Рефераты - Афоризмы - Словари
Русские, белорусские и английские сочинения
Русские и белорусские изложения
 

Алгоритм решения уравнения в полных дифференциалах

Работа из раздела: «Математика»

/

Введение

Многие физические законы, которым подчиняются те или иные явления, записываются в виде математического уравнения, выражающего определенную зависимость между какими-то величинами. Часто речь идет о соотношении между величинами, изменяющимися с течением времени, например экономичность двигателя, измеряемая расстоянием, которое автомашина может проехать на одном литре горючего, зависит от скорости движения автомашины.

Дифференциальным уравнением называется соотношение между функциями и их производными. В данной работе рассмотрены уравнения в полных дифференциалах. Физический смысл этих уравнений в том, что они показывают элементарную работу в потенциальном силовом поле.

Данная работа несет реферативный характер.

Курсовая работа содержит 4 главы.

В первой описываются основные определения и утверждения, необходимые для изучения данного вопроса. Во второй главе рассмотрена и доказана теорема существования и единственности решения.

В третьей главе рассматривается алгоритм решения уравнений в полных дифференциалах и примеры. В четвертой главе рассматривается интегрирующий множитель и примеры.

1. Основные понятия и определения

дифференциальный уравнение теорема

Определение 1.1

Пусть функция y = f(x) определена в некоторой окрестности точки x0, (включая саму эту точку). Если существует предел отношения приращения функции Дy = f(x0 + Дx) ? f(x0) к вызвавшему его приращению аргумента Дx, когда Дx > 0, то этот предел называется производной функции y = f(x) в точке x0 и обозначается символом f '(x0), т.е.

Определение 1.2

Рассмотрим функцию двух переменных n=2; z=f(x,y).

Частной производной функции z=f(x,y) в точке (x0, y0)D(у) по соответствующей переменной называется предел отношения частного приращения функции по этой переменной к приращению этой переменной, когда приращение переменной стремится к нулю (если этот предел существует и конечен).

,

.

Определение 1.3

Пусть функция y = f(x) определена в некоторой окрестности точки x0. Функция f(x) называется дифференцируемой в точке х0, если ее приращение представимо в виде

x0+) - f(x0)=A+o(,

где A -- число, не зависящее от Дх, а o(Дx) -- функция более высокого порядка малости чем Дx при Дх > 0 .

Определение 1.4

Линейная часть приращения дифференцируемой функции называется дифференциалом в точке х0 и обозначается символом df(x0), т.е. df(x0)=A

Определение 1.5 Если функция z=f(x;y) дифференцируема в точке P0(x0;y0), то главная, линейная относительно приращения аргументов, часть ее полного приращения называется полным дифференциалом функции и обозначается

=df(x0;y0)=(x0;y0) ?x+(x0;y0) ?y.

Определение 1.6 Общее решение дифференциального уравнения -- это соотношение вида y = y(x,C1,C2,C3,...Cn), зависящее от n произвольных постоянных.

Определение 1.7 Общий интеграл дифференциального уравнения -- это общее решение, которое имеет неявный вид Ф(x,y,C1,C2,C3,...Cn) = 0.

Определение 1.8 Частный интеграл дифференциального уравнения -- это общий интеграл при заданных значениях постоянных C1,C2,C3,...Cn.

Определение 1.9 Интегральной кривой называется график решения геометрически неопределенного интеграла (первообразной), представляющего собой семейство «параллельных» кривых y=F(x)+C, где каждому C соответствует определенная кривая семейства.

Определение 1.10 Функция µ=µ(x,y)?0 называется интегрирующим множителем для уравнения P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0, если уравнение

µ(x,y)P(x,y)dx+µ(x,y)Q(x,y)dy=0

является дифференциальным уравнением в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель удовлетворяет уравнению

Q=. Если

(не зависит от y), то . Аналогично, если (не зависит от x), то

Теорема 1.1 Пусть функция F(u, х, у) дифференцируема в некоторой, окрестности точки M0(u0, х0, у0) пространства R, причем частная производная непрерывна в точке M0. Тогда, если в точке M0 функция F обращается в нуль, а частная производная не обращается в нуль, то для любого достаточно малого положительного числа е, найдется такая окрестность точки M0'(х0, у0) пространства R', что в пределах этой окрестности существует единственная функция u = ц(х, у), которая удовлетворяет условию | u - u0 | < е и является решением уравнения F( х, у,u) = 0, причем эта функция u = ц(х, у) непрерывна и дифференцируема в указанной окрестности точки M0'.

