Рефераты - Афоризмы - Словари
Русские, белорусские и английские сочинения
Русские и белорусские изложения
 

Полиномы Чебышёва второго рода

Работа из раздела: «Математика»

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

Учреждение образования

«Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины»

Математический факультет
Кафедра теории вероятности и экономической кибернетики

КУРСОВАЯ РАБОТА

Полиномы Чебышёва второго рода

Исполнитель:

студент группы М-31

Желнов Алексей Олегович

Научный руководитель:

Старовойтов Александр Павлович

Гомель 2009
Содержание
Введение
1 Рекурсивное определение
2 Явные формулы
3 Тригонометрическое определение

4 Теорема (Е.И. Золотарёва- А.Н. Коркина)

5 Фильтр Чебышёва II рода

6 Применение ортогональных полиномов Чебышева при нахождении кривых распределения вероятностей.

Cписок использованных источников

Введение

Многочлемны Чебышёва -- две последовательности многочленов и , названные в честь их первооткрывателя Пафнутия Львовича Чебышёва.

T1, T2, T3, T4, T5

Многочлен Чебышёва первого рода Tn(x) характеризуется как многочлен степени n со старшим коэффициентом 2n - 1, который меньше всего отклоняется от нуля на интервале [ ? 1,1].

U1, U2, U3, U4, U5

Многочлен Чебышёва второго рода Un(x) характеризуется как многочлен степени n со старшим коэффициентом 2n, интеграл от абсолютной величины которого по интервалу [ ? 1,1] принимает наименьшее возможное значение.

1. Рекурсивное определение

Многочлены Чебышёва первого рода Tn(x) могут быть определены с помощью рекуррентного соотношения:

Многочлены Чебышёва второго рода Un(x) могут быть определены с помощью рекуррентного соотношения:

2. Явные формулы

Многочлены Чебышёва являются решениями уравнения Пелля:

Tn(x)2 ? (x2 ? 1)Un ? 1(x)2 = 1

в кольце многочленов с вещественными коэффициентами и удовлетворяют тождеству:

Из последнего тождества также следуют явные формулы:

3. Тригонометрическое определение

Многочлены Чебышёва первого рода Tn(x) могут быть также определены с помощью равенства:

или, что почти эквивалентно,

Tn(z) = cos(narccosz)

Многочлены Чебышёва второго рода Un(x) могут быть также определены с помощью равенства:

Примеры. Несколько первых многочленов Чебышёва первого рода

Несколько первых многочленов Чебышёва второго рода

Свойства. Многочлены Чебышёва обладают следующими свойствами:

· Ортогональность по отношению к соответствующим скалярному произведению (с весом для многочленов первого рода и для многочленов второго рода).

· Среди всех многочленов, значения которых на отрезке [ ? 1,1] не превосходят по модулю 1, многочлен Чебышёва имеет:

o наибольший старший коэффициент

o наибольшее значение в любой точке

· Нули полинома Чебышёва являются оптимальными узлами в различных интерполяционных схемах.

Полиномами Чебышева второго рода называются полиномы образующие на ортогональную систему веса Сейчас мы остановимся на них более подробно.

Лемма 1. Справедливо тождество

Лемма доказывается индуктивно на основании формулы

И того факта, что

Следствие. Если то функция (*) есть полином степени n со старшим коэффициентом

Лемма 2. Полиномы образуют на ортогональную систему веса .

В самом деле, интеграл

Подстановкой сводится к интегралу

Таким образом для полиномов получается формула

(**)

Замечание. Формула (**) можно вывести из самого определения полинома . Именно, всякого полинома R(x)степени ниже n будет

Полагая здесь находим

Так как есть тригонометрический полином порядка n+2, то

Подставляя это предшествующий интеграл и беря в качестве функцию , где m<n, находим

Отсюда следует, что Таким образом

Положим здесь и=0 и и=р . Это даёт условия на коэффициенты A:

Отсюда и Значит, что снова приводит к формуле (**).

