Рефераты - Афоризмы - Словари
Русские, белорусские и английские сочинения
Русские и белорусские изложения
 

Анализ пифагоровых троек

Работа из раздела: «Математика»

/

пифагорова тройка диофантовый уравнение

Анализ пифагоровых троек

Автор: Фильчев Э.Г.

1. Анализ пифагоровых троек

В настоящее время расчет пифагоровых троек производится с помощью формул

X = 2pq, Y = p2 - q2, Z = p2 + q2

[Г. Эдвардс. Последняя теорема Ферма. Изд. МИР.М.1980. Стр.19].

По этим формулам можно находить пифагоровы тройки, однако представить эти тройки как упорядоченное множество достаточно затруднительно, т.к. необходимо производить перебор пар p и q.

Автором разработана Система mn параметров, в которой для расчета пифагоровых троек, предложены итерационные формулы

Подъем

X1 = 2Z0 + 2X0 + Y0, Y1 = 2Z0 + X0 + 2Y0 , Z1 = 3Z0 + 2X0 + 2Y0

X2 = 2Z0 - X0 + 2Y0, Y2 = 2Z0 - 2X0 + Y0 , Z2 = 3Z0 - 2X0 + 2Y0

X3 = 2Z0 + 2X0 - Y0, Y3 = 2Z0 + X0 - 2Y0 , Z3 = 3Z0 + 2X0 - 2Y0

Спуск

X4 = I 2Z0 - X0 - 2Y0 I, Y4 = I 2Z0 - 2X0 - Y0 I , Z4 = 3Z0 - 2X0 - 2Y0

Здесь, в качестве исходных значений можно принять

X0 = 4, Y0 = 3, Z0 = 5, тогда

X1 = 2•5 + 2•4 + 3 = 21,

Y1 = 2•5 + 4 + 2•3 = 20,

Z1 = 3•5 + 2•4 + 2•3 = 29

X2 = 2•5 - 4 + 2•3 = 12,

Y2 = 2•5 - 2•4 + 3 = 5, Z2 = 3•5 - 2•4 + 2•3 = 13

X3 = 2•5 + 2•4 - 3 = 15,

Y3 = 2•5 + 4 - 2•3 = 8,

Z3 = 3•5 + 2•4 - 2•3 = 17

В результате первой итерации получили три основных ПТ (пифагоровых треугольника)

ПТ1 (21, 20, 29),

ПТ2 (12, 5, 13),

ПТ3 (15, 8, 17).

Для следующей итерации необходимо использовать полученные ПТ в качестве исходных данных. Так, для ПТ1

Х0 = 21, Y0 = 20, Z0 = 29

(см. ПТ1), тогда, в результате расчета по итерационным формулам , получим

X1 = 2•29 + 2•21 + 20 = 120, Y1 = 2•29 + 21 + 2•20 = 119, Z1 = 3•29 + 2•21

+ 2•20 = 169

X2 = 2•29 - 21 + 2•20 = 77, Y1 = 2•29 - 2•21 + 20 = 36, Z1 = 3•29 - 2•21 +

2•20 = 85

X3 = 2•29 + 2•21 - 20 = 80, Y1 = 2•29 +21 - 2•20 = 39, Z1 = 3•29 + 2•21 -

2•20 = 89

Подобный расчет необходимо провести для ПТ2 и для ПТ3. Тогда, в результате второй итерации получим 9 дополнительных ПТ.

Рис.1. Дерево основных пифагоровых треугольников

пифагоров тройка диофантовый уравнение

На Рис.1 представлен фрагмент дерева ПТ. Из данных этого рисунка видно, что для каждой ветви имеют место свои соотношения. Так, например, для нижней ветви имеем ПТ вид

ПТ(X, Y, X+1),

Y2 = X + X+1 >Y2 = 2X +1,

Y - нечетное число.

Так, для Y= 17421

Y2 = 303491241

X = = = 151745620

имеем ПТ(151745620, 17421, 151745621)

Таким образом, при каждой последующей итерации число ПТ увеличивается в три раза, т.е.