2. Уравнения в полных дифференциалах

Определение 2.1 Дифференциальное уравнение вида

P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0

называется уравнением в полных дифференциалах, если существует такая функция двух переменных u(x,y) с непрерывными частными производными, что справедливо выражение

du(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy.

Общее решение уравнения в полных дифференциалах определяется формулой

u(x, y)=C,

где C ? произвольная постоянная.

Теорема 2.1 Чтобы дифференциальное выражение , где функции P и Q определены и непрерывны в области D плоскости XOY и имеют в ней непрерывные частные производные, представляло полный дифференциал некоторой функции u (х, у), необходимо и достаточно, чтобы во всех точках области D было выполнено условие

Доказательство.

Необходимость. Пусть существует функция u (х, у) такая, что выполняется равенство P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0

Докажем, что тогда выполняется и равенство

.

По определению полного дифференциала

dy,

но тогда из P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 следует, что

, Q(x,y)

Дифференцируем обе части этих равенств:

, ,

следовательно

Поскольку смешанные производные равны, необходимость доказана.

Достаточность. Пусть равенство выполняется. Надо доказать, что и P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 в этом случае справедливо, то есть выполняется соотношение

dx + .

Таким образом, задача сводится к отысканию функции u (х, у), частные производные которой подчинялись бы равенствам

и Q(x,y).

Найдём эту функцию. Проинтегрируем уравнение , записав решение в виде:

U(x, y) =

где (x0, y0) принадлежит D,

ц(y) - произвольная функция аргумента у, заменяющая произвольную постоянную, поскольку интегрирование произведено по х, в предположении, что у = c o n s t (то есть у сохраняет неизменное значение).

Определим функцию ц(y) так, чтобы удовлетворялось и равенство

Q(x,y).

Продифференцируем функцию

U(x, y) =

по у:

=

Используя теорему о дифференцировании интеграла с переменным верхним пределом и равенство

Q(x,y),

запишем:

Q(x,y)=.

Применяя соотношение

,

получаем:

.

Вычислим последний интеграл:

-Q(x0, y),

а, значит,

следовательно

Подставляя ц(y) в U(x, y) =, получаем окончательно:

U(x,y)=,

c=const.

Теорема 2.3 Пусть в прямоугольнике M: a<x<b, c<y<d

Функции P(x,y) и Q(x,y) непрерывны вместе с их частными производными

и ,

причем всюду в M выполняется условие и Q(x,y) не обращается в нуль. Тогда через каждую точку (x0,y0) прямоугольника M проходит одна и только одна интегральная линия уравнения

P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0.

Доказательство.

Как было только что указано, в прямоугольнике M существует функция z(x,y), полный дифференциал которой равен левой части

P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0.

Но так как Q0, то уравнение

P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0

можно переписать в эквивалентом виде:

P(x,y)+Q(x,y)y'=0

или с учетом равенств

, Q так:

Поэтому функция y(x) является решением уравнения

P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0

тогда и только тогда, когда z(x,y(x))?C

Этому уравнению, если C?z(x0,y0), не может удовлетворять линия, проходящая через точку (x0,y0). Если же C=z(x0,y0), то из теоремы о неявной функции следует, что уравнение z(x,y(x))?C определяет линию, проходящую через точку (x0,y0), и притом только одну. Теорема доказана.

Лемма 2.1 Всякая непрерывная на множестве

функция f(x,y) равномерно непрерывна по x на [x0-, x0 +и по y на [y0-, y0 +.

Лемма 2.2 Если последовательность непрерывных на [функций yn(x) равномерно на [ сходится к функции y(x), то функция y(x) также непрерывна на [.

Лемма 2.3 Если функция f(x,y) равномерно непрерывна в G и последовательность {yn(x)} равномерно сходится к y(x) на , то последовательность f[x,yn(x)] равномерно сходится к f[x,y(x)] на [x0-, x0 +.

Лемма 2.4 Если функция f(x,y) равномерно непрерывна в G и

(x)=y(x) равномерно на [x0-, x0 +, то

для x0, x [x0-, x0 +.

Теорема 2.4 Пусть функция f(x,y) непрерывна на множестве

и удовлетворяет условию Липшица по y. Пусть М является верхней границей для на G, а . Тогда задача Коши y'=f(x, y), y(x0)=y0 имеет на отрезке [x0 -, x0 +] единственное решение.

Доказательство.

