Приближенное вычисление определенного интеграла при помощи квадратурной формулы Чебышева
Работа из раздела: «
Математика»
МИНИСТЕКРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ УКРАИНЫ
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ХИМИКОТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
КАФЕДРА ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ТЕХНИКИ
КУРСОВАЯ РАБОТА
на тему
“Приближенное вычисление определенного интеграла
при помощи квадратурной формулы Чебышева”
Студента 2-го курса: Полякова Е.В.
Научный руководитель: Куприна Л.А.
Днепропетровск 2000г.
Содержание.
1. Общая постановка и анализ задания.
1.1. Введение
1.2. Вывод формул численного интегрирования с использованием
интерполяционного полинома Лагранжа
1.3 Формула трапеций и средних прямоугольников
1.4. Общая формула Симпсона (параболическая формула)
1.5. Квадратурная формула Чебышева
2 . Решение контрольного примера
3. Описание программы Integral. pas. Алгоритм.
4. Заключение и выводы.
5. Список литературы.
6. Листинг программы. Вывод на экран.
1. Общая постановка и анализ задачи.
1.1. Введение.
Требуется найти определенный интеграл
I = [pic]
по квадратурной формуле Чебышева.
Рассмотрим, что представляет из себя вообще квадратурная формула, и
как можно с ее помощью вычислить приближенно интеграл.
Известно,[pic] что определенный интеграл функции [pic] типа [pic]
численно представляет собой площадь криволинейной трапеции ограниченной
кривыми x=0, y=a, y=b и y=[pic] (Рис. 1).
[pic]
Рис. 1. Криволинейная трапеция.
Если f(x) непрерывна на отрезке [a, b], и известна ее первообразная F(x),
то определенный интеграл от этой функции в пределах от а до b может быть
вычислен по, известной всем, формуле Ньютона - Лейбница
[pic]= F(b) - F(a)
где
F’(x) = f(x)
Однако во многих случаях F(x) не может быть найдена, или
первообразная получается очень сложной для вычисления.
Кроме того, функция часто задается таблично. Поэтому большое значение
приобретает приближенное и в первую очередь численное интегрирование.
Задача численного интегрирования состоит в нахождении
приближенного значения интеграла [pic]по заданным или вычисленным значениям
подинтегральной функции f(x) в некоторых точках ( узлах ) отрезка [ a,
b].
Численное определение однократного интеграла называется
механической квадратурой, а соответствующие формулы численного
интегрирования - квадратурными .
Заменяя подинтегральную функцию каким-либо интерполционным многочленом,
мы получим квадратурные формулы вида
[pic]
где
xk - выбранные узлы интерполяции;
Ak - коэффициенты, зависящие только от выбора узлов, но
не от вида функции (k=0,1,2,........, n).
R - остаточный член, или погрешность квадратурной формулы.
Отбрасывая остаточный член R, мы совершаем погрешность усечения.
При расчете к ней добавляются еще различные погрешности округления.
Разобьем отрезок интегрирования [a, b] на n равных частей системой точек
xi= xo+ i..h; ( i = 0,1,2,......,n)
xo= a; xn= b;
h= (b-a)/n ;
и вычислим подинтегральную функцию в полученных узлах
yi= f(xi) ; ( i = 0,1,2,......,n)
1.2. Вывод формул численного интегрирования с использованием
интерполяционного полинома Лагранжа
Пусть для y=f(x) известны в n+1 точках X0,X1,X2..Xn промежутка [a,b]
соответствующие значения f(xi)=yi (i=0,1,2..n). Требуется приближенно найти
[pic]
По заданным значениям Yi построим полином Лагранжа. Заменим f(x) полиномом
Ln(x). Тогда
[pic]
где Rn(f) – ошибка квадратурной формулы. Отсюда, воспользовавшись
выражением для Ln(x), получаем приближенную квадратурную формулу:
[pic]
Для вычисления коэффициентов Аi заметим что:
1.коэффициенты Ai при данном расположении узлов не зависит от выбора
функции f(x);
2.для полинома степени n последняя формула точная.
Пологая y=xK (k=0,1,2..,n), получим линейную систему из n+1 уравнений:
[pic]
где
[pic]
(k=0,1,..,n), из которой можно определить коэффициенты А0,А1,..,АN.
Определитель системы есть определитель Вандермонда
[pic]
Заметим, что при применении этого метода фактическое построение полинома
Лагранжа Ln(x) является излишним. Простой метод подсчета погрешности
квадратурных формул разработан С.М. Никольским.
Теперь рассмотрим несколько простейших квадратурных формул :
1.3 Формула трапеций и средних прямоугольников.
