Опр2.Ф-ия f(x) н-ся непрерывной в т Х0, если для любой пос-ти значений
аргумента Х: х1,х2,х3….,хn,…. Сходящейся к Х0 соответствующая пос-ть
значений ф-ии: f(x1), f(x2),f(x3),....,f(xn),... сходится к числу f(x0),
т.е. (({xn}->x0, xn€X):{f(xn)}->f(x0)
Опр3. Ф-ия f(x) н-ся непрерывной в т. Х0, если для любого ?>0 найдется
отвечающее ему положительное число ? такое что для всех х, удовлетворяющих
условию |x-x0|< ? выполняется нер-во |f(x)-f(x0)|< ?
Опр4. Ф-ия f(x) н-ся непрерывной в точке х0, если ее приращение в этой
точке является бесконечно малой функцией при ?x->0, т.е. lim(?x->0)( ?y)=0

23.Th о сумме, разн, пр, частн непрер ф-ии
Th Пусть ф-ии f(x) и g(x) непрерывны в точке х0. Тогда ф-ии f(x)±g(x),
f(x)g(x),f(x)\g(x) также непрерывны в этой точке(для частно g(x0)?0)
Докво.Т.к. ф-ия f(x) непрерывна в точке х0, то lim(x->x0)(g(x))=g(x0).
Тогда по теореме о пределах ф-ии пределы ф-ии f(x)+g(x),f(x)g(x) b
f(x)\g(x) существуют и соответственно равны
f(x0)±g(x0),f(x0)g(x0),f(x0)\g(x0)(g(x0)?0).Но эти величины равны
соответствующим значениям ф-ии в точке х0.Следовательно, согласно
определению ф-ии f(x)±g(x),f(x)g(x),f(x)\g(x) непрерывны в точке х0

24.Точки разрыва ф-ии: (не) устранимый разрыв,1,2 рода
Точки, в которых ф-ия не является непрерывной, называются точками разрыва ф-
ии.
Все т-ки р-рыва делятся на 3 вида: т. устранимого р-рыва; точки р-рыва 1-го
, и 2-го рода.
а) если в т-ке х0 ( оба односторонних предела, которые совпадают между
собой f(x0+)= f(x0-), но ( f(x0), то такая т-ка наз-ся точкой устранимого р-
рыва.
Если х0 т-ка устранимого р-рыва, то можно перераспределить ф-цию f  так
чтобы она стала непр. в т-ке х0. Если по ф-ции f построить новую ф-цию
положив для нее знач. f(x0)= f(x0-)=f(x0+) и сохранить знач. в др. т-ках,
то получим исправл. f.
б) если в т-ке х0 ( оба 1-стороних предела f(x0(), которые не равны между
собой f(x0+)(f(x0-), то х0 наз-ся т-кой р-рыва первого рода.
в) если в т-ке х0 хотя бы 1 из односторонних пределов ф-ции не ( или
бесконечен, то х0 наз-ся т-кой р-рыва 2-го рода.

25.Th об устойчивости знака непрерывной ф-ии
26.1 Th Больцано-Коши (th о прохождении ф-ии через нулевое значение при
смене знаков)
Если f(x) непр. на отрезке (a,b) и принимает на концах этого отрезка
значение разных знаков f(a) f(b), то ( т-ка с((a,b),в которой ф-ия
обращается в0.
Док-во Одновременно содержит способ нах-ния корня ур-ния f(x0)=0 методом
деления отрезка пополам. f(d)=0 c=d Т-ма доказана.
Пусть f(d)(0 [a,d] или [d,b] ф-ция f принимает значение разных знаков.
Пусть для определ-ти [a,d] обозначим через [a1,b1]. Разделим этот отрезок
на 2 и проведем рассуждение первого шага док-ва в итоге или найдем искомую
т-ку d или перейдем к новому отрезку [a2,d2] продолжая этот процесс мы
получим посл-ть вложения отрезков [a1,b1]>[a2,b2] длинна которых (a-
b)/2^n(0, а по т-ме о вл-ных отрезков эти отрезки стягиваются к т-ке с. Т-
ка с явл. искомой с:f(c)=0. Действительно если допустить, что f(c)(0 то по
св-ву сохр. знаков в некоторой ( окрестности, т-ке с f имеет тот же знак
что и значение f(c) между тем отрезки [an,bn] с достаточно N попабают в эту
окрестность и по построению f имеет разный знак на концах этих отрезков.

