Шпаргалки по геометрии, алгебре, педагогике, методике математики (ИГПИ)
Работа из раздела: «
Математика»
Кольцом называется числ. множ. На котором выполняются три опер-ии: слож,
умнож, вычит.
Полем наз. Числ множ. На котором выполняются 4 операции: слож, умнож,
вычит, деление(кроме деления на 0).
Впопрос 1.
Система натуральных чисел. Принцип мат. Индукции.
Аксиомы Пиано: 1.В N cущ. ! элем. a’ непосредст. следующий за а. 2.Для люб-
го числа а из N сущ-т ! эл-т а’ непосредственно следующий за а. 3. Для люб.
элем-та из N сущ. не более 1 эл-та за которым непосредственно следует
данный эл-т. 4. Пусть М ? N и выполн-ся: 1. 1€ М 2. если а€М след-но а’€M
тогда М=N
опр: Любое множество N для эл-тов которого установлено отношение
‘непосредственно следовать за’ удавлет-щее аксиомама Пиано наз-ся
множеством натуральных чисел.
Алгебр-ие операц-и на N: 1. Сложение – это алг. опер-я определенная на N и
обладающая свойствами: 1.(для люб. а) а+1=а’ 2. (для люб. а,b) a+b’=
(a+b)’ (a+b-сумма, а,b -слогаемые) Т.Сложение нат. чисел сущ и !. 2.
Умножение: 1. для люб а а*1=а 2. для люб а,b a*b’=ab+a T/ Умножение нат
чисел сущ. и !.
Свойства сложения: 1. для люб. а,b^N a+b=b+a (комут-ть) 2. Длб люб. a,b,c^N
(a+b)+c=a+(b+c) (ассац-ть)
Свойства умнож-я: 1.(Для люб. а,b^N) ab=ba 2. (для люб. a,b,c ^N)
(ab)c=a(bc) 3.(a,b,c^N) a(b+c)=ab+ac
Операции вычитания и деления лишь частично выполняются на N. Отношение
порядка на N: На N введем отношение ‘<’ cледующим образом: ab.) 3Сложение монотонно на N 4. Умножение
монотонно. 5. N бесконечное и ограниченное снизу еденицей. 6. Любое
непустое подмножество множ. N содержит наименьший эл-т. 7. N дискретно 8
Выполняется принцип Архимда (Va,b^N) (сущ. n^N) a*n>b
Вопрос 2.
Простые числа. Беск-ть мн-ва простых чисел. Канонич. разложение составного
числа и его !.
Всякое число р€N, р>1 не имеющее др. натур-х делит-й, кроме 1 и р, наз-ся
простым. Всякое число р€N?1 и не явл-ся простым, наз-ся составным. Число 1
не явл-ся ни простым, ни сост-м. Мн-во N можно разбить на: простые, сост-е
и 1. Св-ва: 1. Наим-й делитель всякого нат-го числа есть число простое. 2.
Нат-е число n и простое число р либо взаимнопростые, либо р|n. 3. Если р-
простое и р|a1*a2*…*an , то р|a1 или р|a2 …или р|an. 4. Если р|р1*р2*…*рn и
р, р1, р2… рn – простые числа, то р=р1 или р=р2 или… р=рn.
Наим-й простой делитель нат-го числа n не превос-т ?n. Док-во: пусть р-наим-
й простой дел-ль n. Покажем р??n. р|n => n=р*q (1), р?q. Заменим в (1) q на
р: n?р2, т.к. р2?n, р??n. +
Всякое нат-е число n>1 либо явл-ся простым, либо м.б. предст-а в виде
произв-я простых множ-й n=р1*р2*…*рr, r?1 (1) и (1) явл-ся ! с точностью до
порядка следования множ-й. (1) наз-ся разл-м числа n на простые множ-ли.
Док-во: 1. док-во сущ-я предст-я (1): Если n –число простое, то +. Пусть n-
сост-е и р1 его натур-й дел-ль. Как было док-но р1 число простое и можно
записать: n=р*n1, где р?n1. Если n1 число простое, то +; если n1 сост-е,
то р2 – его наименьший простой делитель. n1=р2*n2, n=р1*р2*n2. Если n2 сост-
е, то рассуждаем аналог. Это можно прод-ть пока не придем к какому-либо
ns=1. То, что после конечного числа шагов такое ns должно получ-ся => из
того, что n>n1>n2>…>ns мн-во нат-х чисел, т.е. все эти числа меньше n.
Итак, через конеч-е число шагов число n можно пред-ть в виде (1). 2. Док-во
!: Предпол-м, что сущ-т 2 разлож-я числа n на простые множ-ли n=p1*p2*…*pr
и n=q1*q1*…*qs, где р1, …рr, q1,…qs простые числа. p1*p2*…*pr= q1*q2*…*qs.
