Вывод и анализ формул Френеля на основе электромагнитной теории Максвелла

МГТУ им Н.Э.Баумана
гр. ФН2-41
Котов В.Э.



  Вывод и анализ формул Френеля на основе электромагнитной теории
  Максвелла.
 (по материалам лекций Толмачева В.В.)


  Постановка задачи

    Пусть  имеются две диэлектрические среды 1 и 2 , с  электрической и
  магнитной проницаемостью  [pic] и  [pic] соответственно. Из среды 1 в 2
  падает плоская монохроматическая волна  (границу раздела будем считать
  плоской).При  переходе через  границу раздела волна разделится  на две
  части : отраженную волну (в среде 1)  и преломленную волну (в среде 2)
  , необходимо выяснить соотношения между углами [pic] и [pic], а также
  между  интенсивностями  падающей и отраженной волн (рис 1).
  [pic]
                               рис.1
  Данная  волна должна представлять собой точное  решение уравнений
  Максвелла : [pic] и [pic]  (1)   (учитывая , что среда диэлектрическая
  , т.е. [pic])
  для плоской монохроматической волны точное решение этих уравнений будет
  (если оси Х направить в сторону распространения волны):
  [pic]     и [pic]    ([pic]=[pic]=0)    (2)
  где  A и B , [pic] и [pic], [pic]- постоянные (не зависят от времени и
  координаты) ,
        [pic] и[pic] - характеристики среды , в которой распространяется
  волна ,
         [pic] ,  t - рассматриваемый момент времени
                               x - рассматриваемая координата на оси Х

                               V - скорость распространения волны в
  данной среде

  (естественно , в силу линейности уравнений Максвелла любая сумма таких
  волн будет также их точным  решением )
     Также она должна удовлетворять условиям на границе раздела : [pic]и
  [pic] не терпят разрыва на поверхности раздела , [pic] и [pic] также не
  терпят разрыва , поскольку на границе раздела не течет ток и нет
  поверхностной плотности заряда:
   [pic]               (3)
  (индексом 1 обозначаем все , относящееся к первой среде , индексом 2 -
  ко второй)
     Таким образом  , необходимо построить точное решение уравнений  (1)
  , удовлетворяющих  условиям  (3). Для этого рассмотрим два случая :
  случай  ТМ -волны (р-волны )  - вектор [pic]перпендикулярен плоскости
  падения  (трансверсальная магнитная) , и случай ТЕ-волны (s-волны)-
  вектор [pic] перпендикулярен плоскости падения  (трансверсальная
  электрическая). Любая плоская волна (с любой поляризацией) может быть
  представлена как линейная комбинация двух таких волн.

  Случай  ТМ -волны (p - волны)
  [pic]
                                         рис.2
  Из рисунка видео , что [pic]  , запишем условия равенства  [pic] на
  границе раздела :
  [pic]    ( учитывая , что волна в среде 1 есть сумма падающей и
  отраженной волн)
  подставляем значения[pic]:
  [pic]
   подставляем [pic] из  (2) :
  [pic]
  Аналогично , поскольку [pic] получаем для вектора [pic]на границе
  раздела:
  [pic] ( c учетом (2) )
  [pic]
  для выполнения равенств для [pic]и [pic] потребуем  равенства
  аргументов косинусов :
  [pic]
  потребуем также равенства начальных фаз: [pic]
  из рисунка видно , что : [pic] [pic], [pic]    (4)
  ([pic],[pic]и [pic] - соответственно : угол падения , угол отражения и
  угол преломления ) , тогда имеем :
  [pic]
  [pic]
  [pic]
  из равенства аргументов получаем :
  [pic]
   (т.к. [pic] , [pic] )
  [pic]т.е. получены , как и следовало ожидать , законы отражения и
  преломления света
  разделим теперь  выражения для[pic]и [pic]на  [pic] , получим (c учетом
  (4) ) следующую систему :
  [pic]      (5)
  здесь неизвестными являются [pic]и [pic] , а [pic] - заданно.
 Умножим   первое уравнение на  [pic] а второе на  [pic] и вычтем из
  первого второе , тогда члены с[pic] сократятся и получим:
  [pic]
  поскольку для неферромагнетиков  магнитная проницаемость[pic]
  незначительно отличается от единицы , то для сравнительно широкого
  класса сред можно считать [pic], тогда:
  [pic].
  ( разделим числитель и знаменатель на [pic], и учтя , что[pic] )
  применив закон преломления , получим (6):