Чтобы получить полином , со старшим коэффициентом 1, надо положить Ввиду того что

ясно, что нормированные полиномы получаются при

Рекуррентная формула для получается проще

откуда

. (*3)

Так как

Чтобы написать непрерывную дробь, связанную с полиномами , отметим, что для них

Кроме того .

Так как при x>1

То

Отметим ещё, что корни полинома суть

Отсюда легко получить, что предельная плотность распределения этих корней при n, стремящемся к бесконечности, такая же , как у полиномов то есть равная

Впрочем, это ясно и из того обстоятельства, что полином является производной полинома Действительно,

Переходя к вопросам разложения по полиномам , отметим что

4. Теорема (Е.И. Золотарёва- А.Н. Коркина)

Из всех полиномов степени n со старшими коэффициентом, равным единице, наименьшее значение интегралу

Доставляет полином . Для доказательства выше упомянутой теоремы безусловно потребуются предварительные соображения.

Лемма 1. Пусть n-натуральное число, а m-одно из чисел 0,1,2,… ,n. Тогда

Действительно,

Если числа n и m разной чётности, то

Если же n и m одно чётности, то левая часть (*6), если число чисто мнимое, ибо

Лемма доказана.

Лемма 2. Если n-натуральное число, а r -одно из чисел 0,1,…,n-1, то

В самом деле, если , то .

Отсюда

И, стало быть,

Но

Значит, дело сводится к доказательству равенства

Которое можно привести к виду

Или

Это же последнее равенство равносильно (*5).

Следствие. Если n -натуральное число, а r -одно из чисел 0,1,2,…,n-1, то

Лемма 3. Справедливо равенство

Но последний интеграл равен

Замечая, что

И учитывая (*6), сводим лемму к очевидному равенству

Возвращаясь к теореме Золотарёва-Коркина, обозначим через произвольный полином степени n со старшим коэффициентом, равным единице. В силу (*7) и (*8) имеем

Отсюда

С другой стороны, при мы имеем здесь точное равенство. Таким образом интеграл (*4)действительно минимизируется полиномом . Остаётся показать, что нет других решений проблемы. Но если бы оказалось, что

То отсюда следовало бы, что

Где Значит, необходимо то есть полиномы имеют одинаковые знаки. Так как меняет знак при переходе через каждый свой корень, то то же должно иметь место и для . Иначе говоря, имеют общие корни, а так как и старшие коэффициенты у них одинаковы, то эти два полинома должны быть тождественны.

Теорема Золотарёва-Коркина была неоднократно обобщаема в различных направлениях, но мы ограничимся сказанным.

5. Фильтр Чебышёва II рода

АЧХ фильтра Чебышёва II рода (фильтр низких частот) с щ0 = 1 и

Фильтр Чебышёва II рода (инверсный фильтр Чебышёва) используется реже, чем фильтр Чебышёва I рода ввиду менее крутого спада амплитудной характеристики, что приводит к увеличению числа компонентов. У него отсутствуют пульсации в полосе пропускания, однако присутствуют в полосе подавления. Амплитудная характеристика такого фильтра задаётся следующим выражением:

В полосе подавления полиномы Чебышёва принимают значения от 0 до 1, из-за чего амплитудная характеристика такого фильтра принимает значения от нуля до

минимальной частотой, при которой достигается этот максимум является частота среза щ0. Параметр связан с затуханием в полосе подавления г в децибелах следующим выражением:

Для затухания на частотах полосы подавления в 5 дБ: ; для затухания в 10 дБ: . Частота fC = щC / (2р) является частотой среза. Частота затухания в 3 дБ fH связана с fC следующим выражением:

.

Полюса и нули

Логарифм модуля амплитудной характеристики фильтра Чебышёва II рода восьмого порядка на комплексной плоскости (s = у + jщ) с и щ0 = 1. Белые пятна соответствуют полюсам, а чёрные -- нулям. Показаны все 16 полюсов. 6 нулей (все нули второго порядка) показаны также, 2 находятся за пределами картинки (один на положительной мнимой оси, другой -- на отрицательной мнимой оси). Полюса передаточной функции фильтра -- это полюса, находящиеся в левой полуплоскости, нули передаточной функции -- это нули модуля амплитудной характеристики фильтра Чебышёва, только не второго, а первого порядка. Чёрный цвет соответствует коэффициенту усиления менее 0,01, белый -- коэффициенту усиления более 3.