27.2 Th Больцано-Коши(Th о прохождении непрерывной ф-ии через любое
промежуточное значение)
28.1 Th Вейерштрасса(Th об ограниченности непрерывной на сегменте ф-ии)
Т-ма 1(о огран. непр. ф-ции на отрезке). Если f(x) непр. на [a,b], тогда
f(x) огран. на этом отрезке, т.е. ( с>0:(f(x)((c (x((a,b).
Док-во т-мы 1.  Используем метод деления отрезка пополам. Начинаем от
противного; f неогр. на [a,b], разделим его, т.е. тогда отрезки [a;c][c;b]
f(x) неогр.
Обозн. [a1,b1] и педелим отрез. [a2,b2], где f-неогр. Продолжая процедуру
деления неогр. получаем послед. влож. отрезки [an;bn] котор. оттяг. к т-ке
d (d=c с надстройкой) из отрезка [a,b], общее для всех отр. Тогда с одной
стороны f(x) неогр. в окр-ти т-ки d на конц. отрезка [an,bn], но с др.
стороны f непр. на [a,b] и => в т-ке d и по св-ву она непр. в некоторой
окрестности d. Оно огран. в d => получаем против. Поскольку в любой окр-ти
т-ки d нах-ся все отрезки [an;bn] с достаточно большим 0.
Теорема ВЕЙЕРШТРАССА. Эти теремы неверны если замкнутые отрезки заменить на
 др. пр-ки

29. 2 Th Вейерштрасса(Th о достижении непрерывной на отрезке ф-ии своих
точных граней)
Если f(x) непр. на [a,b], тогда она достигает своего экстр. на этом
отрезке, т.е. ( т-ка max X*:f(x*)(f(x) (x([a,b], т-ка min X_:f(x_)(f(x)
(x([a,b].
Док-во.Обозначим E(f) – множиством значений ф-ии f(x) на отр. [a,b] по
предыд. т-ме это мн-во огран. и сл-но имеет конечные точные грани
supE(f)=supf(x)=(при х([a,b])=M(<(). InfE(f)= inff(x)=m(m>-(). Для опр.
докажем [a,b] f(x) достигает макс. на [a,b], т.е. ( х*:f(x)=M. Допустим
противное, такой т-ки не ( и сл-но f(x)0
!0 1(c(M-f(x)) => f(x) (M-1/c
(x([a,b]
Однако это нер-во противор., т.к. М-точная верхн. грань f на [a,b] а в
правой части стоит “C”
Теорема ВЕЙЕРШТРАССА. Эти теремы неверны если замкнутые отрезки заменить на
 др. пр-ки

30.Th о непрерывности сложной ф-ии
31.Th о непрерывности обратной ф-ии(без док-ва, примеры)
Пусть ф-ия y=f(x) определена, строго монотонна и непрерывна на некотором
промежутке Х и пусть У-множество ее значений. Тогда на множестве У обратная
ф-ии x=?(y) одназначна, строго монотонна и непрерывна.



32.Понятие производной
Пусть функция y=f(x) определена  в  некоторой  окрестности  точки  x0.
Пусть ?x – приращение
аргумента в точке x0, а ?y=f(x0+?x)-f(x0)– соответствующее  приращение
функции. Составим
отношение ?y/(поделить)?x этих  приращений  и  рассмотрим  его  предел
при?x->0. Если указанный
предел существует, то он называется производной функции f в точке x0 и
обозначается [pic], [pic]
или [pic], то есть
                                   [pic].
Операция  вычисления  производной  называется  дифференцированием,   а
функция, имеющая
производную в точке, – дифференцируемой в  этой  точке.  Если  функция
имеет производную в
каждой точке интервала (a,b), то она  называется  дифференцируемой  на
этом интервале.

