Об интегральных формулах Вилля-Шварца для трехсвязных областей и ее применение к краевым задачам Дирихле
Работа из раздела: «
Математика»
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
|на тему: |
| |
|'Об интегральных формулах Вилля-Шварца |
|для трехсвязных областей и ее применение |
|к краевым задачам Дирихле'. |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
Оглавление.
Введение.
§1. О задачах Дирихле.
а) Задача Дирихле для круга – Задача Пуассона (классическая
формулировка).
б) Обобщенная задача Дирихле
в) Видоизмененная задача Дирихле.
г) Классическая задача Дирихле для многосвязных областей.
д) Общая формулировка задачи Дирихле.
е) Задача Неймана.
§2. О задачах Шварца-Пуассона.
а) Интеграл Шварца для круга.
б) Интегральная формула Пуассона.
в) Интеграл Пуассона для внешности круга.
г) Задача Дирихле-Пуассона для полуплоскости.
д) Задача Дирихле для кругового кольца.
§3. Интегральная формула Анри Вилля – проблема Дирихле для кругового
кольца (1912).
а) Преобразование интегральной формулы А.Вилля.
б) Функции Вейерштрасса (I(u), [pic](u), [pic](u)).
§4. О некоторых изменениях теории конформного отображения к краевым
задачам.
а) Об структурном классе интегральных представлений.
б) О решении задачи Дирихле методом Чизотти для многосвязных областей.
в) Интегральная формула Чизотти для заданных областей – решение задачи
Дирихле для соответствующих областей.
§5. Об интегральных представлениях Пуассона-Дирихле для заданных
областей.
§6. Интегральная формула Чизотти-Пуассона-Дирихле для конечных
трехсвязных областей.
Литература.
Введение.
В данной дипломной работе исследованы некоторые интегральные формулы
(классические представления) аналитических и гармонических функций в
заданных многосвязных областях.
Даны новые методы решения классических краевых задач методом
интегральных представлений аналитических функций, используя метод
конформного отображения канонической области [pic](z) на соответствующие
области G[pic](w).
Используя фундаментальные интегральные формулы для круга и кругового
кольца, автор обобщает задачи Пуассона, Дирихле, Дини, Шварца, Кристофеля-
Шварца и Чизотти для многосвязных областей.
В частности, найдены интегральные формулы для эксцентрического
кругового кольца, двух-трехсвязных областей. И нашли применение их к
решению классических краевых задач типа Дирихле-Неймана.
Целью нашего исследования в предлагаемой работе являются:
1. Разобраться в вышеуказанных (непростых) известных классических задачах
типа Шварца, Дирихле, Пуассона и Чизотти [1] – [7].
2. Творчески изучая и классифицируя их, найти обобщение и решение этих
задач для конкретных многосвязных областей (см. оглавление).
Данная работа состоит из введения и 6 параграфов.
В введении обосновывается постановка задачи, показывается актуальность
рассматриваемой темы дипломной работы, дается краткий анализ и перечень
работ по данному исследованию (1 – 24).
Параграфы (§1, §2) не только вспомогательные материалы, необходимые
для понимания основного содержания дипломной темы, но и являются справочной
классификацией о задачах Дирихле (классическая, обобщенная, общая,
видоизмененная) для любой связности заданной области G[pic]= G[pic](w) и
задачах Шварца-Пуассона (для круга, кругового кольца, внешности кругов, для
полуплоскости).
В §3 интегральная формула Анри Вилля – проблема Дирихле для кругового
кольца в форме Ахиезера преобразована и получена новая компактная,
контурная, структурная формула А.Вилля для кругового кольца. Здесь же,
ввиду важности трех функций I(u), [pic](u) и [pic](u) для практического
приложения и простоты реализации на ЭВМ, мы рассмотрели все варианты
представления рядов данных функций (37) – (48) по справочникам [19] – [22]
специальных функций (а), б)).
Параграфы §4 - §6 – основное содержание самостоятельной работы автора:
рассмотрены применение теории комфорного отображения к краевым задачам –
решение задачи Дирихле методом Чизотти для заданных областей (§4).
В §5 – интегральные представления Пуассона-Дирихле для круга,
кругового кольца и, наконец, §6 – интегральная формула Чизотти-Шварца-
Пуассона-Дирихле для конечных трехсвязных областей.
Оглавление – ясное представление о единстве всех классических задач и
о содержании предлагаемой работы (см. оглавление!).
В данной работе все найденные решения выписываются почти в явном виде
и параметры, фигурирующие в постановке задачи, определяются явно и
однозначно.
Основное содержание дипломной работы являются некоторыми обобщениями
курсовых работ и самостоятельной работы автора.
§1. О задачах Дирихле.
а) Задача Дирихле для круга – Задача Пуассона
(классическая формулировка).
1. Задача нахождения функции, гармонической в некоторой области была
названа Риманом задачей Дирихле. В классическом виде эта задача
формулируется следующим образом.
Пусть на границе [pic] области D+ задана непрерывная функция f([pic]).
Найти непрерывную в [pic] и гармоническую внутри области D+ функцию U(z),
принимающую на границе значения f([pic]). Таким образом, требуется, чтобы
U(z) стремилась к f([pic]), когда z [pic] D+ стремится к [pic][pic][pic],
u(z) > f([pic]), при z > [pic].
Задача Дирихле представляет интерес для физики. Так, потенциал
установившегося движения несжимаемой жидкости, температура,
электромагнитные и магнитные потенциалы – все являются гармоничными
функциями.
Примером физической задачи, приводящей к задаче Дирихле, служит
определение температуры внутри пластинки при известных ее значениях на
контуре.
Из других физических задач возникла формулировка задачи Неймана. Найти
гармоническую в области D+ функцию U(z) по заданным значениям ее нормальной
производной [pic] на [pic], а также смешанной задачи Дирихле-Неймана.
Найти гармоническую в D+ функцию по известным ее значениям на
некоторых дугах границы [pic] и значениям нормальной производной на
остальной части [pic].
Смешанная задача встречается главным образом в гидродинамике.
Различные приложения этих задач можно найти, например, в книге Лаврентьев
И.А. и Шабат Б.В. [1].
