Теория устойчивости

4. Критерий устойчивости Михайлова.
Частотные критерии устойчивости получили наиболее широкое практическое
применение, так как, во-первых, они позволяют судить об устойчивости
замкнутой системы по более простой передаточной функции системы W ( s ) ;
во-вторых, анализ устойчивости можно выполнять и по экспериментально
определенным частотным характеристикам; в-третьих, с помощью частотных
характеристик можно судить и о качестве переходных процессов в системе.
А.В. Михайлов первым предложил использовать развитые в радиотехнике
Найквистом частотные методы для анализа устойчивости линейных систем
регулирования. Сформулированным им в 1938 г. критерий устойчивости назвали
его именем. Рассмотрим существо этого критерия.
Пусть характеристическое уравнение замкнутой системы имеет вид
      D (  (   ) =    (   n  + a1   (   n-1 + a2   (   n-2  + ... + an  =
0.          (13)
Зная его корни  (   1 , (   2 , ... ,  (   n ,  характеристический
многочлен для уравнения (13) запишем в виде
      D (  (   ) =  (  (  -  (   1 ) (  (  -  (   2 ) ... (  (  -  (   n ).
            (14)


                Im                       Im



             0   Re                    0                Re



            а)                    б)

Рис.12. Векторное изображение сомно-жителей характерис-тического уравнения
замкнутой системы на плоскости :
а - для двух корней  (   и  (  i  ;
б - для четырех корней   (  1 , (  ‘1 ,  (  2 , (  ‘2


Графически каждый комплексный корень  (    можно представить точкой на
плоскости. Поэтому, в свою очередь, каждый из сомножителей уравнения (14)
можно представить в виде разности двух векторов  (  (  -  (   i ), как это
показано на рис.12,а. Положим теперь, что   (    = j  (    ; тогда
определяющей является точка  (   на мнимой оси (рис.12,б). При изменении
(    от  - (    до +  (    векторы j  (  -  (    1 и j   (    -  (   ‘1
комплексных корней  (     и    (   ‘1 повернуться против часовой стрелки, и
приращение их аргумента равно +  (   ,  а векторы   j   (    -  (   2   и j
  (    -  (   ‘2 повернутся  по часовой стрелке, и приращение их аргумента
равно  -  (   . Таким образом, приращение аргумента   arg( j   (    -  (
i )  для корня характеристического уравнения  (   i , находящегося в левой
полуплоскости, составит +   (   , а для корня, находящегося в правой
полуплоскости, -   (   . Приращение результирующего аргумента  (    arg D(
j  (   ) равно сумме приращений аргументов его отдельных сомножителей. Если
сре1ди n корней характеристического уравнения m лежит в правой
полуплоскости, то приращение аргумента составит
(    arg D( j  (   )  = ( n - m )  (   - m   (       = ( n - 2m )  (   .
      (15)
   - (    <   (   <  (         для левой     для правой
                           полуплоскости    полуплоскости
Отметим теперь, что действительная часть многочлена
D ( j  (   ) = ( j  (   )n + a1 ( j  (   )n-1 + a2 ( j  (   )n-2 + ... + an
            (16)
содержит лишь четные степени   (   , а мнимая его часть - только нечетные,
поэтому
                 arg D ( j  (   ) = - arg D ( -j  (   ),
(17)
и можно рассматривать изменение частоты только на интервале   (   от 0 до
(   . В этом случае приращение аргумента годографа характеристического
многочлена
            (    arg D( j  (   )  =  ( n - 2m )  (  / 2 .
(18)
                            0  (   (   <  (
Если система устойчива, то параметр m = 0, и из условия (18) следует, что
приращение аргумента
            (    arg D( j  (   )  =   n   (  / 2 .
(19)
                            0  (   (   <  (
На основании полученного выражения сформулируем частотный критерий
устойчивости Михайлова: для того чтобы замкнутая система автоматического
регулирования была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы годограф
характеристического многочлена в замкнутой системе (годограф Михайлова)
начинался на положительной части действительной оси и проходил
последовательно в положительном направлении, не попадая в начало координат,
n  квадрантов комплексной плоскости ( здесь n - порядок характеристического
уравнения системы).

                     j V’                             j V’



                  0                    U’                 0
    U’



                   а)                                  б)
Рис.13. Примеры годографов Михайлова для различных характеристических
уравнений замкнутых систем:
а - устойчивые системы при n = 1 - 6 ;  б - неустойчивые системы при n = 4
и различных параметрах

Соответствующие устойчивым системам годографы Михайлова для уравнений
различных порядков построены на рис. 13,а. На рис. 13,б построены годографы
Михайлова для неустойчивых систем при n = 4.