Нужно показ-ть r=s. Левая часть делит-ся на р1 => на р1 делит-ся и правая
часть. Учит-я, что в правой части стоят также простые числа, то по свойству
простых чисел р совпадает с одним из них. Пусть р1=q1, тогда после сокращ-
я: p2*…*pr= q2*…*qs. Аналог. рассуж-я, убеждаемся, что р2 совп-т с одним из
множ-й q. Пусть р2=q2, после сокр-я: p3*…*pr= q3*…*qs и т.д. Предпол-м, что
r?s. Пусть r считать закон-м
как только найдено число >?m.
Вопрос 3.
Кольцо целых чисел. Теорема о делении с остатком. НОД и НОК двух чисел.
На N вып-ы опер-и “+” и “*”, но опер-я “-” вып-ся частично, т.е. ур-е а+х=в
в N не всегда разреш-о. Это одна из причин разширения N. При расщ-и одной с-
ы чисел до др-й должны вып-ся несколько треб-й: 1) NЄZ. 2) +,* должны вып-
ся в Z, причем рез-ы опер-й для чисел из N в N и Z должны совп-ть. 3) +,* -
комут-ы, ассоц-ы и связ. дистр-м законом. 4) в Z должна вып-ся опер-я “-”.
т.е. ур-е а+х=в одноз-о разрешимо в Z для люб-х а,вЄZ. 5) Z должно быть
миним. расш-м из всех расш-й мн-ва N облад-е св-ми 1-4.
Число в делит а, если сущ-т qЄZ, что а=b*q. Отношение “b делит а” наз-ют
отношением делимости и зап-т b|а. Св-ва: 1) (Ґа)(а|a). 2)
(Ґa,b,c)(a|b^b|c=>a|c). 3) (Ґа)(а|0). 4) (Ґа)(0?a). 5) (Ґа)(1|a^-1|a). 6)
a|b^b|a=> b=±a. 7) (Ґx)(а|b=>a|b*x). 8)
(Ґx1,x2,…xr)(b|a1^b|a2…^b|ar=>b|(x1a1+x2a2+…+xrar)).9)(Ґа,b)(b|a=>|b|<|a|).
10) (Ґа,b)(b|a^a>0^b>0=>bb|(-a)=>(-b)|a.
Теорема о делении с остатком. Разделить целое число a на bЄZ, это значит
найти 2 таких q и rЄZ, что a=b*q+r (1) 0?r<|b|, q- неполное частное, r-
остаток. (Ґa,bЄZ^b#0 сущ-т !q, r, что a=b*q+r, 0?r<|b|). Док-во: 1) Возм-ть
дел-я с ост-м. 2 случая: 1. aЄZ, b>0, т.е. bЄN. Рассм. всевоз-е кратные
числа b.Пусть b*q наиб. кратные числа b не превыш-е a, т.е. b*q?a0, т.е. –bЄN и имеем случай 1. т.е. сущ-
т q,rЄZ, что a=(-b)*q+r, 0?r<|-b| => a=b*(-q)+r, 0?r<|b|. 2) !-ть дел-я.
Пусть деление a на b не !, т.е. сущ-ют 2 неполных частных q1, q2 и два
остатка r1, r2, тогда a=b*q1+r1, 0?r1<|b|, a=b*q2+r2, 0?r2<|b|.
b*q1+r1=b*q2+r2; b*(q1-q2)=r2-r1 => b|(r2-r1). Но т.к. 0?r1<|b| и 0?r2<|b|
=> |r2-r1|<|b|. b|(r2-r1)^ |b|>|r2-r1| => r2-r1=0. т.е. r1=r2, но и тогда
q1=q2.+ Следствие. ҐaЄZ^bЄN сущ-т !q, r, что a=b*q+r, 0?r с|d.
Алгоритм Евклида. Пусть Ґa,bЄZ, b#0. т.к. отнош-е делимости сохр-ся при
измен-и знаков чисел, то НОД(a,b)=НОД(a,-b). Поэтому огран-ся случ-м aЄZ,
bЄN. Делим a на b c остатком a=b*q+r1. Если r1=0, т.е. a=b*q, то
НОД(a,b)=b. Пусть r#0, 0НОД(a/m,b/m)=(НОД(a,b))/m. Числа
а1,а2,…аr наз-ся взамно-простыми числами, если НОД(а1,а2,…аr)=1. Всякое
целое число, кот. делится и на a, и на b, наз-ся общим кратным делителем.
Наим. из всех натур-х ОК наз-ся НОК. Св-ва НОК: 1. НОК(a,b)= их
произведению, деленному на НОД. 2. Совокуп-ть ОК 2-х чисел совп. с совокуп-
ю кратных их НОК. 3. Числа (НОК(a,b)/a) и (НОК(a,b)/b) взаимно-просты. 4.