Итак, по многочисленности и разнообразию приложений задача Дирихле
занимает исключительное место в математике. К ней непосредственно сводится
основная задача в гидродинамике – задача обтекания, задачи кручения и
изгиба в теории упругости. С нею же тесно связаны основные задачи
статистической теории упругости. Мы будем заниматься плоской задачей,
которая представляет для нас особый интерес как по обилию приложений, так и
по большей разработанности и эффективности методов решения.
2. Совокупность гармонических функций – это совокупность всех решений
уравнения Лапласа
[pic], (1)
которое является одним из простейших дифференциальных уравнений с частными
производными второго порядка.
Подобно тому, как в случае обыкновенных дифференциальных уравнений для
выделения одного определенного решения задают дополнительные условия, так и
для полного определения решения уравнения Лапласа требуются дополнительные
условия. Для уравнения Лапласа они формулируются в виде так называемых
краевых условий, т.е. заданных соотношений, которым должно удовлетворять
искомое решение на границе области.
Простейшее из таких условий сводится к заданию значений искомой
гармонической функции в каждой точке границы области. Таким образом, мы
приходим к первой краевой задаче или задаче Дирихле:
Найти гармоническую в области D и непрерывную в [pic] функцию u(z),
которая на границе D принимает заданные непрерывные значения u([pic]).
К задаче Дирихле приводится еще, кроме вышеперечисленных, отыскание
температуры теплового поля или потенциала электростатического поля в
некоторой области при заданной температуре или потенциале на границе
области. К ней сводятся и краевые задачи других типов.
б) Обобщенная задача Дирихле.
В приложениях условие непрерывности граничных значений [pic], является
слишком стеснительным и приходится рассматривать обобщенную задачу Дирихле
[1]:
На границе [pic] области D задана функция [pic], непрерывная всюду,
кроме конечного числа точек [pic], где она имеет точки разрыва первого
рода. Найти гармоническую и ограниченную в области D функцию u(z),
принимающую значения u(z) = [pic] во всех точках непрерывности этой
функции.
Если заданная функция [pic] непрерывна, то обобщенная задача Дирихле
совпадет с обычной, ибо условие ограниченности функции u(z) следует из
условия ее непрерывности в [pic].
Теорема единственности решения обобщенной задачи Дирихле:
В данной области при заданной граничной функции [pic] существует не
более одного решения обобщенной задачи Дирихле.
Решение обобщенной задачи Дирихле можно свести к решению обычной
задачи Дирихле.
Можно доказать, что:
1. для любой односвязной области D и любой кусочно-непрерывной с точками
разрыва первого рода граничной функции [pic] решение обобщенной задачи
Дирихле существует.
2. решение обобщенной задачи Дирихле для единичного круга дается
интегралом Пуассона
[pic] , [pic], [pic]) (2)
3. для произвольной области D, мы получим искомую формулу для решения
обобщенной задачи Дирихле интегральной формулой Дж.Грина [12, 18]:
[pic] , (3)
где [pic] - производная в направлении внутренней нормали к С,
ds - элемент длины [pic], соответствующей [pic],
[pic] - элемент внутренней нормали к [pic], [pic]- фиксированная
произвольная точка области D, а функция [pic]; [pic], реализующая
отображение D на единичный круг [pic] и [pic] - функция Грина для
области D, гармоническую всюду в D кроме точки [pic], где имеет
плюс.
Формула Грина (3) выражает решение задачи Дирихле для некоторой
области D через логарифм конформного отображения D на единичный
круг, т.е. сводит решение задачи Дирихле к задаче конформного
отображения. И обратное верно.
Итак, задача конформного отображения области на единичный круг и
задача Дирихле для той же области эквивалентны, они сводятся друг к
другу с помощью простых операций дифференцирования и интегрирования.
в) Видоизмененная задача Дирихле.
Пусть S+ - связная область, ограниченная простыми замкнутыми
непересекающимися гладкими контурами [pic], из которых первый
охватывает все остальные. Под L мы будем подразумевать совокупность
этих контуров [pic], ([pic]). Через [pic] - мы обозначим
совокупность конечных областей [pic] заключенных, соответственно,
внутри контуров [pic] и бесконечной области [pic], состоящей из
точек расположенных вне [pic]. На контуры [pic] мы наложим еще
следующее условие: угол, составляемый касательной к [pic] с
постоянным направлением, удовлетворяет условию H; иными словами, мы
будем считать, что L удовлетворяет условию Ляпунова [17,24].
Функция [pic] удовлетворяет условию H на этом множестве, если для
любых двух [pic] переменной [pic] на этом множестве
[pic] , (4)
где A и [pic] - положительные постоянные показатели Гельдера, А –
коэффициент, а [pic] - показатель условия Н и при [pic]=1 – условие
Липшица, функции, удовлетворяющие условию Н называются непрерывными
по Гельдеру и сильнее, чем обычное определение непрерывности.
г) Классическая задача Дирихле для многосвязных областей [24].
Найти (действительную) функцию u(x,y), гармоническую в [pic], по
граничному условию
u=f(t) на L,
(5)
где f(t) – заданная на L (действительная) непрерывная функция; в
случае бесконечной области от функции u(x,y) требуется еще, чтобы
она оставалась ограниченной на бесконечности, т.е. и стремится к
вполне определенному пределу, когда z уходит в бесконечность.
Напомним, что всякая функция u(z) гармоническая вне круга [pic] в ряд.
[pic], [pic])
абсолютно и равномерно сходящийся вне круга любого радиуса [pic]
поэтому u>[pic] при r>[pic].
Для некоторых применений не меньший интерес представляет и следующая
задача, которая называется 'видоизмененной задачей Дирихле'. Термин
этот введен в статье Н.И.Мусхелишвили и Д.З.Авазошвили [17].
Видоизмененная задача Дирихле – задача Дирихле
для многосвязных областей.
