Рефераты - Афоризмы - Словари
Русские, белорусские и английские сочинения
Русские и белорусские изложения
 
У нас есть несколько работ на данную тему. Вы можете создать свою уникальную работу объединив фрагменты из уже существующих:
  1. Теория вероятностей 14.3 Кб.
  2. Теория вероятностей 48.3 Кб.
  3. Теория вероятностей и математическая статистика 2.1 Кб.
  4. Теория вероятностей и случайных процессов 5 Кб.
  5. Теория вероятностей 39.9 Кб.
  6. Теория вероятностей 31.1 Кб.
  7. Теория вероятностей 21.1 Кб.
  8. Теория вероятностей 19.8 Кб.
  9. Теория вероятностей 4.8 Кб.
  10. Теория вероятностей 20.1 Кб.

Теория вероятностей

Работа из раздела: «Математика»

/

Задача 1

В урне 5 белых и 5 черных шара. Из этой урны последовательно извлечены по одному все шары и разложены в ряд. Какова вероятность того, что все шары чередуются?

Решение

Пусть событие А - шары чередуются. Рассмотрим комбинации шаров как перестановки с повторениями, из которых событию А благоприятствуют 2 комбинации. Тогда искомая вероятность Р(A) = .

Ответ: Р = 0,0079.

Задача 2

Число грузовых автомашин, проезжающих по шоссе, на котором стоит бензоколонка, относится к числу легковых машин, проезжающих по шоссе, как 3 : 2. Вероятность того, что будет заправляться грузовая машина, равна 0,1; для легковой машины эта вероятность равна 0,2. К бензоколонке подъехала автомашина. Найти вероятность того, что это грузовая машина.

Решение

Пусть событие А - к бензоколонке подъехала машина. Можно сделать два предположения: В1 - машина грузовая, B2 - машина легковая. Вероятность появления грузовой машины равна а легковой - . Условная вероятность того, что, подъехавшая машина будет грузовой, , а для легковой - . Искомая вероятность того, что к бензоколонке подъехала грузовая машина, по формуле Бейеса равна .

Ответ: Р =

Задача 3

Найти математическое ожидание, дисперсию и вероятность попадания в интервал (1;2).

.

Решение

Найдем дифференциальную функцию распределения f(x) = F'(x).

Математическое ожидание случайной величины Х находим по формуле:

М(Х) =

дисперсию D(x) определим по формуле D(x) = D(x) =

Вероятность попадания в интервал равна приращению интегральной функции на заданном интервале: Р(1<X<2) = F(2) - F(1) =

Ответ: М(Х) = 2.

D(X) = 0,5.

P =

Задача 4

Найти вероятность того, что при n испытания событие наступит ровно k раз.

n = 225, р = 0,64; k =158.

Решение

Воспользуемся локальной теоремой Лапласа: Вычислим определяемое данными задачи значение х:

По таблице

Ответ: Р = 0,0658.

Задача 5

Дана вероятность p появления события А в каждом из n независимых испытаний. Найти вероятность того, что в этих испытания событие А появиться не менее k1 раз и не более k2 раз. N = 625; p = 0,8; k1 =480; k2 = 500.

Решение

Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа:

, где ,.

; .

Р625 (480;500)=Ф(0) - Ф(- 2) = 0,4772.

Ответ: Р = 0,4772.

Задача 6

Задан закон распределения дискретной случайной величины Х (в первой указаны возможные значения величины Х, во второй строке даны вероятности р этих значений). Найти: 1) математическое ожидание М(Х); 2)дисперсию D(X); 3) среднее квадратическое отклонение .

Х

21

20

22

26

р

0,5

0,2

0,2

0,1

Решение

1) М(Х) = = .

2) D(X) = М(Х2) - (М(Х))2 =

3) .

Ответ: М(Х) = 21,5

Д(Х) = 2,65

Задача 7

Случайные отклонения размера детали от номинала распределены нормально. Математическое ожидание размера детали равно 200мм, среднее квадратическое отклонение равно 0,25 мм. Стандартными считаются детали, размер которых заключен между 199,5 мм и 200,6 мм. Из-за нарушения технологии точность изготовления деталей уменьшилась и характеризуется средним квадратическим отклонением 0,4 мм. На сколько повысился процент бракованных деталей?