  из второго уравнения системы (5) получаем для [pic]:
  [pic]   (поскольку полагаем [pic],) , тогда:
  [pic][pic]      (7)
  проверим теперь выполнение еще двух условий на границе раздела ,которые
  мы не учли -[pic] и [pic]. Второе равенство выполняется заведомо ,
  поскольку  [pic], проверим первое равенство [pic] :
   из рисунка видно , что  [pic] , а [pic]  подставим значения
  [pic],[pic] и [pic]( из 2) , сократив сразу на [pic] , и учитывая  (4)
  :
  [pic](выражая [pic]через второе уравнение системы  (5) )
  [pic]
   Таким  образом  действительно получено точное решение уравнений (2) ,
  удовлетворяющее всем начальным условия. Итак , имеем  следующие формулы
  Френеля для случая s-волны для отражения и преломления (из (6) и (7) ):
  [pic]    и    [pic]


  Случай  ТЕ -волны ( s - волны)
  [pic]
                                        рис.3
  Из рисунка видно , что  [pic]
  Условия  (3) для  [pic] и  [pic]:
  [pic]
  подставляя значения  [pic]и  [pic] из (2) получим :
  [pic]как и в случае  ТМ-волны  предполагаем равенство аргументов
  косинусов и совершенно аналогично получаем в этом случае закон
  отражения и преломления света , сокращая на  [pic]и с учетом (4)
  получим систему :
  [pic]             (8)
  умножим первое уравнение на  [pic] а второе на [pic] и вычтем из
  первого второе :
  [pic]
  [pic]
  поскольку мы полагаем  [pic] (см. выше) то  [pic]
  [pic]   (9)
  из второго уравнения системы (8) получаем:
  [pic]      (10)
  проверим  теперь неучтенные условия на границе раздела : [pic] и
  [pic] .
  Второе условие выполняется , поскольку [pic] , проверим выполнение
  равенства : [pic]   из рисунка видно , что [pic] , а [pic]  подставим
  значения [pic],[pic] и [pic]( из 2) , сократив сразу на [pic] , и
  учитывая  (4) получим : [pic]
  подставляем [pic] из второго уравнения системы (8) :
  [pic]
  таким образом мы действительно нашли точное решение уравнений (2) ,
  удовлетворяющее всем начальным условиям . В случае p-волны имеем
  следующие формулы Френеля для отражения и преломления  (из (9) и (10))

  [pic]    и [pic]



  Анализ формул Френеля

  Исследуем отношения энергий (точнее плотности потока энергий ) падающей
и отраженной  ТМ и ТЕ  волн и падающей и  прошедшей волн  в зависимости
от угла падения [pic]. Для этого рассмотрим  отношение нормальной
составляющей вектора Пойтинга  [pic]  падающей и отраженной  ([pic] и
[pic] в случае ТМ и ТЕ волн  соответственно)  и падающей и прошедшей
([pic]
и [pic])  волн. Тогда с из  полученных формул Френеля для отражения и
преломления , с учетом (2) будем иметь:
  [pic]
  [pic]
  [pic]

  [pic]