33.Геометрический смысл производной
а) Геометрический смысл производной. Рассмотрим график функции y=f(x),
дифференцируемой в
точке x0 (рис. 13). Проведем через точки M0(x0,y0) и  M(x0+?x,  y0+?y)
графика прямую l, и пусть
B(угол Бэтта) - угол ее наклона к оси х.  Тогда  (1)?y/(деленный)?x=tg
B(бэтта)


Рис. 13.
Если ?x стремится к нулю, то ?y также стремится  к  нулю,  и  точка  M
приближается к точке M0, а
прямая l - к касательной l0(эль нулевая), образующей  с  осью  x  угол
?(альфа). При этом
равенство (1) принимает вид: (2)  f  ’(x0)=tg?’  откуда  следует,  что
производная функции в точке
равна тангенсу угла наклона  касательной  к  графику  функции  в  этой
точке.

34.Понятие дифференцируемости ф-ии
Df : Ф-ия [pic] дифференцируема в точке х0 , если приращение  ф-ии  в  точке
сможет быть представлено в виде:
[pic], А – const.
Dh: Для дифференцирования ф-ии в т. х0 , необходимо и  достаточно,  чтобы  в
этой точке существовала производная.
Доказательство: (необходимость)
[pic]
(достаточность): [pic]

35.Непрерывность и диф.
36.Понятие дифференциала ф-ии. Геом.смысл приблеженных вычислений с помощью
dy
Опр. Дифференциалом ф-ии y=f(x) в точке х0 н-ся главная, линейная от-но  ?х,
часть приращенная ф-ии в этой  точке.  Для  обозначения  дифференциала  ф-ии
используют символ dy.
Из Df дифференцируемости  следует,  что  приращение  дифф.  ф-ии  [pic]можно
представить в виде [pic]
Из равенства нулю предела следует, что [pic]-  б.м.  более  высшего  порядка
малости, чем [pic], и [pic]
Поскольку [pic]- б.м. одного порядка малости.
[pic]- б.м. одного порядка малости [pic]- б.м. эквивылентные, т.е. [pic]
Пусть [pic]

**************
[pic]
Zm1: [pic]и х – независимые переменные, т.е. [pic]
Zm1: [pic] для независимых переменных.
[pic]

37.Правила диференц суммы,разн,произв,частн
     1) [pic];
     2) [pic], где [pic] - постоянная;
     3) [pic];
     4) [pic];
     5) если [pic], а [pic], то  производная  сложной  функции  [pic]
        находится по формуле
                                   [pic],
где   индексы   указывают,   по    какому    аргументу    производится
дифференцирование.

38.Вычислен производных элемент.ф-ий: x^n,nЄN,cos,sin,tg ,ctg,
loga(основание)Х(а>0,a?1,x>0)
39.Th о произв сложной ф-ии
Пусть:
1. [pic]- дифф. в точке y0 .
2. [pic]- дифф. в точке х0 .
3. [pic]
тогда сложная ф-ия [pic]- дифф. в точке х0 и справедлива формула:
[pic]
Доказательство:
1. [pic]- дифф. в точке y0 [pic]
2. [pic]- дифф. в точке х0 [pic]
[pic]
3. [pic]- дифф. в точке х0 а значит непрерывна в этой точке[pic].
[pic]
[pic]
[pic]

40.Производная ф-ий x^?, ?ЄR(прием логарифм. Диф)
41.Th о производной обратной ф-ии
Предложение: Если производная обратной функции g для ф-ции f существует в
точке y0, то g’(y0)=1/f’(x0), где y0=f(x0)
Доказательство: g(f(x))=x g’(f(x))=1
g’(f(x0))=g’(f(x0))*f’(x0)=1, g’(f(x0))=g(y0)=1/f’(x0)
Теорема: Пусть ф-ция f строго монотонно и непрерывно отображает (?,?) в
(а,b) тогда ? обратная ей ф-ция g, которая строго монотонно и непрерывно
отображает (а,b) в (?,?). Если f диф-ма в точке x0?(?,?) и f’(x0)?0, то g
диф-ма в точке y0=f(x0) и g’(y0)=1/f’(x0)
Доказательство:
Возьмем произвольную последовательность сходящуюся к y0: yN>y0, yN?y0 => ?
посл-ть xN: xN=g(yN), f(xN)=yN
g(yN)-g(y0)/yN-yO = xN-xO/f(yN)-f(yO) = 1/f(yN)-f(yO)/xN-xO > 1/f’(xo) при
n>?, получили при xN>xO g(yN)-g(yO)/yN-yO>1/f’(xO) => g’(уO)=1/f’(xO)

