Анализ производственных функций

[pic]



      Курсовая  работа :



                      “Анализ производственных функций”



      Группа: ДИ 302
      Студент: Шеломанов Р.Б.



      Руководитель: Зуев Г.М



                                 Москва 1999



Содержание


Теоретическая часть    3

Мультипликативная производственная функция   3

Линейная производственная функция 10

Производственная функция затраты-выпуск      10

Практическая часть     10

Задача      10

Решение     10

Заключение  11

Литература  12


   Теоретическая часть


Мультипликативная производственная функция

   Производственная функция (ПФ) выражает зависимость результата
производства от затрат ресурсов. При описании экономики (точнее, ее
производственной подсистемы) с помощью ПФ эта подсистема рассматривается
как «черный ящик», на вход которого поступают ресурсы R1, ..., Rn, а на
выходе получается результат в виде годовых объемов производства различных
видов продукции Х1, ..., Хm .
В качестве ресурсов (факторов производства) на макроуровне наиболее часто
рассматриваются накопленный труд в форме производственных фондов (капитал)
К и настоящий (живой) труд L, а в качестве результата - валовой выпуск Х
(либо валовой внутренний продукт Y, либо национальный доход N). Во всех
случаях результат коротко будем называть выпуском и обозначать X, хотя это
может быть и валовой выпуск, и ВВП, и национальный доход.
Остановимся несколько подробнее на обосновании состава фактора К.
Накопленный прошлый труд проявляется в основных и оборотных,
производственных и непроизводственных фондах. Выбор того или иного состава
K определяется целью исследования, а также характером развития
производственной и непроизводственной сфер в изучаемый период. Если в этот
период в непроизводственную сферу вкладывается примерно постоянная доля
вновь созданной стоимости и непроизводственная сфера оказывает на
производство примерно одинаковое влияние, это служит основанием напрямую
учитывать в ПФ только производственные фонды.
Но производственные фонды состоят из основных и оборотных производственных
фондов. Если соотношение между этими составными частями производственных
фондов примерно постоянное в течение всего изучаемого периода, то
достаточно напрямую учитывать в ПФ только основные производственные фонды.
Если изучаемый период достаточно продолжителен и однороден по влиянию на
производство указанных выше составных частей, следует испробовать все
варианты включения их в модель (от всех вместе до какого-то одного из них).
Чтобы не вдаваться в детали, далее будем К называть фондами.
Таким образом, экономика замещается своей моделью в форме нелинейной ПФ

Х= F(K, L),

т.е. выпуск (продукции) есть функция от затрат ресурсов (фондов и труда).
   Теперь рассмотрим  экономическую интерпретацию основных характеристик ПФ
на примере мультипликативной функции (в частности, функции Кобба—Дугласа),
некоторые другие ПФ, используемые в экономике, разберем в конце работы.
   Производственная функция  Х= F(K, L) называется неоклассической, если она
является гладкой и удовлетворяет следующим условиям, поддающимся
естественной экономической интерпретации:
1) F(0, L) = F(K, 0) = 0
- при отсутствии одного из ресурсов производство невозможно;

2) [pic][pic]

 - с ростом ресурсов выпуск растет;
3) [pic] [pic]
- с увеличением ресурсов скорость роста выпуска замедляется;
4) f(+(, L) = F(K, +() = +(
[pic]- при неограниченном увеличении одного из ресурсов выпуск
неограниченно растет.
Мультипликативная ПФ задается выражением
 a1>0 a2>0
где А — коэффициент нейтрального технического прогресса; а1, a2
-коэффициенты эластичности по труду и фондам .
   Таким образом, ПФ обладает свойством 1, адекватным реальной экономике:
при отсутствии одного из ресурсов производство невозможно. Частным случаем
этой функции служит функция Кобба-Дугласа

[pic]  Где  a1=a, a2=1-a

Мультипликативная ПФ определяется по временному ряду выпусков и затрат
ресурсов (Хt, Кt, Lt,), t= 1, ..., Т, где T- длина временного ряда, при
этом предполагается, что имеет место Т соотношений