Найти функцию u(x,y), гармоническую в S+, непрерывную в [pic], по
следующим условиям:
1. u(x,y)=[pic]Ф(z) является действительной частью функции Ф(z),
голоморфной в S+;
2. она удовлетворяет граничному условию
u=f(t)+[pic](t) на L,
(6)
где f(t) – заданная на [pic] непрерывная функция [pic], [pic],
(7)
где [pic] постоянные не задаваемые заранее; в случае бесконечной
области требование u(x,y)=f(t)+[pic] на [pic] заменяются требованием
ограниченности u(x,y) на бесконечности.
Можно показать, что постоянные [pic] вполне определяются условиями
самой задачи, если (произвольно) фиксировать одну из них.
Если L состоит из единственного замкнутого контура, то различают два
случая:
а) р=0. Тогда S+ представляет собой конечную часть плоскости,
ограниченную контуром [pic];
б) р=1, а контур [pic] отсутствует. Тогда область S+ представляет
собой бесконечную часть плоскости, ограниченную контуром [pic].
Легко видеть, что в случае а) задачи А и В совпадают (если считать
[pic]=0) в случае б) эти задачи непосредственно сводятся одна к
другой.
Каждая из задач А и В не может иметь более одного решения (если
[pic]=0).
д) Общая формулировка задачи Дирихле.
Задача Дирихле – задача отыскания регулярной в области D гармонической
функции и которая на границе Г области D совпадает с наперед
заданной функцией [pic]. Задачу отыскания регулярного в области
решения эллиптического уравнения 2-го порядка, принимающего на перед
заданные значения на границе области, также называется задачей
Дирихле, или первой краевой задачей.
Вопросы связанные с этой задачей, рассматривались еще К.Гауссом, а
затем Дирихле. Для областей D с достаточно гладкой границей Г
решение задачи Дирихле можно представить интегральной формулой
[pic], (8)
где [pic] - производная по направлению внутренней нормали в точке
[pic] функции Грина [pic], характеризуемой следующими свойствами:
1. [pic], при [pic] 3 или
[pic], при [pic] 2,
где [pic] - расстояние между точками [pic] и [pic], [pic] - площадь
единичной сферы в [pic], [pic] - регулярная в [pic] гармоническая
функция как относительно координат [pic], так и относительно
координат [pic];
2. [pic], когда [pic], [pic].
Для шара, полупространства и некоторых других простейших областей
функция Грина строится явно и формула (8) дает эффективное решение
задачи Дирихле. Получаемые при этом для шара и полупространства
формулы носят название формул Пуассона.
Задача Дирихле является одной из основных проблем теории потенциала –
теории гармонических функций.
Для обобщенного по Винеру решения задачи Дирихле справедливо
интегральное представление в виде формулы Вилля-Пуассона
[pic], (9)
являющейся обобщением формулы (8). Здесь [pic] - гармоническая мера
множества [pic] в точке [pic]. Отсюда возникает возможность
рассмотрения обобщенной задачи Дирихле для произвольных граничных
функций [pic], при этом можно требовать удовлетворения граничного
условия лишь в некоторой ослабленной форме.
Например, если [pic] - область [pic] с достаточно гладкой границей Г,
а граничащая функция [pic] имеет только точки разрыва 1-го рода, то
можно требовать удовлетворения граничного условия лишь в точках
непрерывности [pic], для обеспечения единственности решения в точках
разрыва требуется ограниченность решения.
е) Задача Неймана.
Наряду с задачей Дирихле для некоторых приложений важно рассмотреть
так называемую вторую краевую задачу, или задачу Неймана:
Найти гармоническую в области [pic] функцию [pic], зная значения ее
нормальной производной на границе С:
[pic] (10)
и значение [pic] в какой-либо точке [pic] в области [pic].
Для определенности мы будем предполагать, что в (10) рассматривается
внешняя нормаль, что означает угол, образованный этой нормалью с
осью х. Функция [pic] может иметь на [pic] конечное число точек
разрыва 1-го рода, функция и ее частные производные первого порядка
предполагаются ограниченными.
Следующая теорема выражает от нормальной производной гармонической
функции:
Если функция [pic] гармонична в односвязной области [pic] и непрерывна
вместе со своими частными производными в [pic], то
[pic], (11)
где [pic] - граница области [pic] обозначает производную в
направлении нормали к [pic], а [pic] - дифференциал дуги.
Из этой теоремы следует, что для разрешимости задачи Неймана
необходимо выполнения соотношения
[pic]. (12)
Доказывается единственность решения задачи Неймана и при
доказательстве единственности решения задачи Неймана можно
ограничиться случаем, когда область [pic] представляет собой
полуплоскость ([pic]z, > 0).
В дополнительном предположении непрерывности частных производных в
[pic] решение задачи Неймана сводится к решению задачи Дирихле для
сопряженной гармонической функции.
Две гармонические в области [pic] функции [pic] и [pic], связанные
условиями Даламбера-Эйлера называются сопряженными.
Как мы знаем, для всякой функции [pic]гармонической в односвязной
области [pic], можно найти сопряженную с ней гармоническую функцию
[pic]. Так как функция определяется своими частными производными с
точностью до постоянного слагаемого, то совокупность всех
гармонических функций [pic] сопряженных с [pic] дает формула:
[pic], (13)
где С – произвольная действительная постоянная.
Заметим, что в многосвязной области [pic] интеграл (13) по контуру
[pic], определяет, вообще говоря, многозначную функцию:
[pic], (14)
где [pic] - произвольные целые числа, а [pic] - интегралы вдоль
замкнутых контуров [pic], каждый из которых содержит внутри себя
одну связную часть границы [pic]:
[pic]. (15)
Постоянные [pic] называются периодами интеграла (13) или циклическими
постоянными.
Можно доказать, что решение задачи Неймана сводится к решению задачи
Дирихле для сопряженной гармонической функции [pic], где [pic],
[pic] носят название соответственно силовой функции и потенциала
поля.
Функции [pic] и [pic], представляющие собой регулярные решения системы
Коши-Римана [6]:
[pic] , [pic] [pic] (16)
имеют частные производные всех порядков, т.е. аналитические функции
[pic] являются решением уравнения [pic]. (17)
Условие (17) – условие комплексной дифференцируемости функции [pic].
