Рефераты - Афоризмы - Словари
Русские, белорусские и английские сочинения
Русские и белорусские изложения
 
У нас есть несколько работ на данную тему. Вы можете создать свою уникальную работу объединив фрагменты из уже существующих:
  1. Метод наименьших квадратов 33.7 Кб.
  2. Метод наименьших квадратов 9.6 Кб.
  3. Метод наименьших квадратов 24.3 Кб.
  4. Метод наименьших квадратов 2.8 Кб.
  5. Метод наименьших квадратов 46.9 Кб.
  6. Метод наименьших квадратов в решении задач восстановления регрессионных зависимостей 28.3 Кб.
  7. Метод наименьших квадратов в случае интегральной и дискретной нормы Гаусса 8.6 Кб.
  8. Интегралы, объем тела вращения, метод наименьших квадратов 4.3 Кб.
  9. Классический метод наименьших квадратов 6.1 Кб.
  10. Классический метод наименьших квадратов 32 Кб.

Метод наименьших квадратов

Работа из раздела: «Математика»

/

Московский Авиационный институт

(Государственный технический университет)

Курсовая работа

по дисциплине: «Теория вероятностей и математическая статистика»

На тему: «Метод наименьших квадратов»

Вариант 11

Выполнил:

студентка группы 05-209

Трофимова Е.М.

Руководитель:

Иванов С.В.

Москва

2011

Задание к курсовой работе

метод наименьший квадрат распределение дисперсия

Рассматривается регрессионная модель вида y=ax+b+.

Задание: 1) Считая, что a = 2,2, b = 8,5, в первом и третьем наборе = 1; во втором и четвертом наборе = 9. Получить 4 набора данных:a, b, x, е, y. 2) Получить точечные и интервальные оценки параметров a, b и .

Закон больших чисел

13.1. Виды сходимости последовательностей СВ

В п. 1.3 при определении вероятности указывается эмпирический факт, состоящий в устойчивости частоты появления события A в исследуемом опыте G при последовательном его повторении. Этот экспериментальный факт может быть обоснован математически с помощью закона больших чисел. Но для этого нам понадобятся некоторые понятия, характеризующие сходимость последовательности СВ.

Определение 13.1. Бесконечная последовательность СВ Xn,n=1,2,..., определенная на одном пространстве элементарных событий Щ, называется случайной последовательностью (СП) и обозначается {Xn},n=1,2,...

Замечание 13.1.

Если последовательность состоит из детерминированных величин xn, то говорят, что последовательность сходится к величине x (это обозначается xn>x или limn>?xn=x ), если для любого е>0 найдется такое N>0, что |xn?x|<е для всех n?N. Попробуем уточнить смысл этого понятия для случайной последовательности. Так как для любого n, вообще говоря, может найтись такое е>0, что случайное событие {щ:|Xn(щ)?X(щ)|?е}??, то нельзя говорить о сходимости случайной последовательности Xn к X в приведенном выше детерминированном смысле. Мы рассмотрим четыре вида сходимости последовательностей СВ. В дальнейшем для краткости записи мы по-прежнему не будем указывать зависимость СВ Xn(щ) от элементарного события щ.

Определение 13.2. Пусть Fn(x) -- Функция распределения СВ Xn, где n=1,2,... и F(x) -- функция распределения СВ X. СП {Xn}, n=1,2,..., сходится по распределению к СВ x при n>?, если последовательность функций Fn(x) сходится к функции F(x) в каждой точке x непрерывности функции F(x), т.е. Fn(x)>F(x) при n>?. Этот вид сходимости будем обозначать Xn>FX.

Пример 13.1.

Поясним на примере случай, когда Fn(x) сходится к F(x) во всех точках, за исключением точек разрыва функции F(x). Пусть с вероятностью 1 выполняется Xn=1/n,n=1,2,..., и X=0. Для них

Fn(x)={1,x?1/n,0,x<1/n,

F(x)={1,x?0,0,x<0.

Очевидно, что Fn(x)>F(x) при n>? для всех x?0. Но Fn(0)=0 для всех n, а F(0)=1, поэтому последовательность {Fn(0)},n=1,2,..., не сходится к F(0). Но точка x=0 является точкой разрыва функции F(x), поэтому согласно определению 13.2 Xn>FX.