[pic]


где (t — корректировочный случайный коэффициент, который приводит в
соответствие фактический и расчетный выпуск и отражает флюктуацию
результата под воздействием других факторов, М(t = 1. Поскольку в
логарифмах эта функция линейна:

In Хt = In A + atIn Kt+ a2InLt + (t, где (t = In (t, М(t= 0,


получаем модель линейной множественной регрессии. Параметры функции А, a1,
a2 могут быть определены по методу наименьших квадратов с помощью
стандартных пакетов прикладных программ, содержащих метод множественной
регрессии (например, STATGRAF или SAS для персональных ЭВМ).
   В качестве примера приведем мультипликативную функцию валового выпуска
Российской Федерации (млрд. руб.) в зависимости от стоимости основных
производственных фондов (млрд. руб.) и числа занятых в народном хозяйстве
(млн. чел.) по данным за 1960-1994 гг. (все стоимостные показатели даны в
сопоставимых ценах для этого периода):


   X=0,931K0,539L0,594
   Мультипликативная функция обладает также свойством 2, адекватным
реальной экономике: с ростом затрат ресурсов выпуск увеличивается, т.е.


Так как a1 >0
Так как  a2>0
   Частные производные выпуска по факторам называются предельными
продуктами или предельными (маржинальными) эффективностями факторов и
представляют собой прирост выпуска на малую единицу прироста фактора:

[pic]- предельный продукт фондов, предельная фондоотдача (предельная
эффективность фондов);

[pic]- предельный продукт труда, предельная производительность (предельная
эффективность труда).

Для мультипликативной функции указанной выше  вытекает, что предельная
фондоотдача пропорциональна средней фондоотдаче — [pic] с коэффициентом a1
, а предельная производительность труда — средней производительности труда
[pic] — с коэффициентом а2:
[pic],  [pic]



   Из чего вытекает, что при а1 < 1, a2 < 1 предельные отдачи факторов
меньше средних; при этих же условиях мультипликативная функции обладает
свойством 3, которое очень часто наблюдается в реальной экономике: с ростом
затрат ресурса его предельная отдача падает, т.е.

   [pic] так как а1<1

   [pic] так как а2<1



   Из [pic]  также видно, что мультипликативная функция обладает свойством
4 , т.е. при неограниченном увеличении одного из ресурсов выпуск
неограниченно растет. Таким образом, мультипликативная функция при 0 < а1 <
1, 0<а2 < 1 является неоклассической.
   Перейдем теперь к экономической интерпретации параметров А, а1, а2
мультипликативной ПФ. Параметр А обычно интерпретируется   как параметр
нейтрального технического прогресса: при тех же а1, а2  выпуск в точке (К,
L) тем больше, чем больше А. Для интерпретации а1, а2  необходимо ввести
понятие эластичностей как логарифмических производных факторов:

[pic]

[pic]

Поскольку в нашем случае In Х = In А + a1ln К + a1ln L, то

 [pic] [pic]


т.е. а1  — эластичность выпуска по основным фондам, а a2 - эластичность
выпуска по труду.

Из

[pic]
[pic]
   видно, что коэффициент эластичности фактора показывает, на сколько
процентов увеличится выпуск, если фактор возрастет на 1%. Например,
согласно ПФ X=0,931K0,539L0,594
при увеличении основных фондов (ОФ) на 1% валовой выпуск повысится на
0,539%, а при увеличении занятых на 1% — на 0,594%.
Если а1 >a2 имеет место трудосберегающий (интенсивный) рост, в противном
случае - фондосберегающчй (экстенсивный) рост.
Рассмотрим темп роста выпуска

[pic]

Если возвести обе части уравнения в степень [pic], получим соотношение

[pic][pic]

в котором справа — взвешенное среднее геометрическое темпов роста затрат
ресурсов, при этом в качестве весов выступают относительные эластичности
факторов
   [pic]  [pic]