  А. Отражение

   Исследуем  сначала  поведение [pic]и [pic] на границах отрезка [pic]:
  при  [pic] (просто положить [pic] равным нулю нельзя , потому что будет
  неопределенность ):
  [pic]
  [pic]
  [pic]
  для случая падения из воздуха в стекло ([pic]) : [pic]
  т.е. это величина порядка нескольких процентов (можно заметить , что
  если поменять среды местами  - т.е. рассматривать падение из воды в
  воздух , то это значение не изменится)
 В случае падения из оптически менее плотной среды в оптически более
  плотную  при[pic]:
  [pic]             [pic]
   Действительно, преломленной  волны при скользящем падении не
  образуется и интенсивность                   падающей волны не
  меняется.
    В случае падения из оптически более плотной среды в оптически менее
  плотную , необходимо учесть явление полного внутреннего отражения ,
  когда прошедшей волны нет - вся волна отражается от  поверхности
  раздела. Это происходит при  значениях [pic] больших , чем [pic],
  вычисляемого следующим образом:
  [pic][1]
 Для падения из стекла в воздух [pic]
  Здесь не рассматривается  полное внутреннее отражение , поэтому [pic] в
  случае падения из оптически более плотной среды в оптически менее
  плотную  изменяется до [pic], в этом случае:
  [pic]         [pic]

 Далее исследуем  поведение  этих функций между крайними точками , для
  этого исследуем на монотонность функции: [pic]  и [pic]
  Нам понадобится производная [pic], найдем ее как производную функции ,
  заданной неявно :
   [pic]

  [pic]Знак этой  производной ( поскольку [pic] , [pic]) зависит только
  от  знака  выражения [pic] , это выражение > 0  , когда [pic]  (то есть
  падение из оптически мене плотной среды в оптически более плотную ) и
  <0 , когда  [pic]  (из более оптически плотной в менее оптически
  плотную ) , следовательно в первом случае   [pic]  монотонно
  возрастает, а  во  втором , убывает . Но  в случае [pic] [pic]  ,
  следовательно  по модулю это выражение будет возрастать , в
  случае[pic][pic] оно также будет по модулю  возрастать . Таким образом
  , [pic] , как квадрат этого выражения , в обоих случаях  монотонно
  возрастает  от  [pic]при [pic] до  1 при [pic].или[pic].

  [pic]

   Знак этой производной ,( поскольку [pic] ,

  есть >0 при [pic] и  <0 при [pic].
   Знак функции [pic] меняется следующим образом :
  при[pic]   если [pic] невелико[pic]>0 , но эта функция  проходит через
  нуль. Поскольку числитель , при рассматриваемых пределах изменения
  [pic] в 0 обращаться не может[2]  это происходит тогда , когда
  знаменатель обращается в бесконечность т.е.:
  [pic]
  Это есть угол Брюстера ([pic]) , при котором  [pic] обращается в 0 , то
  есть отраженная волна отсутствует . Для  случая падения из воздуха в
  стекло [pic], для обратного случая (из стекла в воздух) [pic]При
  переходе через этот угол [pic] меняет знак на минус  , следовательно
  [pic] как квадрат этой функции сначала  убывает (до нуля) , а затем
  возрастает (до 1).
 При  [pic]  для  небольших[pic][pic]<0 , при переходе через [pic] знак
  будет меняться  на плюс. Переход через [pic] действительно будет  иметь
  место , хотя [pic] изменяется до [pic] ,а не до [pic] , поскольку
  [pic]. Таким образом  [pic] снова  монотонно убывает до 0 , а затем
  монотонно возрастает до 1.
    Итак , в обоих случаях  [pic] сначала монотонно убывает от [pic]при
  [pic] до 0 при [pic] , а затем монотонно возрастает до 1 при [pic] или
  [pic].