42.Произв ф-ии: arcsinx,arccosx,arctgx,acctgx,a^x(a>0,a?1)
1) x>“rcsin x по теореме имеем Arcsin’x=1/Sin’y, где Sin y=x при условии,
что Sin’y<0, получаем (используя производную синуса): Arcsin’x=1/Cos y,
т.к. “rcsin: [-1,1]>[-П/2,П/2] и Cos:[-П/2,П/2]>[0,1], то Cos y?0 и, значит
Arcsin’x = 1/Cos y = 1/(1-Sin2y)1/2 = 1/(1-x2)1/2
2) x>Arccos’x = -1/(1-x2)1/2
3) x>Arctg’x = 1/1+x2
4) x>Arcctg’x= -1/1+x2
5) y=a^x(в степени х) y ‘ =a^xlna Док-во:y=a^x является обратной для ф-ии
x=loga(a-основание)y. Т.к. x’(y)=(1/y)loga(a-осн)e, то из соотношения
loga(a-OCH)b=1/logb(b-OCH)a получим y’(x)=1/x’(y)=y/loga(a-OCH)e=a^x(в
степени х)lna

43.Производная высших порядков
Определение: Если ф-ция f диф-ма в некоторой окрестности точки xO, то ф-ция
f’(x):x>f’(x) в свою очередь может оказаться диф-мой в точке xO или даже в
некоторой  ее окрестности. Производная ф-ции f’(x) - называется второй
производной (или производной порядка 2) ф-ции f в точке xO и обознача ется
f”(x). Аналогично определяется третья и четвертая производная и так далее.
Для единообразия обозначаем через fN(xO) - производную порядка n функции f
в точке xO и при n=0 считаем f0(xO)=f(xO).
Замечание: Cуществование производной порядка n требует того чтобы
существовала производная пордка (n-1) уже в некоторой окрестности точки xO
(следует из теоремы о связи диф-ти и непрерывности), в таком случае функция
x>fN-1(x) непрерывна в точке xO, а при n?2 все производные порядка не выше
(n-2) непрерывны в некоторой окрестности точки xO.
Пусть функции у=f(х) и х=g(t) таковы, что из них можно составить сложную
функцию у=f(g(t)). Если существуют производные у’(х) и х’(t) то  cуществует
производная у’(t)=у’(х)*х’(t).
Пусть функции у=f(х) и х=g(t) таковы, что из них можно составить сложную
функцию у=f(g(t)) Если существуют производные у’(х) и х’(t) то  существует
производная у’(t)=у’(х)*х’(t)
+нужно док-во

44.Диференциалы высших порядков
dy= f‘(x)dx – диф. первого порядка ф-ции f(x) и обозначается d^2y, т.е.
d^2y=f‘‘(x)(dx)^2. Диф. d(d^(n-1)y) от диф. d^(n-1)y наз-ся диф. n-ного
порядка ф-ции f(x) и обознач. d^ny.
Опр-ие: Дифференциалом n-го порядка функции у=f(х) называется дифференциал
первого порядка от дифференциала (n-1)-го порядка. (обозначается dny)По
определению dny= d(dn-1y). Иногда dy называют диф. Первого порядка. В общем
случае, dny=f(n)(х)dxn, в предположении, что n-ая производная f(n)(х) сущ-
ет.
+нужно док-во

45.Возрастание и убывание ф-ии в точке. Достаточное условие возрастан и
убыван ф-ии в точке
46.Понятие локального экстремума, необходимое условие локального экстремума
Опр-ие: Функция у=f(х) имеет в точке x0 локальный максимум, если сущ-ет
окрестность (х0-(, х0+(), для всех точек х которой выполняется неравенство
f(х)(f(х0). Аналогично определяется локальный минимум, но выполняться
должно равенство f(х)(f(х0).
Теорема Ферма: Если функция у=f(х) имеет в точке х0 локальный экстремум и
дифференцируема в этой точке, то ее производная f'(х0) равна нулю.
Док-во: Проведем его для случая максимума в точке х0. Пусть  (х0-(, х0+() -
та окрестность, для точек которой выполняется неравенство
Здесь возможно как 1 и 2 варианты, но  | ?х| 0, будет ?y:?x ?0, поэтому
При ?х<0, будет ?y:?x ?0, поэтому
По условию теоремы, существует производная f'(х0)А это означает, что правая
производная fпр'(х0) и левая производная fл'(х0) равны между собой:
fпр'(х0)= fл'(х0)= f'(х0). Таким образом, с одной стороны, f'(х0)?0, с
другой стороны, f'(х0)?0, что возможно лишь, когда f'(х0)=0.