   При а1+ а2 > 1 выпуск растет быстрее, чем в среднем растут факторы , а
при а1+ а2 < 1 - медленнее. В самом деле, если факторы растут (т.е.
Kt+1>Kt, Lt+1>Lt)  то согласно [pic] растет и выпуск (т.е. Xt+1>Xt),
следовательно, при а1+ а2 > 1
[pic]

т.е.   действительно, темп роста выпуска больше среднего темпа роста
факторов . Таким образом, при а1+ а2 > 1 ПФ описывает растущую экономику.
Линией уровня на плоскости К, L, или изоквантой, называется множество тех
точек плоскости, для которых F(K, L) =Х0=const. Для мультипликативной  ПФ
изокванта имеет вид :

[pic] или [pic]

т.е.  является степенной гиперболой, асимптотами которой служат оси
координат.
Для разных К, L, лежащих на конкретной изокванте, выпуск равен  одному и
тому же значению X0, что эквивалентно утверждению о взаимозаменяемости
ресурсов.
Поскольку на изокванте F(K, L) = Х0 = const, то

[pic]

В этом соотношении  [pic], [pic] поэтому dK и dL имеют разные знаки: если
dL<0  что означает сокращение объема труда, то dK>0, т.е выбывший в объеме
[pic] труд замещается фондами в объеме dK.
   Поэтому естественно следующее определение, вытекающее из [pic].
Предельной нормой замены SK труда фондами называется отношение модулей
дифференциалов ОФ и труда:
[pic]
соответственно , предельная норма замены SL фондов трудом
[pic] при этом Sk SL=1

Для мультипликативной функции норма замещения труда фондами пропорциональна
фондовооруженности:
[pic] , [pic]
что совершенно естественно: недостаток труда можно компенсировать его
лучшей фондовооруженностью.
   Изоклиналями называются линии наибольшего роста ПФ. Изоклинали
ортогональны линиям нулевого роста, т.е. изоквантам. Поскольку направление
наибольшего роста в каждой точке (К, L) задается градиентом

grad [pic]  , то уравнение изоклинали записывается в форме[pic]

В частности, для мультипликативной     ПФ получаем, [pic]

поэтому изоклиналь задается дифференциальным уравнением,

[pic], которое имеет решение

[pic],   [pic]

где (L0; К0) - координаты точки, через которую проходит изоклиналь.
Наиболее простая изоклиналь при а = 0 представляет собой прямую

[pic]

На рис. 1 изображены изокванты и изоклинали мультипликативной ПФ.
При изучении факторов роста экономики выделяют экстенсивные факторы роста
(за счет увеличения затрат ресурсов, т.е. увеличения масштаба производства)
и [pic]
                                   рис. 1

интенсивные факторы роста (за счет повышения эффективности использования
ресурсов).
Возникает вопрос: как с помощью ПФ выразить масштаб и эффективность
производства? Это сравнительно легко сделать, если выпуск и затраты
выражены в соизмеримых единицах, например представлены в соизмеримой
стоимостной форме. Однако проблема соизмерения настоящего и прошлого труда
до сих пор не решена удовлетворительным образом. Поэтому воспользуемся
переходом к относительным (безразмерным) показателям.В относительных
показателях мультипликативная ПФ записывается следующим образом:

[pic]

те X0, K0 L0 — значения выпуска и затрат фондов и труда в базовый год.
Безразмерная форма , указанная выше , легко приводится к первоначальному
виду
[pic]

Таким образом, коэффициент [pic]
получает естественную интерпретацию - это коэффициент, который соизмеряет
ресурсы с выпуском. Если обозначить выпуск и ресурсы в относительных
(безразмерных) единицах измерения через x, k, l, то ПФ в форме

          [pic]
запишется так:

[pic]