Решение

а = 200, , .

Для найдем вероятность попадания в заданный интервал

или 95,44%.

Для или 78,88%.

95,44%. - 78,88% = 16,56%

Ответ: на 16,56%

Задача 8

При выборочном опросе 1000 телезрителей, пользующихся услугами спутникового телевидения, получены следующие результаты распределения их по возрасту:

Возраст (лет)

Менее 20

20- 30

30 -40

40 -50

50-60

60-70

Более 70

Итого

Количество пользователей (чел)

8

17

31

40

32

15

7

150

Найти: а) вероятность того, что средний возраст телезрителей отличается от среднего возраста, полученного по выборке, не более чем на 2 года (по абсолютной величине);

б) границы, в которых с вероятностью 0,97 заключена доля телезрителей, возраст которых составляет от 30 до 50 лет;

в) объем бесповторной выборки, при котором те же границы для доли можно гарантировать с вероятностью 0,9876; дать ответ на тот же вопрос, если никаких предварительных сведений о рассматриваемой доле нет.

Решение

Для решения задачи составим расчетную таблицу. В качестве ложного нуля выберем С = 45, h = 10.

Середина интервала

Менее 20

15

8

-3

-24

72

20 - 30

25

17

-2

-34

68

30 - 40

35

31

-1

-31

31

40 - 50

45

40

0

0

0

50 - 60

55

32

1

32

32

60 - 70

65

15

2

30

60

Более 70

75

7

3

21

63

150

-6

326

.

а) Вероятность того, что средний возраст телезрителей отличается от среднего возраста в выборке не более чем на 2 года (по абсолютной величине), найдем

б) Учитывая, что Ф(t) = 0,97 и по таблице t = 2,16, найдем предельную ошибку выборки для доли

, ,

Теперь или 0,391 < P < 0,555.

в) Объем бесповторной выборки

По условию Ф(t) = 0,9879. По таблице t = 2,5 и тогда

Если о доли ничего не известно, полагаем Тогда

.

Задача 9

По данным задачи 8, используя критерий - Пирсона, при уровне значимости проверить гипотезу о том, что случайная величина Х - возраст телезрителей - распределена по нормальному закону. Построить на одном чертеже гистограмму эмпирического распределения и соответствующую нормальную кривую.

Решение

. Вычислим теоретические частоты, учитывая, что h = 10.

Составим вспомогательную таблицу:

1

15

- 2,01

0,0529

5,4

2

25

- 1,33

0,1647

16,8

3

35

- 0,65

0,3230

32,9

4

45

- 0,03

0,3988

40,6

5

55

0,71

0,3101

31,6

6

65

1,38

0,1539

15,7

7

75

2,06

0,0478

4,9

Сравним эмпирические и теоретические частоты. Составим вспомогательную таблицу, но так как первая и седьмая группы малочисленные, то объединим их в одну, сложив их частоты.

()2

1

15

5,4

4,7

22,09

2,14

2

17

16,8

0,2

0,04

0,002

3

31

32,9

-1,9

3,61

0,11

4

40

40,6

-0,6

0,36

0,009

5

32

31,6

0,4

0,16

0,005

6

15

15,7

-0,7

0,49

0,03

150

По таблице критических точек распределения по уровню значимости и числу степеней свободы k = 6 - 3 = 3 находим критическую точку правосторонней критической области . Так как , нет оснований отвергнуть гипотезу о нормальном распределении совокупности.