47.Th Роля
Пусть ф-ция f(x) удовл. сл. усл.
А)Непрерывна на [a,b]
Б) Дифференц. на (a,b)
В) принимает на коцах отрезков равные значения f(a)=f(b), тогда на (a,b)  (
т-ка такая что f‘(c)=0, т.е. с-крит. т-ка.
Док-во. Р-рим сначала, тривиальный случай, f(x) постоянная на [a,b]
(f(a)=f(b)), тогда f‘(x)=0 ( x ( (a,b), любую т-ку можно взять в кач-ве с.
Пусть f( const на [a,b], т.к. она непрер. на этом отрезке, то по т-ме
Вейерштрасса она достигает своего экстрем. на этом отрезке и max и min.
Поскольку f принимает равные знач. в гранич. т-ках, то хотя бы 1- экстр. –
max или min обязательно достигается во внутр. т-ке. с((a,b) (в противном
случае f=const), то по т-ме Ферма, тогда f‘(c)=0, что и требовалось д-ть.

48.Th Логранжа (формула конечн.приращен)
Пусть ф-ция f(x) непрер. на отрезке [a,b] и диф. на интервале (a,b),  тогда
( т. х  и x+(x ( [a,b] ( т-ка С лежащая между х и х+(х такая что спаведлива
ф-ла (f(x+(x)-f(x))=f(c)((x (7) => при сравнении с ф-лой приращения ф-ций с
диф. заметим, что (7)  явл.  точной  ф-лой,  однако  теперь  пр-ная  фолжна
считаться в некоторой средней т-ке С «алгоритм» выбора которой  неизвестен.
Крайнее значение (a,b) не запрещены.
Придадим ф-ле (7) классический вид => x=a x+(x=b+>  тогда  ф-ла  (7)=(f(b)-
f(a))/(b-a)=f‘(c) (7‘) – ф-ла конечных приращений Логранджа.
(f(b)-f(a))/(b-a)=f‘(c) (1)
Док-во сводится к сведению к т-ме Ролля. Р-рим вспом. ф-цию g(x)=f(x)-f(a)-
(f(b)-f(a))/(b-a) ( (x-a)
Пусть ф-ция g(x) удовл. всем усл. т-мы Ролля на [a,b]
А)Непрерывна на [a,b]
Б) Дифференц. на (a,b)
В) g(a)=g(b)=0
Все усл. Ролля соблюдены, поэтому ( т-ка С на (a,b) g‘(c)=0 g‘(c)=f‘(x)-
(f(b)-f(a))/(b-a). Ф-ла (1) наз-ся ф-лой конечных приращений.

49.Th Коши(обобщенная формула конечн.приращен)
Теорема Коши: Пусть функции у=f(х) и у=g(х) неперырвны на отрезке
[a,b],дифференцируемы хотя бы в открытом промежутке (a,b) и на этом
промежутке g'(х) не обращается в нуль. Тогда существует такая точка c (
(a,b), что выполняется  равенство (1)
Докозательство: Вначале отметим, что знаменатель g(b)-g(a) ? 0,т.к. из
равенства g(b)=g(a) следовало бы по теореме Ролля, что производная g'(х)
обратилась бы в нуль в какой-нибудь точке промежутка (a,b), что
противоречит условию g'(х)?0. Образуем вспомогательную функцию:
К ней применима теорема Ролля: F(х) непрерывна в [a,b] и дифференцируема в
(a,b)  как сумма функций, непрерывных и дифференцируемых в соответствующих
промежутках, кроме того, как легко проверить непосредственно, F(a)=F(b)=0.
Следовательно, существует точка c ( (a,b), , такая, что F'(c)=0. Вычисляем:

Подставляем x=c:


После деления на g'(х) (причем как говорилось раньше g'(х) (0), мы приходим
к формуле (1)