   Найдем теперь эффективность экономики, представленной ПФ . Напомним, что
эффективность — это отношение результата к затратам. В нашем случае два
вида затрат: затраты прошлого труда в виде фондов k и настоящего труда l.
Поэтому имеются два частных  показателя эффективности: [pic] -фондоотдача ,
[pic] -  производитель труда.
   Поскольку частные показатели эффективности имеют одинаковую размерность
(точнее, одинаково безразмерны), то можно находить любые средние из них.
Так как ПФ выражена в мультипликативной форме, то и среднее естественно
взять в такой же форме, т.е. среднегеометрическое значение.
   Итак, обобщенный показатель экономической эффективности есть взвешенное
среднее геометрическое частных показателей экономической эффективности:

[pic]

в котором роль весов выполняют относительные эластичности
[pic]  [pic] т.е. частные эффективности участвуют в образовании обобщенной
эффективности с такими же приоритетами, с какими входят в ПФ
соответствующие ресурсы.
   Из  [pic]вытекает, что с помощью коэффициента экономической эффективности
ПФ преобразуется в форму, внешне совпадающую с функцией Кобба-Дугласа:
k=Eka l1-a
в соотношении с чем  Е - не постоянный коэффициент, а функция от (К, L).
   Поскольку масштаб производства М проявляется в объеме затраченных
ресурсов, то по тем же соображениям, которые были приведены при расчете
обобщенного показателя экономической эффективности, средний размер
использованных ресурсов (т.е. масштаб производства)

   M=kal1-a

   В результате получаем , что выпуск Х есть произведение экономической
эффективности и масштаба производства:

Х=ЕМ.
   Линейная производственная функция

   X=F(K,L)=EKK+ELL
   Где  EK  и EL частные эффективности ресурсов.
   EK =[pic] -фондоотдача , EL =[pic] -  производитель труда.
Поскольку частные показатели эффективности имеют одинаковую размерность
(точнее, одинаково безразмерны), то можно находить любые средние из них.

Эластичности замены труда фондами для линейной ПФ = (
эта величина показывает, на сколько процентов надо изменить
фондовооруженность, чтобы добиться изменения нормы замены на 1%.

   Производственная функция затраты-выпуск
X= F(K,L)=[pic]
Где:

[pic]

[pic]
   Коэффициенты эластичности представленные в виде логарифмических
производных факторов показывают,  на сколько процентов увеличится выпуск,
если фактор возрастет на 1%. Например, согласно ПФ X=0,931K0,539L0,594
при увеличении основных фондов (ОФ) на 1% валовой выпуск повысится на
0,539%, а при увеличении занятых на 1% — на 0,594%.


   Практическая часть

    Задача
Дана производственная функция валового внутреннего продукта США по данным
1960-1995 гг.

   X=2,248K0,404L0,803
Валовой внутренний продукт США, измеренный в млрд. дол. в ценах 1987 г.
возрос с 1960 по 1995 г. в 2,82 раза, основные производственные фонды за
этот же период увеличились в 2,88 раза,  число занятых - в 1,93 раза.
Необходимо рассчитать  масштаб и эффективность производства.
   Решение
Из условия x = 2,82 k=2,88 l=1,93;
('начала находим относительные эластичности по фондам и труду
[pic]
Затем определяем частные эффективности ресурсов
[pic]
[pic]
после  чего находим обобщенный показатель эффективности как среднее
геометрическое частных:
[pic]
Масштаб устанавливаем как среднее геометрическое темпов роста  ресурсов
[pic]
Таким образом , общий рост ВВП с 1960 по 1995 г. в 2,82 раза произошел за
счет роста масштаба производства в 2,207 раза и за счет повышении
эффективности производства в 1,278 раза (2,82 = 1,273 * 2,207).


   Заключение

Выше  достаточно подробно была изучена  мультипликативная ПФ  F(K,L)[pic].
В частности, был выяснен экономический смысл ее параметров , показано, что
при 0 <а1<1, i= 1, 2… эта функция –неоклассическая , построены изокванты и
изоклинали этой функции, найдены нормы замены ресурсов.. Рассмотрены и
другие производственные функции.

Литература

          В.А. Колемаев  «Математическая экономика»

          Г.М. Зуев Ж.В. Самохвалова «Экономико-математические методы и
          модели. Межотраслевой анализ»
-----------------------



[pic]

[pic]