Гистограмма эмпирического распределения телезрителей по возрасту

Нормальная кривая распределения возраста телезрителей

Задача 10

Распределение 5 однотипных малых предприятий по основным фондам, Х (млн. руб.) и себестоимости выпуска единицы продукции У(тыс. руб.) представлено в таблице:

У

Х

1,25

1,5

1,75

2,0

2,25

Итого

80-130

1

2

3

6

130-180

1

4

3

8

180-230

4

8

3

1

16

230-280

2

5

4

11

280-330

3

4

2

9

Итого

5

13

16

9

7

50

Необходимо: 1) вычислить групповые средние и , построить эмпирические линии регрессии; 2) предполагая, что между переменными Х и У существует линейная корреляционная зависимость: а) найти уравнения прямых регрессии и построить их графики на одном чертеже с эмпирическими линиями регрессии; б) вычислить коэффициент корреляции; на уровне значимости , оценить его значимость и сделать вывод о тесноте и направлении связи между переменными Х и У; в) используя соответствующее уравнение регрессии, определить количество выпускаемой продукции при стоимости одной единицы продукции, равной 2,5 тыс. руб.

Решение

1) Построим корреляционную таблицу, в которую внесем групповые средние:

1,25

1,5

1,75

2,0

2,25

Всего

Групповые средние

80-130

105

1

2

3

6

2,1

130-180

155

1

4

3

8

2,1

180-230

205

4

8

3

1

16

1,8

230-280

255

2

5

4

11

1,5

280-330

305

3

4

2

9

1,5

Всего

5

13

16

9

7

Групповые средние

285

255

221

206

141

. Построим эмпирические линии регрессии.

2) Составим корреляционную таблицу в условных вариантах, выбрав в качестве ложных нулей С1 = 205, С2 = 1,75, h1 =50, h2 = 0,5.

U

V

-2

-1

0

1

2

-2

1

2

3

6

-1

1

4

3

8

0

4

8

3

1

16

1

2

5

4

11

2

3

4

2

9

5

13

16

9

7

n=50

Составим расчетную таблицу

U

V

-2

-1

0

1

2

vU

-2

0

1

-2

2

2

-4

6

3

-6

8

-16

-1

0

1

-1

4

4

-4

6

3

-3

10

-10

0

-4

4

0

0

8

0

3

3

0

2

1

0

1

0

1

-4

2

2

-5

5

-5

0

4

4

-9

-9

2

-6

3

6

-4

4

8

0

2

4

-10

-20

8

13

5

-8

-9

-55

uV

-16

-13

0

-8

-18

-55

Найдем и .

,

Найдем выборочный коэффициент корреляции.

.

Найдем .

.

Найдем : ;

Составим уравнение прямой линии регрессии: и . , ух = - 0,007х + 3,28.

, ху = 78,8у + 351,9.

Вычислим фактическое значение t - критерия: . По таблице tкр(0,05;48)=2,02.

У(2,5) =

Так как Тфакт > tкр, связь между признаками тесная, но обратная. (График прилагается).

Задача 11

На основании информации таблицы составить оптимальный план производства на максимум общей стоимости.

Ресурсы

Нормы затрат на единицу продукции

Затраты

Труд

1

1

44

Сырье

4

2

96

Оборудование

19

1

133

Цена

25

12

Решение

Пусть х1, х2, - продукция соответственно 1-го, 2-го видов. Нам необходимо найти максимум целевой функции

F =25х1 + 12х2 при следующей системе ограничений:

Приведем систему неравенств к системе уравнений, введя свободные неотрицательные переменные х3, х4, х5. Выразим их через основные.

Из рассмотрения целевой функции видно, что ее наибольшее увеличение возможно за счет х1, т.к. она входит в выражение функции с наибольшим коэффициентом. Значит, переменную х1 переведем в число основных. Для того, чтобы выяснить, какую переменную перевести в число не основных, найдем: х1 = min= 7, т.е. х5 перейдет в число не основных.

Увеличим значение функции за счет х2.

, значит х4 перейдет в число не основных.

Дальнейшее увеличение функции F невозможно, т.к. все переменные в ней с отрицательными коэффициентами. Значит, критерий оптимальности достигнут. Наибольшая стоимость F = 581 ден. ед., при этом продукции 1-го вида надо выпустить 5 ед., 2-го вида - 38 ед.

Задача 12

Заполнить схему межотраслевого баланса при заданных матрицах коэффициентов прямых материальных затрат и конечной продукции.