? (ПТ) = 30 + 31 + 32 + … +3k,

где k - уровень дерева ПТ ( порядковый номер итерации).

На сайте в Google: “Главная страница-Система mn параметров “ приведена эффективная и небольшая Mathcad программа расчета более 1 миллиона ПТ. Все эти ПТ представляют упорядоченное множество. На Рис.1 видно, что на верхней ветви дерева ПТ находятся ПТ вида

ПТ(X + 1, X, Z). На нижней ветви - ПТ(X, Y, X + 1)

Отсюда вывод- необходимо провести анализ свойств дерева ПТ.

Анализ дерева ПТ

1. Нижняя ветвь

1.1 Нижняя ветвь- это ПТ вида

ПТ(X, Y, X + 1),

где Y - всегда нечетное число и

Y2 = 2X + 1. (1)

Пример

Пусть Y = 3117

Y2 = 9715689

= = 4857844 = X, Z = X + 1 = 4857845

48578442 + 31172 = 48578452 >ПТ( 4857844, 3117, 4857845)

Задача

Известное уравнение Пелля имеет вид

Y2 - AU2 = 1,

где (Y, A, U) - целые числа.

Необходимо предложить алгоритм решения уравнения Пелля если задано число А.

Эту задачу можно решить используя ПТ нижней ветви. Запишем уравнение Пелля в виде

Y2 = AU2 + 1

Сравнивая это уравнение с уравнением (1) получим AU2 = 2X. Таким образом показано, что уравнение Пелля - это запись уравнения пифагорова треугольника нижней ветви дерева ПТ.

Примеры

1. Пусть Y = 3 > Y2 = 9 > Y2 = 2X + 1 > X = 4 > A = 2

2. Пусть Y = 5 > Y2 = 25 >Y2 = 2X + 1 > X = 12 > AU2 = 24 = 6•4 >

A = 6

3. Пусть Y = 7 > Y2 = 49 >Y2 = 2X + 1 > X = 24 > AU2 = 48 = 3•16 >

A1 = 3. AU2 = 48 = 12•4 > A2 = 12 и т.д.

Выводы

1. Для любого заданного числа А решение уравнения Пелля находится на нижней ветви дерева ПТ.

2. В уравнение Пелля Y - нечетное число.

3. Любое уравнение Пелля можно записать в виде ПТ(X, Y, X + 1).

2. Виды пифагоровых треугольников (ПТ)

Алгоритм определения различных видов ПТ заключается в следующем

1. Производится расчет дерева ПТ. При этом массив задается путем выбора qmax .

2. Из массива п.1, производится выборка вида ПТ.

2.1 ПТ с одинаковыми значениями элементов

2.1.1 ПТ вида ПТ( А, Y, Z ). Таких ПТ имеется много. Ниже представлен фрагмент из 10 ПТ.

314820 192691 369109

314820 266989 412789

333375 324848 465474

333375 310232 455393

375144 169417 911625

375144 243983 447505

390852 344755 521173

390852 124405 410173

835164 823277 1172725

835164 399427 925765

2.1.2 ПТ вида ПТ( X, A, Z ). Таких ПТ имеется много. Ниже представлен фрагмент из 10 ПТ.

348700 202011 402989

202540 202011 286061

212589 208060 297461

224421 208060 297461

345983 206856 403105

433567 206856 480385

316677 290836 429965

605277 290836 671525

295461 287980 412589

309381 287980 422669

2.1.3 ПТ вида ПТ( X, Y, A ). Таких ПТ имеется много. Ниже представлен фрагмент из 10 ПТ.