Приняв частоту среза равной единице, получим выражение для полюсов (щpm) фильтра Чебышёва:

.

Полюса фильтра Чебышёва II рода представляют собой «инверсию» полюсов фильтра Чебышёва I рода:

,

где .

Нули (щzm) фильтра Чебышёва II рода определяются из следующего соотношения:

.

Нули фильтра Чебышёва II рода являются «инверсией» нулей многочленов Чебышёва:

,

где .

Групповая задержка

Амплитудная характеристика и групповая задержка фильтра Чебышёва II рода пятого порядка с .

Амплитудная характеристика и групповая задержка показаны на графике. Можно видеть, что пульсации амплитуды приходятся на полосу подавления, а не на полосу пропускания.

Фазовые характеристики

Типовая ФЧХ и фазовая задержка фильтра Чебышёва II рода 10-го порядка.

Фазовые характеристики фильтра Чебышёва II рода -- фазо-частотная характеристика и фазовая задержка -- представлены на рисунке. Фазо-частотная характеристика показывает распределение по частоте смещения фазы выходного сигнала относительно входного. Фазовая задержка определяется как частное от деления фазо-частотной характеристики на частоту и характеризует распределение по частоте временного смещения выходного сигнала относительно входного.

Временные характеристики

Типовые временные характеристики фильтра Чебышёва II рода 5-го порядка.

Временные характеристики фильтра Чебышёва II рода -- импульсная переходная функция и переходная функция -- представлены на рисунке. Импульсная переходная функция представляет собой реакцию фильтра на входной сигнал в виде дельта-функции Дирака, а переходная функция -- реакцию на входное воздействие в виде единичной функции Хевисайда.

Сравнение с другими линейными фильтрами

Ниже представлены графики АЧХ фильтра Чебышёва I и II родов в сравнении с некоторыми другими фильтрами с тем же числом коэффициентов:

По графикам видно, что амплитудная характеристики фильтров Чебышёва имее более крутой спад, чем у фильтров Баттерворта, но не такой крутой, как у эллиптического фильтра.

6. Применение ортогональных полиномов Чебышева при нахождении кривых распределения вероятностей

Получение ортогональных полиномов по способу Чебышева

В этой главе рассмотрено получение ортогональных полиномов способом, который разработал П. Л. Чебышев. А именно, через разложение в непрерывную дробь суммы

и рассмотрение знаменателей подходящих дробей полученной непрерывной дроби. Причем показано, что полученные таким образом ортогональные полиномы отвечают условиям метода наименьших квадратов, а так же показано их применение для нахождения кривых распределения вероятностей.

Получение ортогональных полиномов по способу Чебышева.

Пусть даны значения интерполируемой функции,

соответствующие значения аргумента . Каждому значению аргумента ставится в соответствие частота .

Требуется найти такую целую функцию

,

где , которая удовлетворяла бы условию наименьшего значения суммы

.

В данной задаче в качестве веса предлагается рассмотреть [8]

,

где n есть

или иначе говоря n - сумма всех испытаний.

Для решения нашей задачи находим коэффициенты , которые определяются из следующих уравнений

;

;

……………………

;

;

После преобразований получаем следующую систему уравнений для нахождения коэффициентов

;

;

……………………

;

……………………

;

где

Такой подход к нахождению коэффициентов имеет существенный недостаток - при повышении степени полинома хотя бы на единицу приходится переписывать все уравнения и решать систему заново.

Есть другой вариант построения искомого полинома [8].

Пусть будет целая функция от степени , которая обращается в при . Положим

,

где - целые функции степеней , а - коэффициенты.

Пусть теперь сумма первых членов выражения

равняется

,

т.е. .

Каковы в этом случае условия относительно и при которых сумма

имеет наименьшее значение?

Обозначим эту сумму через :

,

и, подставляя в нее

,

составляем обычным способом дифференцирования следующие уравнения:

Отсюда следует:

Так как есть ортогональные полиномы по построению, следовательно все слагаемые вида будут равняться 0.