§2. О задачах Шварца-Пуассона.
а) Интеграл Шварца для круга
Как известно, по данным значениям вещественной (мнимой) части функции
находится с точностью до чисто мнимого слагаемого. Аналитический аппарат,
дающий выражение функции [pic], регулярной в области, через значения [pic]
на контуре, в том случае, когда область есть круг радиуса [pic], известен –
это есть так называемый интеграл Шварца [6, 8, 9]:
[pic] , ([pic], [pic]) (18)
Полагая здесь [pic], мы найдем для [pic] чисто вещественное значение
[pic], для которого мнимая часть обращается в нуль в начале координат.
Чтобы получить общее решение, мы должны добавить к правой части
произвольное мнимое число [pic]:
[pic], [pic]. (19)
Отделим в (18) вещественную и мнимую части, так как
вещественная
[pic]
часть даст нам интеграл Пуассона для [pic] и мнимая же часть доставляет
выражение [pic] через [pic].
Для единичного круга [pic], имеет вид:
[pic], (20)
где [pic], [pic] - представляет значение вещественной части искомой
функции в точке [pic].
б) Интегральная формула Пуассона.
Задача Дирихле об определении значений гармонической функции внутри
круга, если известны ее значения на границе, решается, как известно,
интегралом Пуассона:
[pic], (21)
где [pic] - полярные координаты точки, где ищется значение решения; [pic] -
радиус окружности и [pic] - функция полярного угла [pic], дающая граничные
значения [pic] [9].
Можно проверить разложением в ряд Тейлора, что
[pic],
([pic], [pic])
Поэтому [pic] представима рядом:
[pic]
[pic] (22)
где [pic] и [pic] - коэффициенты Фурье [pic]:
[pic]; [pic]; [pic]
В центре окружности при [pic] мы получаем:
[pic] (23)
Равенство (23) – теорема Гаусса о том, что значение гармонической
функции в центре окружности есть среднее арифметическое ее значений на
самой окружности.
в) Интеграл Пуассона для внешности круга.
Найти функцию, гармоническую и ограниченную вне окружности [pic] и
принимающую на самой окружности заданные значения [9]:
[pic], [pic] ([pic]).
Покажем, что искомую функцию [pic] может быть представлена интегралом
типа Пуассрна, который может быть получен из (1).
Пусть [pic], а [pic],
Функция [pic], гармоническая вне окружности [pic], перейдет в функцию
[pic], гармоническую внутри круга радиуса [pic], принимающую на его границе
значения
[pic].
По формуле (1) она при [pic] представима интегралом Пуассона:
[pic].
Если в этом равенстве подставить вместо [pic] и [pic] их выражения
через [pic] и [pic] и заменить переменную интегрирования, положив [pic], то
мы получим формулу Пуассона для внешности окружности:
[pic], (24)
решающую поставленную задачу. Она отличается от (1) только тем, что в ней
[pic] и [pic] переменились местами, так что ядро интеграла (4) отличается
от ядра интеграла Пуассона (1) только знаком.
Разложение искомой функции в тригонометрический ряд, подобный ряду
(22), представляющей ее вне окружности:
[pic]. (25)
Если в (25) [pic]([pic], то получим теорему Гаусса для внешности
окружности:
[pic],
(26)
т.е. значение гармонической функции на бесконечности есть среднее
арифметическое значений на граничной окружности.
г) Задача Дирихле-Пуассона для полуплоскости.
Аналитический аппарат, позволяющий гармоническую функцию внутри
верхней полуплоскости по известным граничным значениям ее вещественной оси,
можно получить из интеграла Пуассона путем преобразования круга [pic]
плоскости [pic] на верхнюю полуплоскость [pic] при помощи функции
[pic]
Граничные значения на окружности [pic] перейдут в
граничные значения на вещественной оси и мы получим искомую
формулу в виде [1]:
[pic], ([pic]) (27)
При неточных графических расчетах формулу (27) удобнее
употреблять в ином виде, взяв за переменную интегрирования
не [pic], а угол [pic], который образует прямая [pic] с
перпендикуляром [pic] к оси [pic], опущенным из точки [pic],
имеем:
[pic], [pic]
и окончательно имеем:
[pic]. (28)
д) Задача Дирихле для кругового кольца.
Граничные значения гармонической функции [pic] на окружности кольца
[pic] мы будем предполагать заданными в форме функций от полярного угла
[pic] и обозначим их соответственно через [pic] и [pic].
Сопряженная с [pic] гармоническая функция [pic] будет вообще говоря,
не однозначной, и фкп [pic] будет состоять из двух слагаемых: однозначной
составляющей, могущей быть разложенной в ряд Лорана в кольце, и логарифм
[pic] с вещественным коэффициентом:
[pic], [pic]. (29)
Отделяя вещественную и мнимую части, мы получим решение поставленной
задачи – задачи Дирихле в кольце, но здесь суммируется не так
просто.
Существует более компактная и эффективная формула – интегральная
формула Вилля для кругового кольца [2], [3].
§3. Интегральная формула Анри Вилля – проблема Дирихле
для кругового кольца (1912).
Пусть в плоскости комплексного переменного [pic] дано круговое кольцо
[pic], ограниченное окружностями
[pic], [pic],
где заданное положительное число [pic]<1.
Требуется найти регулярную и однозначную внутри области [pic] функцию
[pic], если известны значения ее вещественной части на границах кольца.
Для случая круга аналогичная задача решается известной формулой Шварца
Г. (1869г) (п.1)
[pic], ([pic], [pic]),
где с – действительная переменная.
Здесь предполагается, что радиус круга равен 1, а положение точки на
окружности определяется аргументом [pic] этой точки, так что [pic]
представляет значение вещественной части искомой функции в точке [pic].
Нашей задачей является переход от круга к кольцу и построение формулы,
аналогичной формуле (1).
Обозначим через [pic] и [pic] значения вещественной части искомой
функции [pic] в точках с аргументом [pic] на внешней, соответственно
внутренней, границе [pic].
Основной нашей целью является выяснение того, как скажется на формуле
переход от односвязной области к двусвязной.