Определение 13.3. Случайная последовательность {Xn},n=1,2,..., сходится почти наверное (п.н.) к СВ X при n>?, что записывается как Xn?>„Ѓ.„~.X, если

P{щ:limn>?Xn(щ)=X(щ)}=1.

Очевидно, что если Xn?>„Ѓ.„~.X, то вероятность события, состоящего из таких щ, что последовательность {xn} реализаций СВ Xn(щ) не сходится к реализации x СВ X(щ), равна нулю:

P{щ:limn>?Xn(щ)?X(щ)}=0.

Таким образом, сходимость почти наверное случайной последовательности понимается по реализациям СВ Xn и X и в этом смысле похожа на сходимость детерминированной последовательности.

Кроме того, можно показать, что сходимость Xn?>„Ѓ.„~.X равносильна тому, что для всех е>0 имеет место

limn>?P{supm?n|Xm?X|?е}=1.

Определение 13.4. Случайная последовательность {Xn},n=1,2,..., сходится по вероятности к СВ X при n>?, что записывается как Xn>PX, если для всех е>0 справедливо

limn>?P{|Xm?X|?е}=1.

Очевидно, что условие сходимости Xn>PX, в вышеприведенном определении эквивалентно следующему: limn>?P{|Xm?X|>е}=0.

Сходимость п.н. для случайной последовательности влечет за собой и сходимость по вероятности. Действительно,

{щ:|Xn(щ)?X(щ)|?е}Ѓ»{щ:supm?n|Xm(щ)?X(щ)|?е}.

Поэтому

limn>?P{|Xm?X|?е}?limn>?P{supm?n|Xm?X|?е}=1.

Из сходимости по вероятности не следует сходимость п.н.

Если Xn>PX, то можно доказать, что и Xn>FX. Обратное утверждение, вообще говоря, неверно.

Замечание 13.2.

В биржевом парадоксе мы имели сходимость Zn>P0.

Теорема 13.1. (Неравенство Чебышева, усиленный вариант). Пусть r-й абсолютный момент СВ X конечен, т.е. M[|X|r]<?. Тогда для всех е>0 выполняется неравенство P{|X|?е}?M[|X|r]/еr.

Д о к а з а т е л ь с т в о.
Для простоты доказательства предположим, что у СВ X существует плотность распределения fX(x). Тогда, используя свойство 3)f(x) имеем
M[|X|r]?
откуда следует доказываемое утверждение. ¦

Рассмотрим важный частный случай приведенного неравенства. Пусть СВ Y?X?mX, где mX?M[X]. Тогда, полагая в неравенстве Чебышева r=2, получим

P{|X?mX|?е}?M[|X?mX|2]е2?D[X]е2.

Замечание 13.3.

Данное неравенство, позволяющее оценить сверху вероятность отклонения от её МО на основе информации лишь о её дисперсии, широко используется в теории оценивания и управления стохастическими системами. В литературе чаще всего именно последнее неравенство называют неравенством Чебышева.

Определение 13.5. Случайная последовательность {Xn},n=1,2,..., сходится к СВ X в среднем квадратическом при n>?, что записывается как Xn?>„ѓ.„{.X, если M[|Xn?X|2]>0 при n>?.

Покажем, что если Xn>„ѓ.„{X, то Xn>PX. Действительно, рассмотрим СВ Yn?Xn?X. В силу неравенства Чебышева для СВ Yn имеем

P{|Yn|>е}?P{|Yn|?е}?M[Y2n]е2?M[|Xn?X|2]е2.

Поэтому, если Xn?>„ѓ.„{.X, т.е. M[|Xn?X|2]>0 при n>?, то для любого е>0 выполняется P{|Yn|>е}>0 при n>?, т.е. Xn>PX. Из сходимости по вероятности не следует сходимость в среднем квадратическом.

Связь между различными видами сходимости удобно представить в виде логической схемы ( рис. 13.1 ).

Рис. 13.1

13.2. Сходимость усредненной суммы независимых СВ

Определение 13.6. Будем говорить, что случайная последовательность {Xn},n=1,2,..., является последовательностью независимых СВ Xn, если при любом n СВ X1,...,Xn независимы.