50.Усл. монотонности ф-ии по интервалам(монотонной,строгомонот ф-ии)
51.Правило Лопиталя (без док-ва,примеры)
Раскрытие 0/0. 1-е правило Лопиталя. Если lim(x(a)f(x)= lim(x(a)g(x), то
lim(x(a)f(x)/g(x)= lim(x(a)f‘(x)/g‘(x), когда предел ( конечный или
бесконечный.
Раскрытие (/(. Второе правило.
Если lim(x(a)f(x)= lim(x(a)g(x)=(, то lim(x(a)f(x)/g(x)=
lim(x(a)f‘(x)/g‘(x). Правила верны тогда, когда x((,x(-(,x(+(,x(a-,x(a+.
Неопред-ти вида 0(, (-(, 0^0, 1^(, (^0.
Неопр. 0(, (-( сводятся к 0/0 и (/( путем алгебраических преобразований. А
неопр. 0^0, 1^(, (^0 с помощью тождества f(x)^g(x)=e^g(x)lnf(x) сводятся к
неопр вида 0
52.Стационарные точки (достаточн.усл.экстремума)
53.Экстремум ф-ии, недиф. В данной точке.
Th пусть ф-ия f(x) дифференцируема всюду в некоторой окрестности точки с за
исключением,может быть,самой точки с.Тогда, если в пределах указанной
окрестности f’(x)>0 слева от точки с и f’(x)<0 справа от точки с,то функция
f(x) имеет в точке с локальный максимум.Если f’(x)<0 слева от точки с и
f’(x)>0 справа от точки с, то ф-ия имеет в точке с локальный минимум.
Если ф-ия имеет один и тот же знак слева и справа от точки с, то экстремума
в точке с нет.
(док-во такое же как в вопросе «Стационарные точки, первое достаточное
условие локального экстремума)

54.Два достаточных условия экстремума.
55.Направление выпуклости ф-ии (опр,признаки)
Опр. Ф-ция явл. выпуклой (вогнутой) на (a,b) если кассат. к граф-ку ф-ции в
любой т-ке интервала, лежит ниже (выше) гр. ф-ции.
y=y0+f‘(x0)(x-x0)=f(x0)+f‘(x0)(x-x0)  –  линейная  ф-ция  х,   который   не
превосходит f(x) и не меньше f(x) в случае вогнутости  неравенства  хар-щие
выпуклость (вогнутость) через диф. f(x)(f(x0)+ f‘(x0)(x-x0) ( x,x0((a;b)  f
вогнута на (а,b). Хорда выше (ниже), чем  график  для  вып.  ф-ций  (вогн.)
линейная ф-ция kx+b, в частности постоянна, явл. вып. и вогнутой.

56.Точки перегиба графика ф-ии(опр,признаки)
Опр. Т-ки разд. интервалы строгой выпуклости и строгой вогнутости наз-ся т-
ми перегиба т. х0 есть т-ка перегибы, если f‘‘(x0)=0 и  2-я  пр-ная  меняет
знак при переходе через х0=> в любой т-ке перегиба  f‘(x)  имеет  локальный
экстремум.
Геометр. т-ка перегиба хар-ся тем что проведенная касат. в этой т-ке  имеет
т-ки графика по разные стороны.



57.Достаточное усл. Точек перегиба
58.Ассимптоты графика: вертика, гор, накл. Геом смысл накл ассимптоты.
В  некоторых  случаях,  когда   график   ф-ии   имеет   бесконечные   ветви,
оказывается, что  при  удалении  точки  вдоль  ветви  к  бесконечности,  она
неограниченно  стремится  к  некоторой   прямой.   Такие   прямые   называют
асимптотами.
.Вертикальные асимптоты – прямая [pic]  называется  вертикальной  асимптотой
графика ф-ии [pic] в точке b , если хотя бы один из разносторонних  пределов
равен бесконечности.
Если ф-ия задана дробно-рациональным выражением, то  вертикальная  асимптота
появляется в тех точках, когда знаменатель равен нулю, а числитель не  равен
нулю.
********************
Наклонная асимптота – прямая [pic] наклонная асимптота ф-ии [pic], если  эта
ф-ия представлена в виде [pic]
Необходимый и достаточный признак существования наклонной асимптоты:
Для существования наклонной асимптоты [pic] к графику ф-ии [pic]  необходимо
и достаточно существование конечных пределов:
[pic]   [pic]
Доказательство: Пусть:
[pic]
Пусть:
[pic]
Следовательно существует асимптота.

-----------------------
[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]


[pic]

[pic]

[pic]

[pic]