Величина
[pic],
где интеграл справа берется по окружности радиуса [pic] ([pic]) с центром в
точке [pic], очевидно, не зависит от [pic]. Тем же свойством обладает и
вещественная часть написанного интеграла.
Отсюда, приближая вначале [pic] к 1, а замечая, что в
интеграле можно
[pic]
сделать требуемые предельные переходы, получим:
[pic]. (30)
Это условие, таким образом, необходимо для разрешимости поставленной
нами проблемы, и мы должны предположить, что она выполняется.
Искомая функция [pic] может быть разложена в ряд Лорана
[pic]. (31)
Мы найдем разложения обеих функций [pic], [pic] в ряды Фурье. Из этих
разложений получаются коэффициенты [pic] в виде некоторых интегралов и
подставляя в (31) получим известную формулу Анри Вилля для кругового кольца
в форме Н.И.Ахиезера [7].
[pic], (32)
где с – произвольная вещественная константа, [pic] - произвольное
положительное число, а чисто мнимое число [pic] находится с помощью
равенства
[pic], (33)
[pic], [pic] и, наконец [pic] - функция Вейерштрасса.
Формула (32), принадлежащая Вилли, представляет собой аналог формулы
Шварца для кругового кольца; она приведена в иной форме, например в
монографии Н.Ахиезера [7].
а) Преобразование интегральной формулы А.Вилля (32).
Формула Анри Вилля в форме Н.И.Ахиезера [7].
[pic], (34)
где из (33) следует, что [pic], где [pic] - положительное действительное
число, можно придать более компактную форму, если несколько преобразуем
(32), учитывая (33) и замечая, что [pic] можно выразить через [pic] с
учетом граничных свойств:
[pic] [pic] [pic],
[pic] [pic] [pic] [pic] [pic], [pic]; (35)
[pic] [pic] [pic] [pic] [pic], [pic].
Таким образом, интегральная формула (32) с учетом (34) и (35) примет
следующий окончательный вид:
[pic], (36)
где с – постоянная.
Формулу (36) можно назвать канонической, компактной и контурной
интегральной формулой Анри Вилля для кругового кольца.
б) Функции Вейерштрасса.
В виду важности трех функций Вейерштрасса [pic], [pic] и [pic] для
практического применения и простоты реализации на ЭВМ мы рассмотрим
следующие варианты представления данных функций [19] - [22]:
1. [pic] (37)
или
[pic] (38)
2. [pic],
[pic] : [pic] , [pic] (39)
[pic] , [pic]
для действительных нулей [pic] полинома [pic] возможны следующие частные
случаи:
[pic] : [pic] , [pic]
[pic] , [pic]
[pic].
3. [pic],
[pic],
где [pic], [pic], [pic].
4. [pic] (41)
где [pic];
[pic]; [pic]; [pic].
5. [pic], т.е.
[pic], (44)
где ([pic]),
[pic], [pic] (45)
или
6. [pic] (46)
[pic] – эллиптическая функция Вейерштрасса [pic].
Функция Вейерштрасса [pic], (48)
так что [pic].
Функция Вейерштрасса [pic] определяется с помощью равенства
[pic].
Из этой формулы следует и
[pic]
где путь интегрирования не проходит ни через одну вершину сетки периодов,
отличную от точки [pic].
§4. О некоторых применениях теории конформного
отображения к краевым задачам.
а) Об структурном классе интегральных представлений.
Как известно, интегральное представление аналитических функций ИПАФ
давно служит:
- как удобный аппарат для обозримого представления аналитических решений
дифференциальных уравнений. Например, специальные функции – функции
Бесселя, Эйри, Лежандра, Лагера, Эрмита, многочлены Чебышева,
гипергеометрическая функция и многие другие – являются решениями линейных
дифференциальных уравнений с аналитическими коэффициентами;
- для исследования ассимптотики этих решений и их аналитического
продолжения;
- несколько позже – нашли применения для решения граничных задач теории
аналитических функций и сингулярных уравнений;
- исследование внутренних и граничных свойств аналитических функций
различных классов, а также для решения других, самых разнообразных
вопросов математического анализа (интегралы Коши, Пуассона, Шварца,
Чизотти и т.п.)
Обширный класс интегральных представлений аналитических функций,
используемых для получения и исследования аналитических решений
дифференциальных уравнений (АРДУ), описывается общей формулой:
[pic] (49)
где [pic] - ядро типа Шварца, зависящее от связности данной области, [pic]
- аналитическая функция, регулярная и однозначная в (n+1) – связной
канонической круговой области [pic], [pic] - заданная плотность –
вещественная функция в точках [pic], [pic] контура круговой области [pic].
Вещественные [pic] и комплексные [pic] таковы, что [pic]:
[pic], [pic], ([pic], [pic]). (50)
По заданным интегральным представлениям (49) можно найти аналитическое
решение дифференциальных уравнений (АРДУ) для произвольных областей [pic]
плоскости [pic], ограниченную замкнутыми кривыми [pic] типа Ляпунова.
(Существует касательная в каждой точке [pic], [pic], [pic], [pic] - угол
между касательными; кривая замкнута и ограничена).
Используя интегральные представления Чизотти, мы получим решение
задачи Дирихле для области [pic] и интегральные формулы Пуассона для [pic]:
[pic] [pic](51)
[pic] [pic]. (52)
Из (52) получим:
[pic];
[pic].
где
[pic], [pic]
[pic], [pic]
[pic], [pic]
[pic], [pic], [pic], [pic] [4];
В случае круга:
[pic],
[pic][pic].
Круговое кольцо:
[pic];
[pic],
где [pic] - функция Вейерштрасса, [pic] [pic], [pic], [pic], [pic] -
некоторые постоянные, определяемые из нормировки отображений функций [pic],
[pic], [pic] - периоды функции [pic].
Формулу (53) назовем интегральными формулами Дирихле-Чизотти для
областей [pic], или решениями задачи Дирихле для рассматриваемой области
или интегральными формулами Пуассона для соответствующих канонических
областей [pic].
б) О решении задачи Дирихле методом Чизотти
для многосвязных областей
Как мы знаем, решение задачи Дирихле для произвольных многосвязных
областей найти явное и эффективное решение трудоемкая или невозможная
проблема.
