Система хищник-жертва: экологические и математические аспекты

Рис.1:      Фазовый портрет модели               Рис.2:  Фурье –образ
«взаимодействия» между  хищником  и
                                       Вольтерры.                        (1)
жертвой  в системе (2).  Расстояние   между  линиями

                             равно элементорной частоте.  Симметрия  спектра

         относительно       вертикальной        оси         говорит        о
                    вещественности исходной функции.



  Рис.1а: То же, что на рис.1,  но при   других   начальных   условиях.   Мы
видим,  что   фокус   является                     единственным   положением
равновесия   в   данной   системе,   что   нежелательно   с   точки   зрения
применения  рассмотрения к реальным экосистемам.



                Рис.3:  Фазовый портрет системы (2) для  конкретного  набора
параметров. Чётко виден
                           предельный  цикл  (жирная  линия  в  левой  части
рисунка) , на который   выходят
                           все фазовые траектории,  несмотря   на  то,   что
некоторые  из  них испытывают
                           довольно большие отклонения от него.
                  Рис.4:     «Внутренность»   предельного   цикла–    разные
траектории наматываются на него-
                           цикл абсолютно устойчив.  Значения параметров  те
же,  что и дли рис.3. Для  1
                                нач. условия есть   (1.4;1.4).   Далее   обе
координаты        увеличиваются        на        0.2        на         шаге.



  Рис.5:  Поведение системы при различных значениях  параметра  (  при  всех
остальных неизменных.          Видно, что поведение системы  качественно  не
меняется. Цифры в скобках – нач. условия,  а
              Цифры сверху – значения  (.

   Рис.6:   Фазовый  портрет  при  (=0.87.  Видно,   что   предельный   цикл
качественно ничем не отличается             от    предыдущих  случаев.  Нач.
условия: (0.8;0.8) .

 Рис.7: Изменение вида цикла при изменении нач. условий (в скобках)   и  при
(=0.01.


  Рис.8:  Фазовый портрет системы при больших  (  (цифры   на   рис.).  Нач.
условия везде (1;1).



   Рис.9:  Вид  фазовой плоскости  системы  при  (=0.05  при   разных   нач.
условиях (на рис.) ; видна
                периодическая зависимоть вида плоскости от них.
-----------------------
[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]