Определение 13.7. СВ Yn?1n?k=1nXk называется усредненной суммой СВ Xk,k=1,n???.

Пусть СВ Xk,k=1,n???, независимы. Обозначим mk?M[Xk],dk?D[Xk],k=1,n???. Тогда, используя свойства 1) M[X] и 4) M[X], получим

M[Yn]=1n?k=1nmk, D[Yn]=1n2?k=1nD[Xk]?1n2?k=1ndk.

Определение 13.8. Будем говорить, что к последовательности Xk,k=1,n???, независимых СВ применим закон больших чисел (ЗБЧ), если |Yn?M[Yn]|>P0 при n>?.

Теорема 13.2. (Теорема Маркова). Если для последовательности {Xn},n=1,2,..., независимых СВ выполняется условие limn>?D[Yn]=0, то к этой последовательности применим закон больших чисел.

Д о к а з а т е л ь с т в о.
Утверждение теоремы равносильно тому, что
P{|Yn?M[Yn]|>е}=0.
По неравенству Чебышева при r=2 имеем
P{|Yn?M[Yn]|>е}?P{?Yn?M[Yn]??е}?.
Согласно условию теоремы, получаем |Yn?M[Yn]|0. ¦

Утверждение теоремы остается верным, если СВ {Xn},n=1,2,..., являются лишь попарно некоррелированными, так как свойство 4) M[X] сохраняется и для некоррелированных СВ.

Теорема 13.3. (Теорема Чебышева). Если последовательность {Xn} образована независимыми СВ, дисперсии которых равномерно ограничены, т.е. существует такая константа c, что D[Xn]?c для всех n=1,2,..., то к этой последовательности применим закон больших чисел.

Д о к а з а т е л ь с т в о.
Так как D[Xk]c для всех k=1,2,..., то, используя свойство 4) M[X] , получим
D[Yn]=
Но c/n>0 при n>?, т.е. условие теоремы 13.2 выполнено и к последовательности {Xn},n=1,2,..., применим закон больших чисел. ¦
Теорема 13.4. Если последовательность {Xn},n=1,2,..., образована независимыми СВ с одинаковыми распределениями и конечной дисперсией D[X]<+?, то к этой последовательности применим закон больших чисел, причем Yn, где mx=mk?M[Xk],k=1,2,...
Д о к а з а т е л ь с т в о.
В данном случае D[Xk]=dX<? для всех k=1,2,... Поэтому условие теоремы Чебышева выполнено. Следовательно, |Yn?M[Yn]|0 при n>?. Кроме того, M[Xk]?mk=mX для всех k=1,2,... Таким образом,
M[Yn]=
откуда следует, что |Yn?mX|0. ¦

Определение 13.9. Будем говорить, что к последовательности {Xn},n=1,2,..., независимых СВ применим усиленный закон больших чисел, если |Yn?M[Yn]|0 при n>?.

Из усиленного закона больших чисел следует закон больших чисел, так как из сходимости почти наверное следует сходимость по вероятности.

Теорема 13.5. (Теорема Колмогорова). К последовательности {Xn},n=1,2,..., независимых одинаково распределенных СВ, у которых mX, конечно, применим усиленный закон больших чисел, причем YnmX.

Замечание 13.4.

В данной теореме, в отличие от теоремы 13.4, не требуется существования дисперсии СВ Xn и при этом утверждение оказывается более сильным. Но доказательство этой теоремы значительно сложнее, чем доказательство теоремы 13.4, поэтому мы не приводим его в данной книге.

Замечание 13.5.

Закон больших чисел - это, по сути, свойство случайной последовательности {Xn},n=1,2,..., состоящее в том, что случайные отклонения отдельных независимых СВ Xn от их общего среднего значения mX при большом n в своей массе взаимно погашаются. Поэтому, хотя сами величины Xn случайны, их среднее арифметическое значение при достаточно большом n практически уже неслучайно и близко к mX. Таким образом, МО mX СВ Xn заранее неизвестно, то, согласно теореме 13.5, его можно вычислить с любой 'степенью точности' с помощью среднего арифметического Yn?. Но при этом встает вопрос: в каком смысле понимать точность приближения Yn?mX? Ответ на этот вопрос будет дан в следующем параграфе. Рассмотрим опыты, проводимые по схеме Бернулли, в результате которых событие A ('успех') происходит с вероятностью p?P(A).