Поэтому более эффективное нахождение краевых задач представляет
немаловажный интерес в теории аналитических и гармонических функций для
многосвязных областей ( неконцентрического кругового кольца, внешности двух
кругов и для конечных двух-трехсвязных областей и т.д.) используя
интегральную формулу Чизотти для заданных соответствующих областей.
1. Построим функцию [pic], дающую конформное отображение [pic] на
[pic], где [pic], [pic]; ([pic]):
[pic], (57)
где [pic] и [pic] - постоянные, [pic] определяется однозначно по формуле
Шварца для соответствующих заданных областей.
Пусть [pic] - регулярная функция в [pic]. Так как подинтегральное
выражение (57) представимо по формуле Эйлера в следующем виде:
[pic], то
[pic] (58)
[pic]
С учетом (58) интегральная формула (57) примет вид:
[pic];
[pic].
где [pic] и [pic] - постоянные (к=1,2).
Формулу (59) можно назвать интегральной формулой Дирихле-Чизотти для
конечных многосвязных областей, т.к. формула (57) есть интегральная формула
Чизотти для конечных многосвязных круговых областей.
Если найден [pic] и [pic] от известного интегрального выражения
[pic]):
[pic], т.е.
[pic]; (60)
[pic],
то мы получим решение граничной задачи Пуассона для канонических (конечных,
бесконечных) областей [pic].
2. Если область [pic] - концентрическое круговое кольцо, то
[pic], (61)
где [pic] - заданная функция [pic] - функция Вейерштрасса, то мы имеем
интегральную формулу Вилля-Шварца (61) в компактной контурной форме.
Из (61) получим:
[pic], (62)
[pic], (63)
где [pic], [pic], [pic], [pic].
Формулы (62) и (63) называются интегральными формулами Вилля-Пуассона.
Подставляя (62) и (63) в исходную интегральную (59) мы получим интегральную
формулу Дирихле через интеграл Чизотти. Формулы (62) и (63) можно назвать
интегральными формулами Дирихле-Чизотти для конечных двусвязных областей.
в) Интегральная формула Чизотти для заданных областей – решение
задачи Дирихле для соответствующих областей.
Если известны интегральные формулы Шварца для круговых областей [pic],
дающие аналитической в [pic] функции [pic] через нормальной производной ее
действительной части на границе [pic] области [pic] и интегральные
представления Чизотти для круговых областей, дающие выражение функции
[pic], реализующей конформное отображение области [pic] на ограниченную
гладкой кривой (51), (52), то поэтому интегральную формулу, дающую
конформное отображение [pic] на [pic] через нормальную (касательную)
производную ее действительной (мнимой) части [pic] на границе [pic],
естественно назвать интегральной формулой Дини-Шварца-Чизотти для заданных
областей.
Можно рассмотреть интегральные формулы Дини-Шварца для многосвязных
областей и их применение к решению краевых задач типа Дирихле.
Решение задачи Неймана сводится к решению задачи Дирихле сопряженной
гармонической функции.
Учитывая, что задача конформного отображения многосвязной области
[pic] на каноническую область [pic] и задача Дирихле для той же области
эквивалентны (49), используем интегральный метод Чизотти для
соответствующих областей (50), (51).
Применяя ИПАФ типа Шварца регулярной и однозначной в [pic], найдем
решение задачи Дирихле, как представляющее однозначную и аналитическую
(гармоническую) в произвольной многосвязной области функцию
[pic] (64)
удовлетворяющую в [pic] уравнению
[pic] (65)
и граничному условию
[pic], [pic], (66)
где [pic].
Решение задачи (65) и (66) в заданных произвольных областей [pic]
имеет следующий вид:
[pic] (67)
или после соответствующих преобразований получим (§4 п.'б'):
[pic];
[pic], (68)
где [pic] и [pic] постоянные, определяемые нормировкой функции [pic], [pic]
- угол наклона касательной [pic] в точке [pic], соответствующей [pic] при
отображении [pic].
Пусть теперь [pic] - каноническая область (круг, концентрическое
круговое кольцо, внешность двух кругов, …), а [pic] - соответствующая
область, ограниченная контуром [pic].
Построим функцию [pic], дающую конформное отображение [pic] на [pic].
Причем будем для простоты считать, что [pic], [pic].
В силу конформности отображения [pic] всюду в [pic] функция равна
[pic]; [pic] на [pic] (69)
[pic], [pic]
Следовательно, функцию [pic]можно представить следующими интегральными
формулами типа Шварца:
[pic], [pic], ([pic]);
[pic], [pic], ([pic]; (70)
[pic], [pic],
где [pic] - ядро Шварца для круга;
[pic] - функция Вейерштрасса;
[pic] - ядро Александра-Сорокина для неконцентрического кругового
кольца;
[pic] - ядро для внешности двух окружностей;
[pic] - ядро для симметричных и равных (неравных) окружностей.
Интегральное представление (68) назовем интегральной формулой для
решения задачи типа Дирихле для рассмотренных областей [pic].
Для нахождения гармонической [pic] (или [pic]) в произвольной
односвязной области [pic]функций, достаточно знать [pic] или [pic] обычные
классические интегральные формулы Пуассона для круга [pic]:
[pic]
или
[pic].
2. Для нахождения решения задачи Дирихле в произвольной двусвязной
ограниченной (конечной) области [pic] через [pic] - решение кругового
кольца надо пользоваться контурной компактной формулой Вилля, т.е. [pic] и
[pic] - интегральные формулы Пуассона для кругового кольца ([pic]):
[pic],
[pic].
Таким образом, аналогичными примерами можно найти и для остальных
рассмотренных областей решения задачи Дирихле ([pic]) через [pic] и [pic].
§5. Об интегральных представлениях Пуассона-Дирихле
для заданных областей.
Пусть [pic], [pic], [pic] - нормированная функция дает конформное
отображение канонической области [pic] плоскости [pic] на соответствующую
область [pic] плоскости [pic]. Простоты ради будем считать, что [pic].