Прежде всего покажем, что задача Коши эквивалентна интегральному уравнению

y(x)=y0+

В самом деле, пусть дифференцируемая функция y(x) является решением интегрального уравнения

y(x)=y0+ .

Тогда, очевидно, y(x0)=y0. Дифференцируя

y(x)=y0+ , получим .

Обратно, пусть y(x) является решением задачи Коши

y'=f(x, y), y(x0)=y0 на [x0,x].

Интегрируя это тождество, получим

,

следовательно

y(x)=y0+

и y(x) является решением уравнения

y(x)=y0+ .

Поставим своей целью определение интегральной кривой, выходящей из точки (x0, y0) и идущей в сторону возрастания x>x0. Для x<x0 рассуждения могут быть проведены аналогично.

Выбор естественен. Действительно, с одной стороны является необходимым требование . С другой стороны, требование обусловлено тем, что если y=y(x) есть решение задачи Коши на [x0,x0+, то из условия следует, что |y(x)-y0 |(x-x0), а эта граница не превосходит b только при . x- x0

Применим метод последовательных приближений. В качестве нулевого приближения решения на [x0, x0+] возьмем

y(x)y0. y1(x)=y0+

Предположим, что yk(x) определено на [x0, x0 +, непрерывно и удовлетворяет неравенству

|yk(x)-y0 | , k=0,1,..,n.

Положим

yn+1(x)=y0+.

Так как функция f[x, yn(x)]определена и непрерывна на [x0, x0+], то же самое верно и для yn+1(x).

Ясно также, что

.

Следовательно, все функции y1(x), y2(x),… определены и непрерывны на [x0,

x0+] и |yi(x) - y0|.

Докажем по индукции, что

(2.1n)

n=0,1,…, где L - постоянная Липшица для . Ясно, что (2.10) верно. Предположим, что верны соотношения (2.11), (2.12) ,…, (2.1n-1).

Из

yn+1(x)=y0+

при n получим

Рассмотрим ряды

Второй из этих рядов, как известно, сходится и в силу (2.1n) является мажорирующим для первого. В свою очередь третий ряд мажорирует второй. Поэтому первый ряд сходится равномерно. Но его частичные суммы:

Sn+1(x)=y0+y1-y0+…+yn-yn-1=yn(x).

Значит последовательность Sn+1(x)=yn(x) сходится равномерно при к некоторой функции y(x). Функция y(x) по лемме (2.2) непрерывна на [x0, x0+]. По леммам (2.1) и (2.3) функции f[x, yn(x)] равномерно стремятся к f[x, y(x)]. По лемме (2.4) в равенстве

yn+1(x)=y0+

можно перейти к пределу под знаком интеграла, и мы получим

y(x)=y0+.

Итак, y(x) - решение задачи Коши на [x0, x0+].

Докажем его единственность. Пусть y=z(x) - какое-либо решение задачи Коши на

[x0, x0+]. z(x)=y0+

Используя индукцию, докажем оценку

, x0 (2.2)

Из yn+1(x)=y0+ и z(x)=y0+ следует

Переходя в (2.2) к пределу при n, получаем

|y(x) - z(x) Теорема доказана.

3. Алгоритм решения уравнения в полных дифференциалах

1. Сначала убедимся, что дифференциальное уравнение является уравнением в полных дифференциалах, используя необходимое и достаточное условие:

2. Затем запишем систему двух дифференциальных уравнений, которые определяют функцию u(x,y):

3. Интегрируем первое уравнение по переменной x. Вместо постоянной C запишем неизвестную функцию, зависящую от y:

4. Дифференцируя по переменной y, подставим функцию u(x,y) во второе уравнение:

Отсюда получаем выражение для производной неизвестной функции ц(y):

5. Интегрируя последнее выражение, находим функцию ц(y) и, следовательно, функцию u(x,y):

6. Общее решение уравнения в полных дифференциалах записывается в виде:

Пример 3.7 Найти общий интеграл уравнения

(yexy+2xy)dx+(xexy+x2-2y)dy=0.

Решение

Проверим равенство частных производных, предположив

, где , ;

Имеем уравнение в полных дифференциалах.

Ищем функцию

u (х, у)=

(при интегрировании второго слагаемого предполагаем х = const ):

+

,

, где .

Нашли общий интеграл дифференциального уравнения

.

4. Интегрирующий множитель

Конечно, не всякое дифференциальное уравнение вида

P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0

является уравнением в полных дифференциалах. Теоретически всегда можно привести его к уравнению такого типа умножением на некоторую не равную нулю функцию , называемую интегрирующим множителем. Но не всегда легко найти такую функцию.