Если a,b вз.-пр., то НОК(a,b)=a*b. 5. (ҐmЄN) НОК(a*m,b*m)=НОК(a,b)*m.
Нахождение НОД и НОК Чтобы найти НОД нужно взять произведение общих простых
множ-й, вход-х в канонич-е разлож-е этих чисел, причем каждый такой простой
множ-ль нужно взять с наим. показ-м. НОК тоже самое, но каждый множ-ль
взять с наиб. показ-м.
Вопрос 4.
Система рацион-х чисел.
Если рассм. мн-во Z, то в Z ур-е a*x=b не всегда разрешимо. => расшир-е
кольца целых чисел до поля Q-рац-х чисел. (Др. причина – измерение отрезков
не всегда выр-ся целым числом). При этом должны вып-ся усл-я: 1. Z
подкольцо кольца Q. 2. ур-е a*x=b, a#0 одноз-но разреш. Ґa,bЄQ. 3. Q должно
быть миним. расш. с-ы Z. С-а Q явл-ся полем, кот. наз-ся поле рац-х чисел.
Рассм. мн-во Q={p/q| pЄZ,qЄN}. на мн-ве дробей рассм. отнош. равносильности
“~”: p/q~k/l ( p*l=k*q. Покажем, что это отнош-е эквивал-ти. 1. a/b~a/b.
т.к. a*b=a*b (рефл-ть). 2. a/b~c/d => c/d~a/b (сим-ть). Проверим a/b~c/d (
a*b=b*c => c*b=d*a ( c/d~a/b. 3. a/b~c/d ^ c/d~e/f => a/b~e/f (тран-ть).
a/b~c/d ^ c/d~e/f => a*d=c*b ^ c*f=d*e => a*d*c*f=c*b*d*e. a*f=b*e
=>a/b~e/f. Если с=0, то все 3 др. 0, т.е. равн-ы. Отнош-е равн-ти дроби на
Q явл-ся отнош-м экв-ти => равнос-е дроби также явл-ся эквив-ми.
Св-во экв-х дробей: 1. a/b~(a*c)/(b*c) c#0. Всякому отнош-ю эквивл-ти соот-
т разбиение на классы экв-ти. Класс эквив-х дробей наз-ся рац-м числом. Рац-
е число хар-ся Ґ из своих представителей. Дроби, вход-е в один и тот же
класс пред-т ! рац-е число => считаются равными. p/q, где q?0 наз-ся
несократ-й записью, если НОД(a,b)=1. Для Ґ положит-го q сущ-т ! запись в
виде несократ-й дроби. Введем на Q отнош-е «меньше» так, что q0.
Легко видеть, что отн-е «<» явл-ся отн-м строгог порядка, т.е. оно
антиреф., антисим., транзит. И явл-ся отнош-м линейного порядка,т.е.
Ґq1,q2ЄQ вып-ся ! из: q1q2. Можно показ-ть, что для отнош-я
«<» вып-ся монот-ть сложения и монот-ть умнож-я: 1. (Ґq1,q2,cЄQ)(q1
q1+c0 => q1*c0. Найдем: q2*c-q1*c=c*(q2-q1)>0 (т.к.c>0, q2-q1>0). q2*c-
q1*c>0 => q1*c--->>N. Q-полтно,
т.е. что между Ґ 2 пац-ми числами нах=ся беск-но много рац-х чисел. 4.Q-
поле рац-х чисел. 5. Поле Q явл-ся лин.-упор-м полем.
При обращ-и обыкнов-й несокр-й a/b в десят-ю возм-ы случаи: 1) Если в
разлож. знамен. b на простые множ-ли встреч-ся только 2 или 5, то несокр.
дробь a/b обращ-ся в конеч. дес-ю. 2) Если НОД(b,10)=1, то a/b представима
в виде бескон-й чисто период-й десят-й дроби. 3) Если в разлож-и b на
простые множ-ли кроме 2 и 5 встреч-ся другие числа, то дробь обращся в
смешан-ю период-ю десят-ю дробь.
Вопрос 5.
Поле комплексных чисел(к.ч.). Геом-е предс-е к.ч. и операции над ними.
Тригон-я форма к.ч.
Х1+1=0 (1) не разрешимо в R – причина расширения с-ы R до с-ы чисел, в кот-
й (1) имело бы реш-е. В кач-ве строит-го матер-ла можно взять точки плоск-
ти: M={(a,b)|a,bЄR}. Т.к. точки плос-т нам не приход-сь умн-ть и склад-ть,
то опер-ции над ними можно задать так, чтобы мн-во было полем, содерж-е
поле R и в кот-м (1) имело бы реш-е: (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d);
(a,b)*(c,d)=(a*c-b*d,a*d+b*c) и (a,b)=(c,d) ( a=c ^ b=d. Можно док-ть, что
слож-е и умнож-е комут-ы, ассоц-ы и связ-ы дист-м законом. Для них вып-ся
обратные опер-ции: вычит-е, делен-е, кроме дел-я на 0,т.е. ур-я
(c,d)+(x,Y)=(a,b) и (c,d)*(x,y)=(a,b), где (c,d)?(0,0) одноз-но разр-мы.