Рассмотрим частоту 'успехов' Wn(A)?M/n, где M, есть число 'успехов' при n испытаниях. Случайная величина M имеет биномиальное распределение Bi(n;p).

Теорема 13.6. (Теорема Бернулли, усиленный вариант). Частота 'успехов' сходится почти наверное к вероятности 'успеха', т.е. Wn(A).P(A)?p

Д о к а з а т е л ь с т в о.
Так как M имеет биномиальное распределение, то частоту успехов Wn=M/n можно представить в виде усредненной суммы независимых одинаково распределенных СВ Xk, k=, имеющих распределение Бернулли, со значениями x0=1 и x1=0. Причем P{Xk=1}=p,P{Xk=0}=q. Поэтому
Yn=Mn= где M[Xk]=p, D[Xk]=pq,k=1,2,...
Тогда по теореме 13.5, так как выполнено условие mX=p<?, получаем M/np. ¦

Замечание 13.6.

Самому Якову Бернулли принадлежит доказательство более слабого утверждения, что Wn(A)P(A). Теорема Бернулли объясняет смысл свойства устойчивости частоты Wn(A)=M/n, которое мы ранее принимали как экспериментальный факт. Таким образом, теорема Бернулли является 'переходным мостиком' от теории вероятностей к её приложениям.

14.1. Сходимость нормированной суммы независимых СВ

Рассмотрим нормированную сумму Zn независимых СВ Xk,k=:

Zn?

где по свойству 4)M[X] имеет место соотношение

?D,

так как ?D[Xk],mk?M[Xk]. В связи с тем, что Zn является нормированной СВ, то по свойства 5) mX : M[Zn]=0, D[Zn]=1. Изучим поведение последовательности СВ при n>?.

Определение 14.1. Будем говорить, что к последовательности {Xn},n=1,2,..., независимых СВ применима центральная предельная теорема (ЦПТ), если последовательность СВ Zn сходится по распределению к СВ U, имеющей стандартное нормальное распределение, U?N(0;1), т.е. Zn U.

Замечание 14.1.

Как отмечалось выше, закон больших чисел -- это, по сути, свойство последовательности независимых СВ Xn (см. замечание 13.5), которое выполняется при определенных условиях. Аналогичную интерпретацию имеет и центральная предельная теорема. Название 'центральная предельная теорема', на наш взгляд, не очень точное, так как по смыслу - это свойство, а не теорема. Но так как в литературе это понятие закрепилось, то и мы будем его придерживаться.

Определение 14.2. Будем говорить, что последовательность {Xn},n=1,2,..., независимых СВ удовлетворяет условию Ляпунова, если

Поясним смысл условия Ляпунова. Рассмотрим для произвольного д>0 случайные события

Ak?{|Xk?mk|/sn?д},k=.

Тогда по свойству 7)P получаем

По условию Ляпунова последнее выражение стремится к нулю при n>?. Таким образом, все слагаемые в нормированной сумме Zn равномерно малы в том смысле, что вероятность хотя бы одного из них превзойти величину д>0 стремится к нулю при возрастании числа слагаемых.

Теорема 14.1(Теорема Ляпунова). Если последовательность {Xn},n=1,2,..., независимых СВ удовлетворяет условию Ляпунова и СВ Xn, её образующие, имеют конечные МО и дисперсии, т.е. mn<?, <?, то к случайной последовательности {Xn},n=1,2,..., применима центральная предельная теорема.

Замечание 14.2.

Фундаментальная роль ЦПТ в теории вероятностей состоит в том, что при весьма общих предположениях сумма большого числа независимых (относительно малых, см., например, условие Ляпунова) СВ удовлетворительно описывается нормальным законом. Этим фактом и объясняется очень широкое распространение нормального закона на практике. Отметим, что существуют и другие условия, отличные от условия Ляпунова, при которых к последовательности СВ применима ЦПТ. Но эти условия имеют общую черту: все слагаемые в нормированной сумме равномерно малы.

