Пропускная способность канала
Работа из раздела: «
Радиоэлектроника»
Казанский Государственный технический университет им. А.Н. Туполева
Кафедра Радиоуправления
Пояснительная записка к курсовой
работе по курсу
ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ СВЯЗИ
на тему
Пропускная способность канала.
Выполнил студент гр.5313
Алмазов А.И.
Руководитель: _____________
Оценка _____________
Комиссия ________ ( _______
)
________ ( _________ )
________ ( _________ )
Казань 2002
Оглавление.
1. Задание…………………………………………………………………..3стр.
2. Введение…………………………………………...……………………4стр.
3. Теоретическая часть…………...……………………………………….5стр.
4. Практическая часть………………………………..…………………..11стр.
5. Заключение………………………………………………..…………...14стр.
6. Литература…………………………………………….……………… 15стр.
Задание.
В канале действует аддетивный белый гаусовский шум. Отношение
сигнал/шум (Pc/Pш) меняется с 25 до 15 дБ, с шагом 1дБ. F=1,5 кГц; Vк=8*103
сим/с.
Рассчитать:
1) Изменение пропускной способности канала.
2) Изменение избыточности ? двоичного кода, необходимой для сведения
ошибки декодирования к сколь угодно малой величине.
Построить графики зависимостей с=f(Pc/Pш) и ?= f(Pc/Pш).
Введение.
Поставленная задача интересна тем, что мы сможем проследить изменение
пропускной способности канала с изменением отношения сигнал/шум . Можно
определить пропускную способность С канала в расчете на один символ
Ссимвол=maxI(A,B),бит/символ
или в расчете на единицу времени (например, на секунду):
С=maxI’(A,B)=( Ссимвол , биит/с.
В данном случае мы будем рассчитывать относительно времени. Для этого
мы воспользуемся формулой определяющей пропускную способность канала в
расчете на единицу времени.
С=Fklog2(1+Pc/Pш),
А для того чтобы определить избыточность передаваемой информации
воспользуемся теоремой Шеннона. При условии если теорема Шеннона будет
выполняться, то избыточность ? будет равняться 0, значит информация
передаётся без потерь. Если нет, то ? будет больше нуля (?>0). Т.е. чем
меньше величина ?, тем меньше будет вероятность ошибки декодирования.
Теоретическая часть.
Пропускная способность канала связи.
В любой системе связи через канал передаётся информация. Её скорость
определяется по формуле:
I’(А,В)=H’(А)-H’(А|В)=H’(А)-H’(В|А).
(1)
Величина H(A|B) - это потери информации при передаче ее по каналу. Ее
также называют ненадежностью канала. H(B|A) - энтропия шума; показывает,
сколько бит шумовой информации примешивается к сигналу. Передачу сигнала по
каналу иллюстрирует рис. 1.
[pic]
Рис. 1. Передача информации по каналу с помехами
Здесь I’(A,B)=v*I(A,B) - скорость передачи информации по каналу.
Как видно из формулы (1), эта скорость зависит не только от самого
канала, но и от свойств подаваемого на его вход сигнала и поэтому не может
характеризовать канал как средство передачи информации.
Рассмотрим дискретный канал, через который передаются в единицу времени
( символов из алфавита объёмом m. При передачи каждого символа в среднем по
каналу проходит количество информации
I(A,B)=H(A)-H(A|B)=H(B)-H(B|A),
(2)
где А и В- случайные символы на входе и выходе канала. Из четырёх
фигурирующих здесь энтропий Н(А)- собственная информация передаваемого
символа определяется источником дискретного сигнала и не зависит от
свойств канала. Остальные три энтропии в общем случае зависят как от
источника сигнала, так и от канала.
Величина I(A,B) характеризует не только свойства канала, но и свойства
источника информации. Пусть на вход канала можно подавать сигналы от
различных источников информации с различными распределениями P(A). Для
каждого источника I(A,B) примет свое значение. Максимальное количество
информации, взятое по всевозможным Р(А), характеризует только канал и
называется пропускной способностью (ПС) канала в расчете на один символ:
[pic]бит/символ,
где максимизация производится по всем многомерным распределениям
вероятностей Р(А).
Также определяют пропускную способность С канала в расчете на единицу
времени:
[pic]бит/с, (3)
где v - количество символов, переданное в секунду.
В качестве примера вычислим пропускную способность дискретного
симметричного канала без памяти (рис. 2) с вероятностью ошибочного перехода
- p.
[pic]
Рис. 2. Модель двоичного симметричного канала без памяти
Согласно свойству взаимной информации 2 можно записать: Ссим=max(H(B)-
H(B|A)). Распишем H(B|A). Исходя из условий задачи вероятность правильной
передачи символа по каналу - 1-p, а вероятность ошибочной передачи одного
символа p/(1-m), где m - число различных символов, передающихся по каналу.
Общее количество верных передач - m; общее количество ошибочных переходов -
m*(m-1). Отсюда следует, что:
[pic].
Следовательно, Н(В/А) не зависит от распределения вероятности в
ансамбле А, а определяется только переходными вероятностями канала. Это
свойство сохраняется для всех моделей канала с аддитивным шумом.
Максимальное значение Н(В)=log m. Отсюда следует:
[pic]. (4)
Пропускная способность в двоичных единицах в расчете на единицу
времени:
[pic]. (5)
Для двоичного симметричного канала (m=2) пропускная способность в
двоичных единицах в единицу времени
С=([1+p*log(p)+(1-p)*log(1-p)]
(6)
Зависимость С/( от р согласно (6) показана на рис.3
[pic]
рис.3 Зависимость пропускной способности двоичного симметричного
канала без памяти от вероятности ошибочного приёма символа.
