Рефераты - Афоризмы - Словари
Русские, белорусские и английские сочинения
Русские и белорусские изложения
 

Вероятность наступления события

Работа из раздела: «Математика»

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет

Кафедра прикладной математической статистики

Контрольная работа по математике

Вариант 2

Выполнила

студентка гр. 3/10-4-вв,

Герасимова М.А.

Проверила

преподаватель Меньшенина А.В.

Нижний Новгород

2011г.

Задача 2.

Студент знает 30 из 40 вопросов программы. Каждый билет содержит 2 вопроса программы. Найти вероятность того, что студент знает оба вопроса программы.

Решение:

Пусть событие А - благоприятный исход - студент знает оба вопроса программы, - общее число вопросов программы; - такое число вопросов знает студент; - число вопросов в билете; - необходимое число вопросов в билете, которое необходимо знать.

- число равновозможных элементарных исходов:

- число исходов, благоприятствующих событию А:

- вероятность благоприятного исхода.

Ответ:

Вероятность того, что студент знает оба вопроса программы, равна 0,557 (55,7%).

Задача 12.

Два студента ищут нужную книгу в магазинах. Вероятность того, что книга будет найдена первым студентом, равна 0,6, а вторым - 0,7. Найти вероятность того, что только один студент найдет книгу.

Решение:

- событие, при котором книгу найдет первый студент; - событие, при котором книгу найдет второй студент; - событие, противоположное событию , при котором первый студент не найдет книгу; - событие, противоположное событию , при котором второй студент не найдет книгу; - вероятность того, что книга будет найдена первым студентом; - вероятность того, что книга будет найдена вторым студентом; - - вероятность события, противоположного событию . - - вероятность события, противоположного событию .

Событие А, состоящее в том, что только один студент найдет книгу, может быть представлено следующими случаями:

- книгу найдет первый студент, а второй не найдет;

- книгу найдет второй студент, а первый не найдет; Тогда событие А можно представить в виде суммы несовместных событий: , а вероятность наступления события А как:

Ответ:

вероятность того, что только один студент найдет книгу, равна 0,46 (46%).

Задача 22.

Вероятность выполнить работу без ошибок для 10-ти студентов равна 0,95, для других 15-ти студентов - 0,7, для остальных 3-х - 0,2. Преподаватель берет наудачу одну тетрадь для проверки. Какова вероятность того, что работа выполнена без ошибок?

Решение:

- выполнение взятой наугад работы без ошибок - составляют полную группу событий, примем эти события за гипотезы, их вероятности равны

.

Условные вероятности события А - выполнение взятой работы без ошибок - следующие:

По формуле полной вероятности получим:

Ответ:

вероятность того, что взятая наугад работа выполнена без ошибок, равна 0,7357 (73,57%).

Задача 32.

Найти вероятность того, что при 4-х подбрасываниях игральной кости выпадет хотя бы один раз четное число очков.

Решение:

А - событие, при котором выпадает четное число очков игральной кости; - число испытаний; - повторение события, т.е. выпадение четного числа очков хотя бы 1 раз; - вероятность того, что выпадет четное число очков (т.к. 3 из 6 граней игральной кости с четным числом очков); - вероятность того, что выпадет нечетное число очков; - вероятность того, что четное число очков не выпадет ни разу; - четное число очков выпадет хотя бы 1 раз.

По формуле Бернулли рассчитаем вероятность того, что четное число очков не выпадет ни разу из 4-х подбрасываний:

Вероятность того, что четные очки выпадут хотя бы 1 раз, равна:

Ответ:

вероятность того, что при 4-х подбрасываниях игральной кости выпадет хотя бы 1 раз четное число очков, равна 0,9375 (94%).

Задача 42.

Вероятность производства бракованной детали равна 0,008. Найти вероятность того, что среди 1000 деталей окажется бракованных:

· 8;

· менее 8.

Решение:

А - событие, при котором наблюдается производство бракованных деталей; - вероятность производства бракованной детали; - число испытаний; - число повторений события, при котором наступит брак;

Рассчитаем параметр - среднее число событий в серии из -испытаний: - в среднем на 1000 деталей приходится 8 бракованных; - условие выполняется, т.е. можно использовать для решения формулу Пуассона ;

-

вероятность того, что среди 1000 деталей окажется 8 бракованных;

- вероятность того, что среди 1000 деталей бракованных будет менее 8 бракованных.