Пример 14.1.

Рассмотрим последовательность {Xn},n=1,2,..., независимых одинаково распределенных СВ Xn с конечным МО, дисперсией и третьим абсолютным моментом. Тогда

Таким образом, условие Ляпунова выполнено. Поэтому к последовательности независимых одинаково распределенных СВ в данном случае применима ЦПТ. В действительности это утверждение верно при более слабых предположениях. По теореме Леви для применимости ЦПТ в данном примере достаточно существования конечных МО и дисперсии.

14.2. Сходимость частоты

Основные выборочные характеристики. Основные понятия

Вариационный ряд

Выборочная функция распределения

Практическая часть

Исходные данные:

;

2,2;

= 8,5;

;

Набор 1 (n=11, шаг=5, m=0, у2=1)

n

xn

a

b

y

y+

1

-25

2,2

8,5

1

-0,36207

-46,5

-46,8621

2

-20

2,2

8,5

1

-1,78779

-35,5

-37,2878

3

-15

2,2

8,5

1

-0,86042

-24,5

-25,3604

4

-10

2,2

8,5

1

0,476032

-13,5

-13,024

5

-5

2,2

8,5

1

0,215696

-2,5

-2,2843

6

0

2,2

8,5

1

1,189442

8,5

9,689442

7

5

2,2

8,5

1

-1,21479

19,5

18,28521

8

10

2,2

8,5

1

0,414174

30,5

30,91417

9

15

2,2

8,5

1

-0,56622

41,5

40,93378

10

20

2,2

8,5

1

2,20651

52,5

54,70651

11

25

2,2

8,5

1

-0,92203

63,5

62,57797

Аналогичные вычисления проводим для остальных наборов данных.

Набор 2 (n=51, шаг=1,m=0, у2=1)