Заменим дугу АВ стягивающей ее хордой, получим прямолинейную трапецию аАВb,
площадь которой примем за приближенное значение интеграла
y
0 a b x
рис 1.3.1 Криволинейная трапеция
[pic]
Рис. 1.3.2. Метод трапеций.
[pic]
Рис. 1.3.3. Метод средних прямоугольников.
По методам трапеций и средних прямоугольников соответственно интеграл
равен сумме площадей прямоугольных трапеций, где основание трапеции какая-
либо малая величина (точность), и сумма площадей прямоугольников, где
основание прямоугольника какая-либо малая величина (точность), а высота
определяется по точке пересечения верхнего основания прямоугольника,
которое график функции должен пересекать в середине. Соответственно
получаем формулы площадей —
для метода трапеций:
[pic],
для метода средних прямоугольников:
[pic].
1.4. Общая формула Симпсона (параболическая формула)
Пусть n=2m есть четное число и yi=f(xi) (i=0,1,2...n) - значения функции
y=f(x) для равноотстоящих точек а=x0,x1, ... ,xn=b с шагом
[pic]
Применив формулу Симпсона к каждому удвоенному промежутку [x0,x2], [x2,x4]
... [x2m-2,x2m] длины 2h и введя обозначения
(1=y1+y2+ ... +y2m-1
(2=y2+y4+ ... +y2m
получим обобщенную формулу Симпсона:
[pic]
Остаточный член формулы Симпсона в общем виде:
[pic]
где (k I (x2к-2,x2к)
1.5. Квадратурная формула Чебышева
Рассмотрим квадратурную формулу вида:
[pic]
функцию f(x) будем исать в виде когда f(x) многочлен вида
f(x)=ao+a1x+...+anxn . Проинтегрировав, преобразовав и подставив значения
многочлена в узлах
f(x1)=a0+a1x1+a2x12+a3x13+...+anx1n
f(x2)=a0+a1x2+a2x22+a3x23+...+anx2n
f(x3)=a0+a1x3+a2x32+a3x33+...+anx3n
. . . . . . . . . . . . . . . .
f(xn)=a0+a1xn+a2xn2+a3xn3+...+anxnn
получим формулу Чебышева.
[pic]
Значения х1,х2,..,хn для различных n приведены в таблице 3.
Таблица 3 – Значения х1,х2,..,хn для различных n.
| n | I | ti | n | i | ti |
|2 |1;2 |( 0,577350 | 6 |1;6 |( 0,866247 |
|3 |1;3 |( 0,707107 | |2;5 |( 0,422519 |
| |2 | 0 | |3;4 |( 0,266635 |
|4 |1;4 |( 0,794654 | 7 |1;7 |( 0,883862 |
| |2;3 |( 0,187592 | |2;6 |( 0,529657 |
|5 |1;5 |( 0,832498 | |3;5 |( 0,321912 |
| |2;4 |( 0,374541 | |4 | 0 |
| |3 | 0 | | | |
2. Решение контрольного примера
[pic]
где a=0 ; b= [pic]; при n=5;
f(x) = sin(x);
[pic]
[pic]
| i| xi | yi |
|1 | 0,131489 | 0,131118 |
|2 | 0,490985 | 0,471494 |
|3 | 0,785 | 0,706825 |
|4 | 0,509015 |0,487317 |
|5 | 0,868511 |0,763367 |
x1= (/4+(/4*t1=(/4+(/4(-0,832498)=0,131489
x2= (/4+(/4*t2=(/4+(/4(-0,374341)=0,490985
x3= (/4+(/4*t3=(/4+(/4*0=0,785
x4=1- x2=1-0,490985 = 0,509015
x5=1- x1=1-0,131489=0,868511
y1=sin(x1) = sin(0,131489)=0,131118
y2=sin(x2) = sin(0,490985)=0,471494
y3=sin(x3) = sin(0,785)=0,706825
y4=sin(x4) = sin(0,509015)=0,487317
y5=sin(x5) = sin(0,868511)=0,763367
[pic]
I = (/10(0,131118+0,471494+0,706825+0,487317+0,763367) =
=(/10*2,560121=0,8038779.
3. Описание программы Integral. pas. Алгоритм.
Процедура VVOD - заполняет массив, содержащий в себе аргументы xi
Процедура FORM - используя массив, содержащий аргументы xi заполняет массив
yi
Процедура CHEB - используя массивы xi и yi, высчитывает по
квадратурной формуле Чебышева приближенное значение интеграла.
Процедура TABL - это подпрограмма, осуществляющая вывод таблицы узлов
(аргумент - функция)
При запуске программы нужно ввести границы интегрирования.
После ввода границ интегрирования используется процедура VVOD, а затем
высчитывается и выводиться на экран шаг табулирования функции h.