В результате преобразований получим выражения для коэффициентов :

;

;

………………

;

………………

.

Теперь можно представить функцию

в таком виде

.

Легко убедиться, что для перехода от найденного выражения интерполируемой функции к целой функции степени , достаточно к левой части полученной функции приписать один новый член

.

Для дальнейшего перехода к целой функции степени , также удовлетворяющей условию наименьшего значения суммы

,

достаточно прибавить к найденному выражению функции степени , такой новый член

.

Таким образом, решение задачи параболического интерполирования по способу наименьших квадратов приводится к нахождению ряда

Этот ряд, обладающий свойством давать посредством суммы своих первых членов приближенное представление интерполируемой функции в виде целой функции степени , удовлетворяющей требованию наименьших квадратов, называется интерполяционным рядом Чебышева.

Теперь для полного решения задачи остается еще узнать, что представляют собой функции , определив через данные величины и коэффициенты при в выражении этих функций.

Далее, с помощью разложения дроби

по нисходящим степеням получим, что дробь

,

Где

,

дает приближенное представление функции [7]

с точностью до членов степени

включительно. Здесь есть весовая функция, найденная ранее по методу Пирсона. Но эта дробь, у которой степень числителя на единицу меньше степени знаменателя, при разложении в непрерывную дробь всегда будет в своих неполных частных содержать переменную в первой степени. Следовательно, знаменатели ее подходящих дробей есть функции степеней ; поэтому можно положить

.

Что касается , то его можно приравнять .

Разлагая

в непрерывную дробь вида

,

где и - некоторые постоянные, используем найденные выше свойства функции для определения этих постоянных через данные значения .

Выражения для будет иметь вид:

.

Выражения для коэффициентов будут следующими:

.

Вводя для сокращения обозначение

через , запишем выражение для в таком виде:

.

Для выражение будет иметь вид

.

Что касается величин и , то они равны соответственно

и .

Теперь перейдем к определению коэффициентов в выражении

.

Для получим выражение

.

Это выражение весьма упростится, если мы будем считать отклонениями данных значений аргумента от его средней арифметической так, что . Тогда , а выражение для будет иметь вид

.

Также упростятся выражения для

и .

Функция станет равной , функции определяются путем последовательных подстановок выражений в формулы

.

При помощи этих формул можно вычислить какой угодно член ряда Чебышева

.

Оценка результатов интерполирования производится при помощи среднего квадратического отклонения данных значений интерполируемой функции от вычисленных по найденному уравнению параболы.

Обозначим сумму квадратов отклонений через . Тогда можно написать

.

будет равняться

,

а выражать рекуррентно через по формуле

.

Итак,

, , ,

, , , ,

, ,

,

, .

Мы видим, что в зависимости от нашей весовой функции в разложении мы получим разные системы ортогональных полиномов.

Обобщение метода Грамма - Шарлье

Пусть по методу Пирсона найден вид кривой распределения вероятностей на соответствующем интервале. Теперь, для представления в удобном для практического использования виде, запишем полученную кривую в несколько иной форме. Для этого используем обобщение Грамма - Шарлье, которое основывается на применении ортогональных полиномов Чебышева и состоит в том, что кривая распределения вероятностей представима в виде следующего разложения:

(4)

где - есть к-ая производная функции . Здесь полагаем, что

.

Таким образом, мы получаем кривую распределения вероятностей теперь уже в виде .

Производные функции мы можем представить в виде [3]

,

тогда можем записать

где функции должны удовлетворять следующему свойству:

если (5)

А коэффициенты получаются из равенства (4) с помощью домножения на любой из ортогональных полиномов и, интегрирования полученного равенства:

=

Отсюда следует, что

.

На практике в этом разложении мы используем только четыре первых члена, и коэффициенты перед ними есть:

Коэффициенты имеют четкий статистический смысл, а именно: коэффициент , выраженный через , отвечает за асимметрию закона распределения, и коэффициент выраженный через - за эксцесс или дефект кривой распределения.

Свойство (5) есть свойство ортогональности полиномов, т. е. по определению является системой ортогональных полиномов.