При р=1/2 пропускная способность канала С=0, поскольку при такой
вероятности ошибки последовательность выходных символов можно получить
совсем не передавая сигнала по каналу, а выбирая их наугад, т.е. при р=1/2
последовательности на выходе и входе канала независимы. Случай С=0 называют
обрывом канала.
Пропускная способность непрерывного канала связи.
Вычисляется аналогично пропускной способности дискретного канала.
Непрерывный сигнал дискретизируется во времени с помощью отсчетов согласно
теореме Котельникова и информация, проходящая по каналу за время Т, равна
сумме количества информации, переданной за один отсчет. Поэтому общая ПС
канала равна сумме ПС на один такой отсчет:
[pic], (7)
где U - переданный сигнал; Z - сигнал на выходе канала с наложенными на
него шумами; N - шум; Z=U+N.
Пусть U и N - случайные величины с плотностью распределения вероятности
w, распределенной по нормальному (гауссовскому) закону. Для таких сигнала и
шума (см. вывод в [1, с. 114, 117-118]:
[pic].
Отсюда следует:
[pic].
ПС в расчете на секунду будет равна:
[pic], (8)
поскольку при дискретизации сигнала по теореме Котельникова за одну секунду
мы получим 2F отсчетов, где F - верхняя частота спектра сигнала.
Подчеркнем, что формула (8) имеет такой вид только при условии, что
плотности распределения вероятностей w(U) и w(N) подчиняются нормальному
закону.
Формула (8) имеет важное значение, т.к. указывает на зависимость ПС
канала от его технических характеристик - ширины полосы пропускания и
отношения мощности сигнала к мощности шума.
Чтобы выяснить как зависит пропускная способность от ширины полосы
пропускания выразим мощность шума в канале через его одностороннюю
спектральную мощность N0. Имеем Рш=N0F; поэтому
С=F*log(1+ Pc/N0*F )=F*loge*ln(1+Pc/N0*F)
(9)
При увеличении F пропускная способность С, бит/с, сначала быстро
возрастает, а затем асимптотически стремится к пределу:
C?=Lim(Pc/N0)*loge
(10)
Результат (10) получается очень просто, если учесть, что при |(|<<1
ln(1+()((. Зависимость С и F показана на рис.4.
[pic]F N0/Pc
рис.4 Зависимость нормированной пропускной способности
гауссовского канала от его полосы пропускания.
Теорема кодирования для канала с помехами.
Это основная теорема кодирования К. Шеннона. Применительно к
дискретному источнику информации она формулируется так:
Теорема. Если производительность источника сообщений H’(A) меньше
пропускной способности канала С: H’(A)<С, то существует такой способ
кодирования (преобразования сообщения в сигнал на входе канала) и
декодирования (преобразования сигнала в сообщение на выходе), при котором
вероятность ошибочного декодирования и ненадежность канала H(A|A*) могут
быть сколь угодно малы. Если же H’(A)>С, то таких способов кодирования и
декодирования не существует.
Модель:
Н(А) Н’(В)
Н’(А)<с
Если же Н’(А)>с, то такого кода не существует.
Теорема указывает на возможность создания помехоустойчивых кодов.
Н’(А)< Н’(В)
Н’(В)=VkH
Декодер выдаёт на код каналов Vk символов в секунду. Если в канале
потерь нет, то Vk=с.
При Н<1 будет тратится больше одного бита на символ, значит появляется
избыточность, т.е. не все символы несут полезную информацию.
Делаем вывод, что смысл теоремы Шеннона заключается в том, что при
H’(A)>С невозможна безошибочная передача сообщений по данному каналу, если
же H’(A)<С, то ошибки могут быть сведены к сколь угодно малой величине.
Таким образом, величина С - это предельное значение скорости безошибочной
передачи информации по каналу
Практическая часть.
Пропускная способность гауссовского канала определяется [1, стр.118]:
[pic].
Отношение сигнал/шум падает по условию задания с 25 до 15 дБ. Поэтому С
также будет уменьшаться. Необходимо уменьшать С/Ш с 25 до 15 дБ с шагом 1
дБ и вычислить по формуле 11 значений С. При этом надо учесть, что в
формуле отношение С/Ш - Pc/Pш - дано в разах, поэтому данные в дБ
необходимо пересчитать в разы: [pic]; отсюда [pic].
С помощью программы MathCAD получили результаты подсчётов:
С1=1,246*104 бит/с
С2=1,197*104 бит/с
С3=1,147*104 бит/с
С4=1,098*104 бит/с
С5=1,048*104 бит/с
С6=9,987*103 бит/с
С7=9,495*103 бит/с
С8=9,003*103 бит/с
С9=8,514*103 бит/с
С10=8,026*103 бит/с
С11=7,542*103 бит/с
Производительность кодера H’(B)=vк*H(B) должна быть меньше пропускной
способности канала С, иначе неизбежны потери информации в канале.
Максимальное значение энтропии двоичного кодера Hmax=H(B)=log2=1 бит. Если
С уменьшается, то для избежания потерь информации можно уменьшать H(B) так,
чтобы H’(B) оставалась все время меньше С. Если же H(B)<1, это означает,
что кодовые символы не равновероятны и зависимы друг от друга, т.е.
используется избыточный (помехоустойчивый) код. Избыточность этого кода
вычисляется по формуле:
[pic].
(11)
Итак, пропускная способность канала С определяет предельное значение
производительности кодера H’(B): H’(B)