,

Решение

Матрица А имеет неотрицательные коэффициенты и удовлетворяет критерию продуктивности: . Поэтому, для любого вектора конечного продукта У можно найти необходимый объем валового выпуска Х по формуле Х = (Е - А)-1. Найдем матрицу полных затрат

S = (E - A)-1.

(Е - А) = ,

значит, матрица (Е - А) невырожденная и имеет обратную матрицу. Построим матрицу (Е - А)/ транспонированную к (Е - А).

(Е - А)/ = . Построим матрицу присоединенную к (Е - А). Для этого найдем алгебраические дополнения.

(Е - А)-1 = ,

Х = .

Заполним схему межотраслевого баланса

Промежуточное потребление

Конечное использование

Всего использовано

1

2

3

Промежуточное потребление

1

1108,8

262,5

277

200

1848

2

369,6

350

55,4

100

875

3

0

87,5

166,2

300

554

Валовая добавленная стоимость

108,6

175

55,4

Всего ресурсов

1848

675

554

Задача 13

Найти оптимальный план перевозок

Пункты отправления

Пункты назначения

Запасы

В1

В2

В3

В4

А1

6

7

3

2

90

А2

5

1

4

3

90

А3

3

2

6

2

170

Потребности

45

45

100

160

математическое ожидание регрессия

Решение

Пункты отправления

Пункты назначения

Запасы

В1

В2

В3

В4

А1

6

7

3

2

90

А2

5

1

4

3

90

А3

3

2

6

1

170

Потребности

45

45

100

160

350

Данная модель является закрытой. Исходное опорное решение получим по правилу «северо-западного» угла.

Пункты отправления

Пункты назначения

Запасы

В1

В2

В3

В4

А1

6

45

7

45

3

2

90

А2

5

1

0

4

90

3

90

А3

3

6

10

2

160

170

Потребности

45

45

100

160

350

Получили опорный вырожденный план. Число занятых клеток равно 5 не удовлетворяет условию m + n - 1 = 7 - 1 = 6. Поэтому в одну из клеток с наименьшим коэффициентом поместим ноль и будем считать клетку занятой.

Определим потенциалы запасов и потребностей и оценки свободных клеток. Составим уравнения:

Пусть , , .

Наиболее потенциальной является клетка (1;3). Построим для нее цикл. В результате смещения по циклу, получим новый опорный план.

Пункты отправления

Пункты назначения

Запасы

В1

В2

В3

В4

А1

6

45

7

45 -

3

+

2

90

А2

5

1

0 +

4

90 -

3

90

А3

3

6

10

2

160

170

Потребности

45

45

100

160

350

Для нового опорного плана определим новые потенциалы и оценки свободных клеток.

Пусть тогда

Пункты отправления

Пункты назначения

Запасы

В1

В2

В3

В4

А1

6

45 -

7

3

45 +

2

90

А2

5

1

45

4

45

3

90

А3

3

+

6

10 -

2

160

170

Потребности

45

45

100

160

350

Для нового опорного плана определим новые потенциалы и оценки свободных клеток.

Пусть тогда

Строим цикл для клетки (3;1). В результате смещения по циклу, получим новый опорный план.

Пункты отправления

Пункты назначения

Запасы

В1

В2

В3

В4

А1

6

35

7

3

55

2

90

А2

5

1

45

4

45

3

90

А3

3

10

2

6

2

160

170

Потребности

45

45

100

160

350

Для нового плана определим новые потенциалы и оценки свободных клеток.

Пусть тогда

Строим цикл для клетки (1;4). В результате смещения по циклу, получим новый опорный план.

Пункты отправления

Пункты назначения

Запасы

В1

В2

В3

В4

А1

6

7

3

55

2

35

90

А2

5

1

45

4

45

3

90

А3

3

45

2

6

2

125

170

Потребности

45

45

100

160

350

Для нового плана определим новые потенциалы и оценки свободных клеток.

Пусть тогда

Оценки свободных клеток неотрицательны, следовательно, полученный план является оптимальным.

Минимальные транспортные издержки для этого плана: .

ref.by 2006—2019
contextus@mail.ru