Нейтр-й Эл-т относ-о слож-я: 0=(0;0). Нейтр-й Эл-т отн-о умнож-я: 1=(1;0).
1) С-а M=(M,0,1,+,-,*) поле. 2) M явл-ся расш-м поля R, т.е. R’ содер-ся в
M изоморф-е полю R. R’={(a,0)|aЄR}. R’-подполе поля M, т.е.R’ замкнуто
относ-о всех опер-й кольца и Ґ эл-а ?0 из R’ обратный Эл-т также ЄR’. 3) R
изоморфно R’. Можно уст-ть биект-е отобр-е: ?:R R’; ?: a (a,0) и вып-ся
2 усл-я: образ суммы двух эл-в = сумме образов, образ произв-я 2 эл-в =
произв-ю образов. С – поле к.ч. Покажем, что (1) разреш. Возьмем точку
i=(0,1): (0,1)*(0,1)=(-1,0)?-1. i – корень ур-я (1), мнимая единица, расп-я
на ОУ. Запись: (a,b)=a+b*i алгеб-я, ?=|?|*(cos?+i*sin?) триг-я, где
|?|=[pic]; cos?=a/|?|; sin?=b/|?|. 1. Чтобы умнож-ть 2 к.ч. в триг-м виде,
нужно переем-ть их модули и сложить аргументы (углы). 2. Разд-ть 2 к.ч.:
разд-ть их модули и вычесть аргум-ы. 3. Чтобы возвести к.ч. в целую полож-ю
степень, нужно воз-ти в эту степень модуль и аргумент умнож-ть на показ-ль
степени. 4. Чтобы извлечь из к.ч. корень n степени нужно извлечь корень из
модуля и (аргумент +2Пк)/n, где кЄZ. Придавая к разл-е знач-я, получ-т
серии повтор-ся знач-й, т.е. к=0,1,…n-1.
Вопрос 6.
Мн-ны от одной переменной.
Пусть А=(А,0,1,+,-,*) – обл-ть целостности. Построим с пом-ю его новое
комут-е кольцо A[x], основанное на мн-ве,, которое есть мн-во бесконечных
послед-й, облад-х св-м: в них лишь конечное число коэф-в ?0, т.е.
A[x]={(a0,a1,…)|a0,a1,…ЄA}, ai?0 конеч-е число. Такие посл-ти наз-ся
полиномами от 1 неиз-го. Равенство полиномов и операции над ними опре-ся
так: 1. (a0,a1,…)=(b0,b1,…) ( a0=b0 и a1=b1 и…. 2.
(a0,a1,…)+(b0,b1,…)=(a0+b0, a1+b1…). 3. (a0,a1,…)*(b0,b1,…)=(a0b0, a1b1…).
4. 0=(0,0,0,…). 5. 1=(1,0,0,…). 6. -(a0,a1,…)=(-a0, -a1…). Нетрудно
проверить: 1) с-а (A[x],0,+,-) аддитивная абелева группа, 2) с-а A[x],1,*)
– мультипликативный моноид, 3) + и * связаны дистрибутивным законом. С-а
A[x]=(A[x],0,1,+,-,*) – комут-е кольцо. Другой вид записи полинома:
f(x)=a0+a1x+a2x2+…+amxm. Слагаемые в записи f(x) наз-ся одночлекнами, а
f(x) наз-ся мн-м от 1 неизв-го. Эл-ы аЄА наз-ся мн-ми нулевой степени. Св-
ва. Пусть А – обл-ть целостности. Кольцо полиномов от 1 неизв-го
A[x]=(A[x],у, 1,+, -,*) – обл-ть целостности. => Если степень f(x)=n и
степень g(x)=m => степень f(x)g(x)=n+m. Пусть А – обл-ть целостности.
Делителем единицы кольца полиномов A[x] явл-ся делители единицы кольца А. В
обл-ти цел-ти A[x] других делителей единицы нет.
Рассм-м кольцо мн-на Р[x] над полем Р. Мы знаем, что Ґ числов-е поле явл-ся
обл-ю целостности с бескон-м числом эл-в. В кольце полиномов Р[х] теорема о
делении с остатком имеет место для Ґf(x), g(x)ЄP[x], что g(x)?0. Мн-н f(x)
делится на мн-н g(x)?0, если сущ-т мн-н n(x)ЄP[x], что f(x)=g(x)n(x).