После этого используем процедуры FORM и CHEB .
Получив результат, выводим таблицу ( процедура TABL ) и интеграл.
4. Заключение и выводы.
Таким образом очевидно, что при вычислении определенных интегралов с
помощью квадратурных формул, а в частности по формуле Чебышева не дает нам
точного значения, а только приближенное.
Чтобы максимально приблизиться к достоверному значению интеграла
нужно уметь правильно выбрать метод и формулу, по которой будет вестись
расчет. Так же очень важно то, какой будет взят шаг интегрирования.
Хотя численные методы и не дают очень точного значения интеграла, но
они очень важны, так как не всегда можно решить задачу интегрирования
аналитическим способом.
5.Список литературы:
1. Ракитин Т.А., Первушин В.А. “Практическое руководство по численным
методам с приложением программ на языке Basic“
2. Крылов В.И. “Приближенные вычисления интегралов“ - М. : Физмат.
3. Демидович и Марон “Основы вычислительной математики“
4. Копченова и Марон “Вычислительная математика в примерах и задачах”
5. Вольвачев А.Н., Крисевич В.С. Программирование на языке Паскаль для ПЭВМ
ЕС. Минск.: 1989 г.
6. Зуев Е.А. Язык программирования Turbo Pascal. М.1992 г.
7. Скляров В.А. Знакомьтесь: Паскаль. М. 1988 г.
6. Листинг программы.
Программа написана на языке Tubro Pascal 7.0 для MS-DOS. Ниже
приведен ее листинг:
program integral;
uses crt;
const n=5;
k=-0.832498;
l=-0.374541;
z=0.0;
type aa=array[1..n] of real;
var x,y:aa;
a,b,h,ich:real;
{ заполнение х-сов в массив х[5] }
procedure vvod(var a,b:real;var c:aa);
var i:integer;
t:aa;
Begin
t[1]:=k;
t[2]:=l;
t[3]:=z;
t[4]:=l;
t[5]:=k;
for i:=1 to n-1 do
c[i]:=((b+a)/2+(b-a)/2*t[i]);
for i:=n-1 to n do
c[i]:=1 - c[n+1-i];
end;
{ заполнение y-ков в массиве у[5] }
procedure form(var x:aa; var y:aa);
var i:integer;
Begin
for i:=1 to n do
y[i]:=sin(x[i]); {функция}
end;
{ процедура для расчета интеграла по квадратурной
формуле Чебышева }
procedure cheb(var y:aa;var ich:real);
var i:integer;
Begin
ich:=0;
for i:=1 to n do
ich:=ich+y[i]*h;
end;
{ процедура вывода таблицы}
procedure tabl;
var i:integer;
Begin
writeln(' ___________________________________ ');
writeln('| i | t | x | y |');
writeln(' ___________________________________ ');
writeln('| 1 |',k:9:6,'|',x[1]:9:6,' |',y[1]:9:6,'|');
writeln('| 2 |',l:9:6,'|',x[2]:9:6,' |',y[2]:9:6,'|');
writeln('| 3 |',z:9:6,'|',x[3]:9:6,' |',y[3]:9:6,'|');
writeln('| 4 |',l:9:6,'|',x[4]:9:6,' |',y[4]:9:6,'|');
writeln('| 5 |',k:9:6,'|',x[5]:9:6,' |',y[5]:9:6,'|');
writeln(' ___________________________________ ');
end;
Begin
clrscr;
writeln(' П Р О Г Р А М М А Д Л Я В Ы Ч И С Л Е Н И Я');
writeln(' О П Р Е Д Е Л Е Н Н О Г О И Н Т Е Г Р А Л А ');
writeln;
writeln('Введите границы интегрирования a,b:');
readln(a,b);
vvod(a,b,x);
h:=(b-a)/n;
writeln('h=',h:9:6);
form(x,y);
cheb(y,ich);
tabl;
writeln('I=',ich:8:6);
end.
Вывод результата :
П Р О Г Р А М М А Д Л Я В Ы Ч И С Л Е Н И Я
О П Р Е Д Е Л Е Н Н О Г О И Н Т Е Г Р А Л А
Введите границы интегрирования a,b:
0 1.5708
h= 0.314160
____________________________
| i | t | x | y |
____________________________
| 1 |-0.832498| 0.131556 | 0.131177|
| 2 |-0.374541| 0.491235 | 0.471716|
| 3 | 0.000000| 0.785400 | 0.707108|
| 4 |-0.374541| 0.508765 | 0.487099|
| 5 |-0.832498| 0.868444 | 0.763325|
____________________________
I=0.804383
-----------------------
y-f(x)
B
A