В силу конформности отображения [pic] мы имеем, что [pic] всюду в
[pic] и, как легко видеть реальная (действительная) часть голоморфной в
[pic] функции
[pic] равна [pic] на окружностях [pic]:
[pic], (72)
где [pic] при [pic], ([pic]), (73)
[pic], [pic] - угол наклона касательной к [pic]в точках [pic],
соответствующих [pic] при отображении [pic]. Область [pic]ограничена
гладкими кривыми типа Ляпунова [pic], а в каждой точке [pic] контура
области [pic] плоскости [pic] известен угол наклона [pic].
Здесь вещественные числа [pic] и комплексные числа [pic], [pic] таковы
для конечной [pic] - связной области, что
[pic] [pic], [pic], ([pic], [pic]). (74)
При этом будем считать, что [pic] - внешняя, а [pic] - внутренние
кривые, и будем считать, что [pic], [pic] [5].
Из существования отображающей функции [pic] следует,
что функция [pic] регулярная, однозначная и эффективная в
канонической области [pic]согласно равенству (64),
представляется по интегральной формуле Шварца [5] в форме
Александрова-Сорокина в следующем виде:
[pic]. (75)
Функция [pic] регулярна и действительные части на граничных
компонентах [pic] принимают непрерывные значения [pic], определяемые
равенством (65), а [pic] - ядро определяется следующими формулами [5]:
[pic], (76)
[pic], (77)
1, при [pic]
-1, при [pic], с – вещественное число.
Если мы в (67) отделим вещественную и мнимую части, то мы получим две
интегральные формулы Пуассона для [pic] - связных круговых областей [pic];
что мы и делаем, следуя вычислениям Александрова-Сорокина [5], т.е. решаем
задачу Дирихле-Пуассона: об определении значений гармонической функции
внутри канонической области [pic], если известны ее значения на границах
[pic], [pic] - функция полярного аргумента, дающая граничные значения
[pic].
[pic], (78)
[pic], (79)
где [pic], [pic], [pic].
Рассмотрим некоторые частные задачи Дирихле-Пуассона для [pic].
Следствие 1. Если в формулах (72) и (73) положить [pic], то мы получим
формулу Пуассона – интеграл Пуассона для круга [ ]:
[pic], ([pic]) (80)
[pic], ([pic]) (81)
Следствие 2. Если в формулах (72) и (73) положить [pic], то мы получим
две интегральные формулы Пуассона для кругового кольца:
[pic], (82)
[pic], (83)
где (74) и (75) – реальные и мнимые части компактной интегральной формулы
Вилля-Шварца для кругового кольца [2], [pic] - функция Вейерштрасса, [pic]
- угол наклона касательной к [pic] в точке [pic], [pic], [pic] - периоды, с
– произвольная постоянная, [pic] ([pic]).
Так как функция [pic]) представляется быстро сходящимися рядами, то
формулы (74) и (75) можно с успехом использовать для приближенного решения
соответствующих граничных задач.
Следствие 3. Если в формулах (70) и (71) [pic] - задана нормальная
(касательная) производная, то мы получим две интегральные формулы Дини-
Шварца для соответствующих областей, т.е. получим непосредственное
обобщение интеграла Дини, дающее решение граничной задачи Неймана для
заданных рассмотренных областей.
В случае единичного круга [pic] эта формула имеет вид[1, 9]:
[pic], (84)
где действительная функция [pic] при [pic], под [pic] понимается
дифференцирование по направлению внутренней нормали, а с – произвольная
постоянная. Формула (76) имеет место при условии, что
[pic]. (85)
Условие (77) – необходимое и достаточное условие дл разрешимости
рассматриваемой граничной задачи и при его выполнении искомая однозначная
аналитическая функция определяется с точностью до произвольного
комплексного постоянного слагаемого.
А из (76) следуют формулы Дини:
[pic],
[pic].
В случае кругового кольца [pic], имеем
[pic], (87)
где [pic], [pic]
[pic], [pic].
Формула (80) – формула Дини-Шварца или интегральная формула Дини-
Шварца для кругового кольца.
Если в равенстве (79) отделить действительные и мнимые части, то мы
получим непосредственное обобщение интегральной формулы Дини, дающее
решение граничной задачи Неймана для кругового кольца:
[pic],
[pic],
где [pic], [pic], [pic].
Формулу (81) можно назвать формулой Дини-Вилля для кругового кольца.
Аналогично можно найти интегральные формулы Пуассона, Шварца-Дини для
любых ([pic]) связных (конечных и бесконечных) областей, используя формулы
(70) и (71).
§6. Интегральная формула Чизотти-Пуассона-Дирихле
для конечных трехсвязных областей.
Формула Чизотти для многосвязных круговых областей дает выражение
функции, реализующей конформное отображение области [pic] ограниченной
окружностями [pic], ([pic], [pic]0, 1, 2 и [pic]) на многосвязную
область [pic] плоскости [pic], ограниченную гладкими кривыми [pic] [pic].
Если в каждой точке [pic], где [pic], контура [pic] области [pic]
плоскости [pic] известен угол наклона [pic] касательной к [pic], где [pic],
[pic] - внешняя, [pic] - внутренние, [pic], [pic].
Построим функцию [pic] дающую конформное отображение области [pic] на
[pic], где [pic]. тогда [pic] голоморфна в [pic] и действительная часть
голоморфной функции [pic] равна [pic] на окружности [pic], т.е.
[pic], [pic], (90)
где [pic] - угол наклона касательной к [pic] в точках [pic] соответствующих
при отображении функцией [pic].
Из существования отображающей функции следует, что функция [pic] в
области [pic] согласно (82) можно представить по формуле Шварца для
многосвязных областей. Функция [pic] регулярна и однозначна в области [pic]
и ее действительная часть на [pic] принимает непрерывные значения [pic].
Тогда с помощью формулы Шварца, с учетом (82) функция [pic] принимает вид:
[pic], (91)
где [pic], [pic], [pic], [pic] - заданная плотность по граничному
условию (81), [pic] - ядро, определяемое следующими формулами:
[pic], где:
[pic];
[pic];
[pic];
[pic]; [pic]; [pic].