Деление не всегда будет выполнимо в кольце Р[x]. Св-ва. 1. Ґf(x)ЄP[x],
f(x)|f(x). 2. f(x), g(x)ЄP[x], g(x)|f(x) и f(x)|g(x) => f(x) и g(x) ассоц-
ы, f(x)=cg(x), cЄP[x]. 3. g(x)|f(x) и ?(x)|g(x) => g(x)|(f(x)±?(x)). 4.
Если f1(x), f2(x),…, fk(x) делятся на g(x), для Ґc1, c2,…ckЄР, то сумма
[c1f1(x)+c2f2(x),…,ckfk(x)] делится на g(x). 5. Если g(x)|f1(x) =>
f1(x)f2(x)…fk(x) делится на g(x). 6. Если f1(x)|g(x),
f2(x)|g(x),…fk(x)|g(x) => g(x)|[ n1(x)f1(x)+ n2(x)f2(x)+…+nk(x)fk(x)],
ni(x), fi(x), gi(x)ЄP[x], i=1,2,…k. 7. Если n(x), f(x), g(x)ЄP[x] и
n(x)|f(x) и g(x)|n(x), то g(x)|f(x). 8. Мн-ны нулевой степени из Р[х] явл-
ся делителями Ґf(x)ЄP[x]. 9. Мн-ны cf(x), где с?0 и только они будут
делителями мн-на f(x) имеюш-ми такую же степень, что и f(x). 10. ҐДелитель
f(x), cf(x), c?0 будут делителями и для другого мн-на. Пусть Ґf(x),
g(x)ЄP[x]. Общим делителем мн-в f(x), g(x) явл-ся такой мн-н d(x)ЄP[x], что
d(x)|f(x) и d(x)|g(x). Нод(f(x), g(x)) наз-ся мн-н D(x) такой, что 1.
D(x)=ОД(f(x), g(x)), 2. d(x)|D(x), где d(x)=ҐОД(f(x), g(x)). Покажем, что
НОД сущ-т для Ґмн-в f(x), g(x)ЄP[x]?0. пусть степень f(x) ? степени g(x).
Делим f(x) на g(x) с остатком f(x)=g(x)q(x)+r1(x). Если r1(x)=0, тогда
НОД(f(x), g(x))=q(x). Если r1(x)?0, то степень r1(x)< степени g(x), но >0.
Делим g(x) на r1(x) с остатком g(x)=r1(x)q1(x)+r2(x). Если r2(x)?0, 0<
степень r2(x) < степень r1(x), делим r1(x) на r2(x) с ост-м
r1(x)=r2(x)q2(x)+r3(x). и т.д. Т.к. степень остатков понижается оставаясь
не отриц-й, то через конечное число шагов мы придем к остатку rk(x), на
который разделится предыд-й остаток. Этот процесс наз-ся Алгоритмом
Евклида. Итак, применяя алгор-м Евкл-а для мн-в f(x) и g(x) мы получили
совокупность f(x) = g(x)q(x)+r1(x), g(x) = r1(x)q1(x)+r2(x), r1(x) =
r2(x)q2(x)+r3(x) … rk-2(x) = rk-1(x)qk-1(x)+rk(x), rk-1(x) = rk(x)qk(x)
(1). Док-м, что послед-й ?0 остаток rk(x) в алгоритме Евк-а явл-ся НОД.
Будем рассм-ть (1) снизу вверх: rk(x)|?k-1(x), rk(x)|?k(x) и ?k(x)|?k-1(x)
=> rk(x)|rk-2(x)…, rk(x)|rk-2(x) и rk(x)|r1(x) => rk(x)|g(x), rk(x)|r1(x) и
rk(x)|g(x) => rk(x)|f(x). Получим, что rk(x)|f(x) и ?k(x)|g(x) => ?k(x)=
ОД(f(x),g(x)). Покажем, что rk(x)=НОД(f(x), g(x)). Пусть n(x) - Ґдругой
ОД(f(x), g(x)). Рассм-м (1) сверху вниз: n(x)|f(x) и n(x)|g(x) =>
n(x)|r1(x), n(x)|g(x) и n(x)|r1(x) => n(x)|r2(x), n(x)|r1(x) и n(x)|r2(x)
=> n(x)|r3(x)… n(x)|rk-2(x) и n(x)|rk-1(x) => n(x)|rk(x). Получили:
n(x)|rk(x)=ОД(f(x), g(x)) => rk(x)=НОД(f(x), g(x)). Итак, мы док-ли, что
последний ?0 остаток в алгор-е Евклида явл-ся НОД для мн-в f(x) и g(x).
Нетрудно убелиться, что НОД мн-в f(x) и g(x) явл-ся ! с точностью до мн-ля
нулевой степени. Действительно, пердположим, что D1(x)=НОД(f(x), g(x)) и
D2(x)=НОД(f(x), g(x)). Т.к. D1(x)=НОД(f(x), g(x)) => D2(x)|D1(x), а т.к.