n

xn

a

b

y

y+

1

-25

2,2

8,5

1

0,103284

-46,5

-46,3967

2

-24

2,2

8,5

1

0,874743

-44,3

-43,4253

3

-23

2,2

8,5

1

-0,82023

-42,1

-42,9202

4

-22

2,2

8,5

1

-0,0785

-39,9

-39,9785

5

-21

2,2

8,5

1

-1,4358

-37,7

-39,1358

6

-20

2,2

8,5

1

-0,84633

-35,5

-36,3463

7

-19

2,2

8,5

1

-0,70077

-33,3

-34,0008

8

-18

2,2

8,5

1

0,184355

-31,1

-30,9156

9

-17

2,2

8,5

1

0,795

-28,9

-28,105

10

-16

2,2

8,5

1

-0,77443

-26,7

-27,4744

11

-15

2,2

8,5

1

0,282195

-24,5

-24,2178

12

-14

2,2

8,5

1

0,155754

-22,3

-22,1442

13

-13

2,2

8,5

1

0,731334

-20,1

-19,3687

14

-12

2,2

8,5

1

-1,25645

-17,9

-19,1564

15

-11

2,2

8,5

1

-2,01325

-15,7

-17,7132

16

-10

2,2

8,5

1

-0,4173

-13,5

-13,9173

17

-9

2,2

8,5

1

-1,63228

-11,3

-12,9323

18

-8

2,2

8,5

1

0,889144

-9,1

-8,21086

19

-7

2,2

8,5

1

-0,7355

-6,9

-7,6355

20

-6

2,2

8,5

1

-0,64904

-4,7

-5,34904

21

-5

2,2

8,5

1

0,9967

-2,5

-1,5033

22

-4

2,2

8,5

1

-0,63356

-0,3

-0,93356

23

-3

2,2

8,5

1

0,958946

1,9

2,858946

24

-2

2,2

8,5

1

0,282228

4,1

4,382228

25

-1

2,2

8,5

1

-2,85926

6,3

3,440737

26

0

2,2

8,5

1

0,513213

8,5

9,013213

27

1

2,2

8,5

1

0,522668

10,7

11,22267

28

2

2,2

8,5

1

-0,93408

12,9

11,96592

29

3

2,2

8,5

1

-0,95597

15,1

14,14403

30

4

2,2

8,5

1

0,735179

17,3

18,03518

31

5

2,2

8,5

1

1,122824

19,5

20,62282

32

6

2,2

8,5

1

-1,42469

21,7

20,27531

33

7

2,2

8,5

1

-0,40295

23,9

23,49705

34

8

2,2

8,5

1

-0,99394

26,1

25,10606

35

9

2,2

8,5

1

0,115793

28,3

28,41579

36

10

2,2

8,5

1

-0,69703

30,5

29,80297

37

11

2,2

8,5

1

-0,99891

32,7

31,70109

38

12

2,2

8,5

1

0,611288

34,9

35,51129

39

13

2,2

8,5

1

0,587788

37,1

37,68779

40

14

2,2

8,5

1

0,318691

39,3

39,61869

41

15

2,2

8,5

1

0,326846

41,5

41,82685

42

16

2,2

8,5

1

-1,07755

43,7

42,62245

43

17

2,2

8,5

1

-0,26462

45,9

45,63538

44

18

2,2

8,5

1

-1,35918

48,1

46,74082

45

19

2,2

8,5

1

0,219793

50,3

50,51979

46

20

2,2

8,5

1

0,34881

52,5

52,84881

47

21

2,2

8,5

1

3,172969

54,7

57,87297

48

22

2,2

8,5

1

0,508573

56,9

57,40857

49

23

2,2

8,5

1

1,234509

59,1

60,33451

50

24

2,2

8,5

1

-0,51873

61,3

60,78127

51

25

2,2

8,5

1

-0,07245

63,5

63,42755

Набор 3 (n=11, шаг=5, m=0, у2=9)

n

xn

a

b

y

y+

1

-25

2,2

8,5

9

-1,39154

-46,5

-47,8915

2

-20

2,2

8,5

9

-1,54045

-35,5

-37,0405

3

-15

2,2

8,5

9

-1,6359

-24,5

-26,1359

4

-10

2,2

8,5

9

2,012927

-13,5

-11,4871

5

-5

2,2

8,5

9

-1,18336

-2,5

-3,68336

6

0

2,2

8,5

9

-0,15771

8,5

8,342292

7

5

2,2

8,5

9

-2,689

19,5

16,811

8

10

2,2

8,5

9

5,388635

30,5

35,88864

9

15

2,2

8,5

9

1,251683

41,5

42,75168

10

20

2,2

8,5

9

-2,32656

52,5

50,17344

11

25

2,2

8,5

9

-5,85698

63,5

57,64302

Набор 4 (n=51, шаг=1, m=0, у2=9)