[pic]; [pic],
где [pic] ядра, зависящие от натурального параметра.
Определив [pic], мы сможем из (82) найти [pic]:
[pic], (93)
где А – произвольная постоянная, [pic] - определяется равенством (83).
Отсюда интегрируя обе части (85) получим:
[pic], (94)
(86) – есть формула Чизотти для конечных трехсвязных областей.
Итак, интегральная формула Чизотти для конечных трехсвязных областей
имеет вид:
[pic]
где А и В – постоянные, определяемые из нормировки функций:
[pic],[pic],[pic]>0.
Если [pic], то [pic] и [pic] - две интегральные формулы Пуассона для
заданных трехсвязных областей.
Если [pic], то
[pic]
[pic],
где [pic], [pic] (Шварц, 1869),
[pic], [pic] (Вилля, 1921), (96)
[pic], [pic] (Александров-Сорокин, 1972),
Формулу (87) назовем интегральными формулами Дирихле-Чизотти для
рассмотренных областей [pic], а формулы (88) – интегралами типа Шварца, а
реальные и мнимые части от функции [pic] - интегральными формулами типа
Пуассона.
Аналогичные формулы мы получим и для неконцентрического кругового
кольца, и для внешности [pic] и [pic] окружностей [4].
Рассмотренные выше формулы (86) – (88) – очень эффективны, когда [pic]
- правильные многоугольники (формулы Кристоффеля-Шварца-Дирихле для
рассмотренных областей).
Замечание 1. Так как заданные функции [pic] - являются быстро
сходящимися рядами (см. §3, формулы (37) – (48)), то все рассмотренные
интегральные формулы можно с успехом использовать и для приближенного
решения соответствующих граничных задач.
Замечание 2. Так как решение задачи Неймана сводится к решению задачи
Дирихле для сопряженной однозначной гармонической функции, мы рассмотрели
только задачу Дирихле.
Замечание 3. Классические краевые задачи являются частными случаями
задачи:
Найти регулярное в области [pic] решения эллиптического уравнения
[pic], (97)
удовлетворяющие на границе [pic] условию
[pic], (98)
где [pic] - производная по некоторому направлению, а [pic] - заданные
непрерывные на [pic] функции, причем [pic] всюду на [pic] и
1. при [pic], [pic] - задача Дирихле;
2. при [pic], [pic] - задача с косой производной, которая переходит в
задачу Неймана, если направление [pic] совпадет с направлением по
нормали.
Литература.
1. М.А.Лаврентьев, В.В.Шабат. 'Методы теории функции комплексного
переменного'. М. 1965.
2. Х.Т.Тлехугов. 'Формула Чизотти для кругового кольца'. Труды ВЦАН Груз.
ССР 1973. т.XII вып.I, стр.218-222.
3. Д.А.Квеселава, Х.Т.Тлехугов. 'Формула Чизотти для многосвязных круговых
областей'. ВЦАН Груз. ССР 1977. т.XVI, вып.I, стр.256-260.
4. Х.Т.Тлехугов. 'Формула Чизотти для (n+1) – связных бесконечных
областей'. Труды ВЦАН Груз. ССР 1980. т.XX вып.I, стр.219-224.
5. И.А.Александров, А.С.Сорокин. 'Задача Шварца для многосвязных областей'.
СМЖ. 1972. т.XIII. 5., стр.970-1001.
6. А.В.Бицадзе. 'Основы ТАФКП'. М. 1984.
7. Н.И.Ахиезер. 'Элементы теории эллиптических функций'. М. 1970, стр.9-34;
179-190; 224-229.
8. В.И.Смирнов. 'Курс высшей математики'. т.3 часть вторая, изд. 6. М.
1956, стр.182-184.
9. Л.В.Канторович, Крылов. 'Приближенные методы высшего анализа'. М.-Л.,
1962, стр.584-645.
10. Ф.Д.Гахов. 'Краевые задачи'. М. 1977. изд. 3.
11. И.И.Привалов. 'Граничные свойства аналитических функций'. М.-Л. 1950.
12. Математическая энциклопедия. т.1-5. 1977-85.
13. В.А.Змарович. 'О структурных формулах теории специальных классов АФ'.
Известия Киевского политехнического института. т.15, стр.126-148.
14. Х.Т.Тлехугов. 'О применении формулы Чизотти к приближенному отображению
с особой нормировкой'. Сообщения АН Груз. ССР, 1981. т.101. 1., стр.21-
24.
15. Х.Т.Тлехугов. 'О приближенном конформном отображении методом
растяжения'. Известия АН Азер. ССР, 1977. 5., стр.37-40.
16. Х.Т.Тлехугов. 'Применение формулы Чизотти к приближенному отображению'.
Сообщения АН Груз. ССР, 1974. т.73. 3., стр538-540.
17. Н.И.Мусхелишвили, Д.З.Авазошвили. 'Сингулярные и интегральные
уравнения'. М. 1956.
18. С.Г.Михлин. 'Интегральные уравнения'. ОГИЗ. М.-Л. 1947.
19. Бейтмен и Эрдейн. 'Высшие трансцендентные функции'. М. 1967. стр.294.
20. Градштейн, Рыжик. 'Таблицы интегралов и произведений'. М. 1962. стр.931-
935.
21. М.Абрамович, И.Стиган. 'Справочник по специальным функциям'. М.
'Наука', 1979. стр.442-445.
22. Е.Янке, Ф.Эмде, Ф.Леш. 'Специальные функции'. М. 1968. стр.120-143.
23. Д.А.Квеселова, Х.Т.Тлехугов. 'Формула Дини-Шварца для кругового
кольца'. Труды ВЦ. АН Груз. ССР, т.12. вып.1, 1973, стр.214-219.
24. Н.И.Мусхелишвили. 'Сингулярные интегральные уравнения'. М. 1962.
стр.245-269.
-----------------------
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
(40)
(47)
(53)
[pic]
(54)
(55)
(56)
(59)
(71)
[pic]
[pic]
[pic]
(86)
(88)
[pic]
(89)
[pic]
(92)
(95)
[pic]