D2(x)=НОД(f(x), g(x)), то имеем D1(x)|D2(x). Получим: D2(x)|D1(x) и
D1(x)|D2(x) => св-во 2 D1(x)=cD2(x). Алгоритм Евклида показываем, что если
f(x) и g(x) имеют оба рац-е коэф-ы или оба действ-е коэф-ы, то и коэф-ы их
НОД будут соотв-о или рац-ми, или дейст-ми. Если D(x)=НОД(f(x), g(x)), где
f(x), g(x)ЄP[x], то сущ-т ?(x), ?(x)ЄP[x], что f(x)?(x)+g(x)?(x)=D(x).
Обратимся к алгор-у Евклида для мн-на f(x) и g(x): f(x) = g(x)q(x)+r1(x),
g(x) = r1(x)q1(x)+r2(x), r1(x) = r2(x)q2(x)+r3(x) … rk-2(x) = rk-1(x)qk-
1(x)+rk(x), rk-1(x) = rk(x)qk(x). Перепишем все рав-ва алго-а Евклида,
кроме послед-го (1). Выразим остаток из каждого равенства r1(x)=f(x)-
g(x)q(x), r2(x)=g(x)-r1(x)q1(x), r3(x)=r1(x)-r2(x)q2(x)…rk(x)=rk-2(x)-rk-
1(x)qk-1(x) (1). Перепишем первое рав-во (1): r1(x)=f(x)*1+g(x)(-q(x)).
Обозначим ?1(x)=1, ?1(x)=-q(x), тогда имеем r1(x)=f(x)?1(x)+g(x)?1(x).
Теперь второе из (1): r2(x) = g(x)-r1(x)q1(x) = g(x)-(f(x),?1(x) +
g(x)?1(x)) q1(x) = g(x)-f(x)?1(x)q1(x)-g(x)?1(x)q1(x) = f(x)(-?1(x)q1(x)) +
g(x)(1-?1(x)q1(x)) = f(x)?2(x)+g(x)?2(x). r2(x) = f(x)?2(x)+g(x)?2(x).
Подставим полученное выражение для r1(x) и r2(x) в выражение для r3(x) из
(1). Получим, проделывая аналогичные преобразования r3(x)=
f(x)?3(x)+g(x)?3(x). и т.д. опускаясь ниже получим rk(x)=
f(x)?k(x)+g(x)?k(x). Как было док-но выше rk(x) явл-ся НОД мн-в f(x) и g(x)
, причем НОД определен с точностью до множ-ля нулевой сиепени. Умножая обе
части последнего равенства на с: crk(x)= f(x)(c?k(x))+g(x)(c?k(x)).
Вопрос 7.
Неприводимые над полем многочлены.
Мн-н f(x)ЄP[x] наз-ся неприводимым над полем Р, если он не разлагается в
произведение многоч-в положительной степени над полем Р. Мн-н наз-ся
приводимым над полем Р, если он разлагается в произведение мн-в положит-й
степени. Вопрос приводимости зависит от того поля, над которым мы его
рассматриваем. Н-р, 1)f(x)=x2-2 неприводим над полем Q, но приводим над
полем R. 2) f(x)=x2+1 неприводим над R, приводим над C. 3)?(x)=x+1 непривд-
м ни над одним числовым полем. Над полем ком-х чисел неприво-м только мн-ы
1-й степени. Над полем дейст-х чисел неприводимы мн-ны 1-й степени и
квадратный трехчлен, у которого дискр-т <0. Иначе в поле рац-х чисел. Здесь
Ґ n нат-го можно подобрать мн-н n-й степени неприводимого над полем Q рац-х
чисел. Критерий Эйзенштейна. Если для f(x)=a0xn+a1xn-1+…an-1x+an, f(x)ЄQ[x]
можно подобрать р – простое число, что 1) р|a0(черта) – не делится на р, 2)
все остальные коэф-ы делятся на р: p|a1, p|a2,…p|an 3) p|an, но p2|an(с
чертой) – не делится на р, то f(x) неприводима над полем Q. Если для мн-на
f(x) нельзя подобрать р простое число, чтобы вып-сь требование Эйз-на, то
мн-н может быть как приводимым, так и не приводимым над полем Q. Св-ва. 1.
p1(x), p2(x)ЄP[x] неприводимы над полем P и p2(x)|p1(x) => эти мн-ны отлич-
ся друг от друга множ-м нулевой степени. (Док-во. Т.к. p1(x) - неприводим,
то в p1(x) = p2(x)g(x) один из множ-й есть мног-н нулевой степени g(x)=c-
const. Т.о. p1(x) = p2(x)c. Мног-ны p1(x), p2(x) явл-ся ассоциированными.)