   Полученные  зависимости  иллюстрируются следующими графиками :
  на первом показана зависимость [pic](сплошная линия) и [pic](пунктирная
  линия) от [pic] для случая падения волны из воздуха в стекло (n=1.51)

[pic]


на втором -для случая падения волны из стекла в воздух
[pic]


  В. Преломление

      Для анализа поведения [pic] и [pic] воспользуемся следующим
  соображением - падающая волна на границе раздела  разделяется на две -
  прошедшую  и отраженную  , причем энергия падающей  волны (энергия ,
  переносимая волной  через границу раздела сред) уходит в энергию
  отраженной  и преломленной волн (поскольку никаких других источников
  нет). Поэтому , поскольку коэффициент [pic] показывает отношение
  энергии прошедшей волны к энергии падающей , [pic] - отношение энергии
  отраженной волны к энергии падающей в p-волне , а [pic] и [pic] -
  аналогичные отношения в s-волне , должны выполнятся соотношения :
            [pic]      и   [pic]
    Действительно , проверим это :
[pic]
рассмотрим отдельно числитель:
[pic]таким образом действительно [pic] , аналогично
  [pic]



     Таким образом , используя предыдущее исследование [pic] ,[pic] можно
  сказать , что :
  [pic]
    Для случая падения из воздуха в стекло (а можно заметить , что если
  среды поменять местами , то это значение не изменится ) [pic]
  [pic]
   Между  этими точками [pic] и [pic] ведут себя противоположно [pic]и
  [pic] .
   Окончательно , [pic] монотонно возрастает от  [pic] ([pic] )до [pic] ,
  а затем монотонно убывает до 0 ( при [pic] ) , [pic] монотонно убывает
  от [pic] до 0 (при тех же пределах изменения[pic]). Причем как для
  случая падения из менее оптически плотной среды , так и из более
  оптически плотной. Ниже на рисунке представлены графически зависимости
  для обоих этих случаев.
  [pic]

  С. Набег фаз при отражении и преломлении

    Из формул Френеля следует , что отношения  [pic],[pic],[pic]и [pic]
  могут в принципе получится и отрицательными . Поскольку амплитуда есть
  существенно положительная величина , в  этом случае имеет место сдвиг
  фазы волны на[pic] . Далее выясним , когда такой сдвиг имеет место.
     В случае отраженной p-волны    [pic] , как установлено в п. А , эта
  функция
  при n>1 больше 0 при [pic] и меньше 0 при [pic], при n<0 промежутки
  знакопостоянства меняются местами . Таким образом , в случае падения из
  менее оптически плотной среды в более плотную сдвиг фаз на[pic] в
  отраженной p-волне наблюдается при [pic] , а в случае падения из более
  плотной в менее плотную - при[pic].
     В случае отраженной s-волны [pic] , эта функция меньше 0 при [pic] и
  больше 0 в противном случае. Таким образом , сдвиг фаз на[pic] в
  отраженной s-волне наблюдается при падении из менее оптически плотной
  среды в более плотную , и не наблюдается при падении из более плотной
  среды в менее плотную.
     В случае произвольно падающей линейно поляризованной волны , которая
  представляется в виде суммы p и s-волн , в отраженной волне , таким
  образом , можно получить , в общем случае волну произвольной
  (эллиптической) поляризации .
     Для исследования сдвига фаз в прошедшей волне , воспользуемся
  соотношениями , возникшими как промежуточные результаты при выводе  (7)
  и (10) :
                   [pic]   и  [pic]
  из этих соотношений видно , что , поскольку   [pic] и [pic] , то всегда
  [pic]и [pic] . То есть , в прошедшей волне изменения фазы не происходит
  (причем это верно для волн произвольной поляризации).


  Дополнительная литература:
 Cивухин Д.В. “Общий курс физики. Оптика”  , Москва , “Наука”,1985г.
 Савельев И.В. “Курс общей физики” , том 2 , Москва , “Наука” , 1979г.

-----------------------
[1] -здесь под n понимается показатель преломления той среды , куда падает
луч относительно той , откуда он падает , в оптике в этом случае под n
понимают показатель преломления  оптически более плотной среды относительно
оптически менее плотной , т.е. в  этом случае в этой формуле стоит [pic]
[2]-- числитель также не может обращаться в бесконечность , поскольку это
возможно только в случае [pic] , но в этом случае [pic] , а это невозможно
т.к. [pic] и [pic]