Если интегрирующий множитель уравнения

P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0,

уравнение

является уравнением в полных дифференциалах, т.е. интегрирующий множитель есть решение уравнения

.

Найти функцию из уравнения

в общем случае довольно сложно. В частных случаях соотношение

значительно упрощается.

Теорема 4.1 Если уравнение

P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0

имеет общий интеграл

U(x, y)=C, где U есть интеграл уравнения

P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0

в рассматриваемой области, имеющий непрерывные частные производные второго порядка, то это уравнение имеет интегрирующий множитель.

Доказательство.

Действительно, так как U(x,y) есть интеграл уравнения P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0, то dU=0 в силу этого уравнения, т.е.

где dy определяется уравнением P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0, так как dx и dy удовлетворяют системе уравнений:

(4.1)

Это однородная линейная система имеет ненулевое решение ( ибо dx, как дифференциал независимой переменной, произволен). Поэтому справедливо тождество

(4.2)

или

(4.3)

Поэтому

т. е. левая часть уравнения

P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0

становится полным дифференциалом после умножения на функцию , определяемую равенством (4.3). Следовательно, есть интегрирующий множитель уравнения

P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0.

Случай 1. Если уравнение

P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0

имеет интегрирующий множитель, зависящий только от x, т.е. , то имеем

.

Случай 2. Если уравнение

P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0

допускает интегрирующий множитель как функцию одной переменной y, т.е. , то

.

Случай 3. Если уравнение

P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0

имеет интегрирующий множитель вида , где - известная функция, то

.

Пример 4.1. Решить уравнение .

Решение

Очевидно, что данное уравнение не является уравнением в полных дифференциалах. Попытаемся найти интегрирующий множитель . Поскольку выражение

не зависит от y, то уравнение для определения примет вид

.

Данное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными одним из решением которого, является функция . Умножая обе части исходного уравнения на интегрирующий множитель , получаем уравнение в полных дифференциалах:

.

Интегрируя его, находим общее решение:

.

Пример 4.2 Решить уравнение (xy2 ? 2y3)dx + (3 ? 2xy2)dy = 0.

Решение

Данное уравнение не является уравнением в полных дифференциалах, поскольку

Попробуем определить его общее решение, используя интегрирующий множитель. Вычислим разность

Заметим, что выражение

зависит только от y. Поэтому, интегрирующий множитель µ также будет функцией одной переменной y. Мы можем найти его из уравнения

Интегрируя, находим:

Выбирая в качестве интегрирующего множителя и затем умножая на него исходное дифференциальное уравнение, получаем уравнение в полных дифференциалах:

В самом деле, теперь видно, что

Отметим, что при умножении на интегрирующий множитель мы потеряли решение y = 0. Это можно доказать прямой подстановкой решения y = 0 в исходное дифференциальное уравнение.

Теперь найдем функцию u из системы уравнений:

Из первого уравнения следует, что

Из второго уравнения находим:

Таким образом, заданное дифференциальное уравнение имеет следующие решения:

где C ? произвольная постоянная.

Пример 4.3 Решить уравнение

.

Решение

Очевидно, найти интегрирующий множитель, зависящий только от одной переменной нельзя. Будем искать интегрирующий множитель в виде . Пусть , тогда уравнение для нахождения примет вид

,

интегрируя, которое находим

.

Умножая обе части исходного уравнения на данный интегрирующий множитель, получаем уравнение в полных дифференциалах:

.

Интегрируя полученное уравнение, находим общее решение:

.

Теорема 4.2 Если - интегрирующий множитель уравнения вида (1), а функция такая, что .

Тогда , где - произвольная дифференцируемая функция, также будет интегрирующим множителем того же уравнения.

Это свойство интегрирующего множителя позволяет во многих случаях находить его методом разбиения данного уравнения на две части.

Доказательство.

Пусть - общие интегралы и интегрирующие множители соответственно для уравнений

.

Тогда, в силу приведенной выше теоремы, функции

являются интегрирующими множителями для первого и второго уравнения соответственно. Если удастся подобрать функции ц1 и ц2 так, чтобы выполнялось равенство

,

то интегрирующим множителем для уравнения

,

очевидно, является функция

.

Список использованных источников

1. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.: Физматлит, 1962.

2. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. М.: Дрофа, 2003.

3. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1974.

4. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Издательство Московского Университета, 1984.

ref.by 2006—2019
contextus@mail.ru