Весовые функции и кривые распределения вероятностей

В общей теории ортогональных полиномов известно, что система ортогональных полиномов называется классической, если она ортогональна относительно весовой функции, которая является решением дифференциального уравнения Пирсона [2], [6]. То есть, здесь прослеживается связь между теорией классических ортогональных полиномов и задачами математической статистики (нахождением закона распределения вероятностей).

Полиномы Чебышева - Эрмита.

Пусть многочлен (2) не имеет корней, тогда уравнение Пирсона (1) после переноса начала координат запишется в виде

,

тогда решение этого уравнения запишется в виде

(6)

Линейным преобразованием независимого переменного

эта функция приводится с точностью до постоянного множителя к весовой функции многочленов Чебышева - Эрмита, которая имеет вид

.

Поскольку умножение весовой функции на постоянную практически не изменяет ортогональные многочлены, то в формуле (6), как и в аналогичных нижеследующих формулах, не нарушая общности, можно полагать . В данном случае ортогональные многочлены с весом (6) выражаются через ортогональные многочлены Чебышева - Эрмита по формуле

.

В этом случае условие ортогональности запишется в виде:

если

Полиномы Чебышева - Лагерра.

Пусть теперь многочлен (2) имеет один корень. Тогда уравнение (1) представимо в виде

Тогда его решение запишется в виде

ц(x)=

Многочлены, ортогональные с таким весом, можно рассматривать как обобщение многочленов Чебышева - Лагерра, ортогональных с весом

ц(x)=

Причем и здесь можно выразить эти многочлены через многочлены Чебышева - Лагерра , а условие ортогональности будет:

если

Полиномы Якоби.

Предположим, что многочлен (2) имеет два различных действительных нуля. Тогда , и уравнение Пирсона (1) представимо в виде

,

где и - некоторые постоянные и . Тогда решение уравнения (1) представимо в виде

и определяет некоторую систему ортогональных многочленов, которая линейным преобразованием независимого переменного и умножением на постоянную сводится к системе многочленов Якоби . Так как весовая функция многочленов Якоби имеет вид

.

И соответственно условие ортогональности будет иметь вид:

если

Многочлены Чебышева I рода являются частным случаем многочленов Якоби, так как весовая функция, относительно которой ортогональны эти многочлены, имеет вид:

и получается при подстановке в весовую функцию многочленов Якоби параметров

.

Многочлены Чебышева II рода так же являются частным случаем многочленов Якоби, так как весовая функция многочленов Чебышева II рода имеет вид

и получается при подстановке в весовую функцию многочленов Якоби параметров

.

Следует так же отметить, что многочлены Лежандра являются частным случаем многочленов Якоби, так как весовая функция многочленов Лежандра

и есть частный случай весовой функции многочленов Якоби при .

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. 3. Гребенча М.К. Курс математического анализа [Текст] / М.К. Гребенча, С.И. Новоселов - М. : Высш. шк., 1961. - 560 с., часть 2.

4. Зверович Э.И. Вещественный и комплексный анализ [Текст] / Э.И. Зверович - 2008. Часть 6

5. Волковыский Л.И. Сборник задач по ТФКП [Текст] / Л.И. Волковыский, С.А. Лунц, И.Г. Ароманович - М. : Наука, 1975. - 319 с.

6. Курант Р. Курс дифференциального и интегрального исчисления [Текст] / Р. Курант - Н. 1967. ,т.1

7. Никольский С.М. Курс математического анализа [Текст] / С.М. Никольский - Н. 1983.

8. Сборник задач по математическому анализу (интегралы, ряды) [Текст] / Л.Д. Кудрявцев [и др.] - М. 1986.

9. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления [Текст] / Г.М. Фихтенгольц - М., 1969.

10. Сидоров Ю.В. Лекции по теории функций комплексного переменного [Текст] / Ю.В. Сидоров, М.В. Федорюк, М.И. Шабунин - М., 1982.

11. Зорич В.А. Математический анализ [Текст] / В.А. Зорич - М., 1981, 1984.

ref.by 2006—2019
contextus@mail.ru