Ответ:

вероятность того, что среди 1000 деталей окажется 8 бракованных равна 0,139; менее 8 бракованных - 0,453.

Задача 52.

При штамповке металлических клемм получается в среднем 90% годных. Найти вероятность того, что среди 900 клемм окажется от 790 до 820 (включительно) годных.

Решение:

- вероятность изготовления годных клемм; - вероятность изготовления негодных клемм; - число испытаний; А- событие - производство годных клемм; - число повторений события А;

Вероятность события А по интегральной формуле Лапласа будет равна:

где

Используя таблицу значений функций Лапласа, найдем соответствующие значения: .

Подставим полученные значения в интегральную формулу Лапласа: - вероятность того, что среди 900 клемм окажется от 790 до 820 (включительно) годных.

Ответ:

вероятность того, что среди 900 клемм окажется от 790 до 820 (включительно) годных равна 0,8533 (85%).

Задача 62.

вероятность событие математический ожидание

Даны результаты наблюдений случайной величины Х.

1. Построить полигон, гистограмму, эмпирическую функцию распределения.

2. Найти оценки математического ожидания, дисперсии и среднего квадратичного отклонения исследуемой случайной величины.

3. Задаваясь доверительной вероятностью , найти доверительные интервалы для математического ожидания и среднего квадратичного отклонения.

4. Задаваясь уровнем значимости , проверить гипотезу о нормальном законе распределения с помощью критерия Пирсона.

50

54

58

63

68

73

78

75

74

84

56

59

64

69

74

79

65

70

90

85

60

65

70

75

80

69

75

86

61

66

71

76

81

66

76

71

62

67

72

77

82

65

77

72

71

64

68

73

80

69

Решение:

Подсчитаем объем выборкии по формуле Стрэджеса определим оптимальное число интервалов группировки данных: . Примем , тогда ширина каждого интервала

Вычислим середины интервалов , найдем частоты попадания в каждый из интервалов, накопленные частоты и получим эмпирический закон и функцию распределения в форме таблицы:

50-58

58-66

66-74

74-82

82-90

54

62

70

78

86

4

12

17

13

4

0,5

1,5

2,125

1,625

0,5

0,01

0,03

0,0425

0,0325

0,01

4

16

33

46

50

Для наглядного представления построим полигон частот: по оси х - интервалы, по оси y - частоты .

Гистограмму плотности частот: по оси х - интервалы, по оси y - плотности частот . Эмпирическую функцию распределения по оси х - интервалы, по оси y - функция распределения .

1. Вычислим статистические оценки параметров распределения:

среднее значение

, .

исправленную дисперсию

,

исправленное среднеквадратичное отклонение

Задаваясь доверительной вероятностью , найдем доверительные интервалы для математического ожидания a и среднего квадратичного отклонения . По таблице распределения Стьюдента при и получаем коэффициент . Тогда для математического ожидания a доверительный интервал будет следующий:

, ; .

По таблице распределения при и числе значений получи коэффициент и находим для среднего квадратичного отклонения доверительный интервал:

; .

Проверим гипотезу о нормальном распределении с помощью критерия Пирсона при уровне значимости , означающем вероятность (риск) совершить ошибку при проверке гипотезы, а именно: принять верной ошибочную гипотезу. По таблице критических точек -распределения для числа степеней свободы имеем критическое значение . Вычислим наблюдаемое по выборке значение критерия Пирсона:

,

где - теоретические частоты, а , - соответственно правые и левые границы интервалов разбиения данных; - среднее значение параметров распределения. Результаты вычислений приведем в таблице:

50-58

58-66

66-74

74-82

82-90

4

12

17

13

4

3,485

11,815

17,9

12,055

3,73

0,076

0,003

0,045

0,074

0,019

Получим, т.е. гипотезу о нормальном распределении случайной величины принимаем.

ref.by 2006—2019
contextus@mail.ru