2. Ґf(x)ЄP[x], p(x)ЄP[x] – непривомн-н => либо f(x), p(x) взаимно просты,
либо p(x)|f(x). (Док-во. Т.к. p(x) неприводимый мн-н, то возм-ы 2 случая:1)
НОД(f(x),p(x))=c-const, тогда f(x), p(x) – взаимно просты. 2)
НОД(f(x),p(x))=D(x), где D(x)=cp(x), но тогда т.к. D(x)|f(x) => cp(x)|f(x)
=> p(x)|f(x)). 3) Если произ-е p(x)|f(x)g(x), где p(x), f(x), g(x)ЄP[x] и
p(x) – непривод-м над полем P, р(x)|f(x) или p(x)|g(x). Это св-во можно
распрост-ть и на случай произвольного числа множ-й.
Теорема. Ґ мн-н f(x)ЄP выше нулевой степени явл-ся неприводимым над полем Р
или разлагается в произведение неприводимых мн-в. f(x)=p1(x)p2(x)…pn(x)
(*), где pi(x) – неприводимые мн-ны над полем Р, i=1,2,…n, причем это
разложение явл-ся ! с точностью до порядка. Док-во. 1) Док-м возможность
представления (*). Пусть мн-н f(x) выше нулевой степени. Если f(x)
неприводим, то теорема док-на. Если f(x) приводим, то f(x)=f1(x)f2(x). Если
оба мн-на f1(x) и f2(x) неприводимы над полем Р, то теорема док-на, если
хотя бы 1 из них приводим над полем Р, то его разлагают в произведение множ-
й положит-й степени. и т.д. Этот процесс конечен, т.к. степень мн-й в
разложении f(x) уменьшается, оставаясь положит-ми и их может быть лишь
конечное число. Итак, в конце концов мн-н f(x) будет предст-н в виде
произвед-я непривод-х мн-й, т.е. в виде (*). 2) Док-м ! разложения мн-на
f(x) на непривод-е мн-ли. Пусть f(x) допускает 2 разложения:
f(x)=p1(x)p2(x)…pn(x) (1) и f(x)= q1(x)q2(x)…qn(x) (2). p1(x), …pn(x),
q1(x),…,qn(x) неприводимые над полем Р мн-ны. Левые части равны => равны и
правые части. p1(x)p2(x)…pn(x)=q1(x)q2(x)…qn(x) (3). Левая часть делится на
р1(х) => и правая часть делится. Т.к. р1(х) неприводим, то на р1(х)
разделится хотя бы один мн-ль правой части. Пусть р1(х)|q1(x). А т.к.
р1(х) и q1(x) неприво-ы и один из них дел-ся на другой, то они
ассоциированы, т.е. q1(x)=ср1(х). Подставляя это выр-е в (3) и сокращая обе
части на р1(х): p2(x)…pk(x)=c1q2(x)q3(x)…ql(x) (4). Аналогично расс-я
относительно p2(x) из (4): p3(x)…pk(x)=c1с2 q3(x)q4(x)…ql(x). И т.д.
утверждаем, что k=l. Предположим противное. Пусть k и через всю с-у столб-в матницы ?, т.е. справед-о (2). => Веркор
(?1,?2,…?n) – реш-е с-ы (1).
Метод Гаусса – м-д последов-го исключения неизв-х. Сводится к привед-ю с-ы
лин-х ур-й к ступен-у виду, при этом получ-ся с-а равнос-я данной. Если в
рез-те элем-х преоб-й получ-но ур-е с коэф-ми в левой части =0 , а своб-е
члены ?0, то с-а несовм-на. Если и своб-е члены =0, то это ур-е удаляется
из с-ы. С-а лин-х ур-й явл-ся опред-й, т.е. имеет ! реш-е, если ступ-я с-а
лин-х ур-й имеет треуг-й вид. В этом случ-е послед-е Ур-е с-ы содержит
только 1 неизв-ю. Если ступ-я с-а имеет вид трапеции, то с-а
неопределенная. Тогда в послед-м Ур-и с-ы несколько неизв-х (k V, ??(?)=?*xЄV, ?ЄP, xЄV.
С-а V – наз-ся век-м прост-м над полем Р, а эл-ы мн-ва V – векторами = a,
b,c,…x, y, если 1. (V, ?, +,-)- аддит-я абел-я группа, 2. (?*?)*a=?*(?*?),
Ґ?,?ЄP,aЄV. 3. (?+?)*a=?*a+?*a, Ґ?,?ЄP,aЄV. 4. ?*(a+b)=?*a+?*b,
Ґa,bЄV,Ґ?ЄP. 5. 1*a=a, Ґa. Например, ариф-е вект-е прост-во n мерных
векторов V=Pn, мн-во C- к.ч. есть век-е прост-во над полем R действ-х чисел
относ-о опер-й “+” к.ч. и “*” их на дейст-е число. Простейшие св-ва. Пусть
V=(V,?,+,-,??) – вектор-е прост-во. Р – поле скаляров. Ґa,bЄV, Ґ?, ?ЄP. 1.