n

xn

a

b

y

y+

1

-25

2,2

8,5

9

-2,51409

-46,5

-49,0141

2

-24

2,2

8,5

9

-3,30522

-44,3

-47,6052

3

-23

2,2

8,5

9

-3,78947

-42,1

-45,8895

4

-22

2,2

8,5

9

-1,2579

-39,9

-41,1579

5

-21

2,2

8,5

9

0,483677

-37,7

-37,2163

6

-20

2,2

8,5

9

1,750138

-35,5

-33,7499

7

-19

2,2

8,5

9

-1,20124

-33,3

-34,5012

8

-18

2,2

8,5

9

-2,39213

-31,1

-33,4921

9

-17

2,2

8,5

9

-1,24014

-28,9

-30,1401

10

-16

2,2

8,5

9

-1,43662

-26,7

-28,1366

11

-15

2,2

8,5

9

0,138364

-24,5

-24,3616

12

-14

2,2

8,5

9

-3,57202

-22,3

-25,872

13

-13

2,2

8,5

9

-2,88792

-20,1

-22,9879

14

-12

2,2

8,5

9

1,727107

-17,9

-16,1729

15

-11

2,2

8,5

9

1,801927

-15,7

-13,8981

16

-10

2,2

8,5

9

5,471256

-13,5

-8,02874

17

-9

2,2

8,5

9

1,128807

-11,3

-10,1712

18

-8

2,2

8,5

9

-0,85735

-9,1

-9,95735

19

-7

2,2

8,5

9

-1,56518

-6,9

-8,46518

20

-6

2,2

8,5

9

-0,20891

-4,7

-4,90891

21

-5

2,2

8,5

9

7,601435

-2,5

5,101435

22

-4

2,2

8,5

9

5,755031

-0,3

5,455031

23

-3

2,2

8,5

9

1,300006

1,9

3,200006

24

-2

2,2

8,5

9

-2,22166

4,1

1,878338

25

-1

2,2

8,5

9

2,470795

6,3

8,770795

26

0

2,2

8,5

9

8,224408

8,5

16,72441

27

1

2,2

8,5

9

3,108459

10,7

13,80846

28

2

2,2

8,5

9

3,658565

12,9

16,55856

29

3

2,2

8,5

9

3,647347

15,1

18,74735

30

4

2,2

8,5

9

1,777023

17,3

19,07702

31

5

2,2

8,5

9

0,548765

19,5

20,04877

32

6

2,2

8,5

9

-3,16373

21,7

18,53627

33

7

2,2

8,5

9

-5,36136

23,9

18,53864

34

8

2,2

8,5

9

-0,9966

26,1

25,1034

35

9

2,2

8,5

9

-0,86153

28,3

27,43847

36

10

2,2

8,5

9

-1,65871

30,5

28,84129

37

11

2,2

8,5

9

-3,35518

32,7

29,34482

38

12

2,2

8,5

9

-1,71052

34,9

33,18948

39

13

2,2

8,5

9

1,771512

37,1

38,87151

40

14

2,2

8,5

9

-7,73326

39,3

31,56674

41

15

2,2

8,5

9

5,21859

41,5

46,71859

42

16

2,2

8,5

9

0,369928

43,7

44,06993

43

17

2,2

8,5

9

3,100198

45,9

49,0002

44

18

2,2

8,5

9

1,027322

48,1

49,12732

45

19

2,2

8,5

9

0,328281

50,3

50,62828

46

20

2,2

8,5

9

-3,52341

52,5

48,97659

47

21

2,2

8,5

9

-2,12815

54,7

52,57185

48

22

2,2

8,5

9

4,578646

56,9

61,47865

49

23

2,2

8,5

9

-1,38467

59,1

57,71533

50

24

2,2

8,5

9

0,2414

61,3

61,5414

51

25

2,2

8,5

9

2,770213

63,5

66,27021

Рассмотрим

Так как , следовательно, уравнение зависит только от .

Найдём

Для набора 1:

=2,222738

=8,389866

Для набора 2:

=2,212794

=8,343918

Для набора 3:

=2,178976

=7,761067

Для набора 4:

=2,222452

=8,689651

Построение оценки неизвестной дисперсии погрешности измерений

, где n- число измерений.

где - оценка кривой регрессии

Значения найдены с помощью ЭВМ.

Для набора 1:

= 1,320778

Для набора 2:

=1,009621

Для набора 3:

=9,1992

Для набора 4:

=10,58741

Сравнение точечных оценок с истинными

N(0;1)

n=11

N(0;1)

n=51

N(0;9)

n=11

N(0;9)

n=51

Истинные значения

2,222738

2,212794

2,178976

2,222452

2,2

8,389866

8,343918

7,761067

8,689651

8,5

1,320778

1,009621

9,1992

10,58741

1,2) 1;

3,4) 9.

Сравнение графиков функций:

Для набора 1:

Для набора

Для набора 3

Для набора 4:

Построение интервальных оценок для a, b.

Построим интервальную оценку для b:

Построим интервальную оценку для a:

где -квантиль уровня распределения Стьюдента .

Выберем уровень надежности 0,9

Для набора 1:

Для набора 2:

Для набора 3:

Для набора 4:

Построение интервальных оценок дисперсии

где ;

-квантиль для распределения с n степенями свободы.

Для набора 1:

Для набора 2

Для набора 3

Для набора 4

Список используемой литературы

1. А. И. Кибзун, Е. Р. Горяинова, А. В. Наумов «Теория вероятностей и математическая статистика. Базовый курс с примерами и задачами».

2. Электронный учебник

3. Е.М.Гмурман «Теория вероятностей и математическая статистика»

ref.by 2006—2019
contextus@mail.ru