374883 317156 491045

439203 219604 491045

378300 337819 507181

361381 355860 507181

683084 412563 798005

587324 540243 798005

593484 545363 806005

689724 417043 806005

628815 612808 878033

642735 598192 878033

2.14 ПТ вида ПТ( X, Y, 1105 ). Таких ПТ имеется четыре

(1104, 47, 1105), ( 1073, 264, 1105), ( 943, 576, 1105), ( 817, 744, 1105)

Таблица 1

2.2 ПТ вида ПТ(X2, Y, Z)

4 3 5

144 17 145

900 301 949

1600 399 1649

3136 1377 3425

7056 2783 7586

8100 4061 90

13689 11000 17561

20736 9823 22945

33124 18957 38165

Таблица 2

2.3 ПТ вида ПТ(X, Y2, Z)

40 9 41

63 16 65

77 36 85

272 225 353

323 36 325

561 400 681

621 100 629

943 576 1105

1160 441 1241

2077 1764 2725

Таблица 3

2.4 ПТ вида ПТ(X, Y, Z2)

24 7 25

120 119 169

240 161 289

527 336 625

1081 840 1369

1519 720 1681

2520 1241 2809

3479 1320 3721

3696 2047 4225

5280 721 5329

Таблица 4

2.5 ПТ вида ПТ(X3, Y, Z)

1728 295 1753

343000 132351 367649

Таблица 5

2.6 ПТ вида ПТ(X, Y3, Z)

15 8 17

713 216 745

7448 3375 8177

14601 8000 16649

51012 42875 66637

58460 9261 59189

105985 74088 129313

116625 21932 118673

826956 456533 944605

Таблица 6

2.7 ПТ вида ПТ(X, Y, Z3)

117 44 125

2035 828 2197

4888 495 4913

11753 10296 15625

42372 27755 50653

550116 272987 614125

2866149 1651580 3307949

2.8 ПТ вида ПТ(X4, Y, Z), ПТ(20736, 9823, 22945)

2.9 ПТ вида ПТ(X, Y4, Z)

63 16 65

6497 1296 6625

192032 50625 198593

3803679 2560000 4584929

2.1.10 ПТ вида ПТ(X, Y, Z4), ПТ(527, 336, 625)

2.1.11 ПТ вида ПТ(X5, Y, Z), ПТ(248832, 203095, 321193)

2.1.12 ПТ вида ПТ(X, Y5, Z), ПТ(255, 32, 257)

2.1.13 ПТ вида ПТ(X, Y, Z5), ПТ(1093425, 905768, 1419857)

2.1.14 ПТ вида ПТ(X, Y, Z6)

ПТ1(11753, 10296, 15625) , ПТ2(3455641, 3369960, 4826809)

2.1.15 ПТ вида ПТ(X, Y, Z7) ПТ(76443, 16124,78125).

3. Абиссальные системы диофантовых уравнений

В комментариях к десятой проблеме Гильберта Ю.И. Хмелевский пишет, что для системы уравнений

X2 + AY2 = U2

X2 - AY2 = V2 (1)

до сих пор неизвестен алгорифм (алгоритм), распознающий по данному целому А, имеет система целочисленные решения или нет. [Проблемы Гильберта. Наука. М. 1960. Стр. 149].

Решение

Преобразуем систему (1)

(X2 + AY2 )•(X2 - AY2 ) = (U•V)2

X4 - (AY)2 = (U•V)2 >(U V )2 + (AY)2 = X4

это уравнение Пифагора

X2 + AY = U2, X2 - AY = V2.

Таким образом система уравнений (1) - это иная запись пифагоровой тройки у которой большая сторона равна квадрату целого числа. Этому условию соответствуют ПТ вида

ПТ(X, Y, Z2)

На дереве ПТ до 12 уровня включительно находится 265719 ПТ, при этом в этом массиве имеется 113 ПТ вида ПТ( X, Y, Z2). Наибольший из них -

ПТ(40044480, 24220081, 68412)

Тогда

68412 + 625695 82 = 93192, 68412 - 625695•82 = 25992

Здесь по аналогии с системой (1)

X = 6841, A = 625695, U = 9319, V = 2599

ref.by 2006—2019
contextus@mail.ru