a+b=a => b=0. 2. 0*?=?. 3. ?*?=?. 4. a+b=? => b=(-1)*a=-a. 5. ?*a=?*b ^ ??0
=>a=b. 6. ?*a=? => ?=0 или a=?. 7. ?*a=?*a ^ a?? => ?=?. Пусть V – вект-е
прост-во над Р, a1,a2,…amЄV, с-а вект-в a1,a2,…am наз-ся лин-о незав-й,
если ?1*a1+?2*a2*…?m am=? возм-но при всех коэф-х = 0. a1,a2,…am – лин-но
завис-ы, если ?1*a1+?2*a2*…?m am=? возм-но хотя бы при 1 коэф-е ?i?0. Вект-
е прост-во наз-ся конечномерны, если оно породж-ся конечным мн-м вект-в или
сущ-ют a1,a2,…amЄV, что V – лин-я оболочка порожд. этим мн-м
V=L(a1,a2,…am). Базисом (базой) конеч-го век-го прос-ва наз-ся непуст-я
конеч-я лин-но незав-я с-а векторов порожда-я это прост-во. ???не доконца.
Вопрос 12.
Линейные преобразования век-х прост-в.
Пусть u и v векторные простр-ва над полем Р. Отобр-е ?: u(v наз-ся лин-м
отображ-м или гомоморфизмом, если Ґа,bЄu,Ґ?ЄP: 1. ?(a+b)=?(a)+?(b). 2.
?(?a)=??(a). Если бы лин-е отоб-е u на v было бы биективным, то тогда его
наз-и бы изоморфизмом вект-х прост-в. Мн-во всех лин-х отображ-й прост-ва u
в v обозн-ся Hom(u,v). Св-ва. 1. Всякий лин-й опер-р ? в прост-ве v оставл-
т неподвижный нулевой вектор,т.е.?(?)= ?. 2. ?(-x)=-?(x). 3. Всякий лин-й
опре-р ? в прост-ве v переводит Ґ лин-ю комбин-ю произвольно выбранных вект-
в a1,a2,…am прост-ва V прост-ва в лин-ю комбин-ю образов этих вект-в,
причем с теми же самыми коэф-ми, т.е. ?(?1a1+?2a2+…?mam) =
?1?(a1)+?2(a2)+…+?m?(am). Док-во. Применим метод мат-й индукции. 1)
Проверим справ-ть при m=2. ?(?1a1+?2a2) = ?(?1a1)+?(?2a2) =
?1?(a1)+?2(a2). 2) Предположим справ-ть утвер-я для m-1 вектора, т.е.
?(?1a1+?2a2+…?m-1am-1) = ?1?(a1)+?2(a2)+…+?m-1?(am-1). 3) Док-м справ-ть
данного утвер-я для m век-а, т.е. ?(?1a1+?2a2+…+ ?m-1am-1+?mam) =
?[(?1a1+?2a2+…?m-1am-1)+ ?mam] = ?(?1a1+?2a2+…?m-1am-1) + ?(?mam) =
?1?(a1)+?2(a2)+…+?m-1?(am-1)+?m?(am). 4. Совокупность L всех образов ?(a)
вектора а вектор-го простр-ва v, получ-е при данном преоб-ии ?, есть
некоторое подпростр-во вект-го простр-ва v.
Пусть ? некоторая лин-я опре-я прос-ва vn. Выберем в прос-ве vn некот-й
базис e1,e2,…en. Тогда опре-р ? переводит век-ы базиса в векторы
?(e1),?(e2),…?(en). Каждый из этих век-в ! образом выраж-ся через век-ры
базиса: ?(e1) = ?11*e1+?21*e2+…+?n1*en, ?(e2) = ?12*e1+?22*e2+…+?n2*en,…
?(en) = ?1n*e1+?2n*e2+…+?nn*en. Матрица A?=
k–й столбец которой явл-ся коорд-ми
столбца век-ра ?(ek) относительно базиса e1,e2,…en, наз-ся матрицей лин-го
опрер-ра ? в базисе e1,e2,…en. Т.о. при фиксир-м базисе e1,e2,…en, каждому
лин-у опрер-у ? прост-ва vn соответ-т вполне опред-я матрица n–го порядка.
И наоборот, каждая матрица n–го пор-ка явл-ся матрицей некот-го вполне
опред-го лин-го опре-ра ? прост-ва vn в базисе e1,e2,…en.
Совокупность ?(vn) образов всех век-в прост-ва vn при действии оператора ?
наз-ся областью значений опер-ра ?. Размерность области значений ?(vn) наз-
ся рангом лин-го опер-а ?. Ядром линей-го опер-а ? прост-а Vn наз-ся
совокупность всех век-в прост-ва Vn отображ-ся операторов ? в нулевой
вектор т. Ker ?= {aЄVn|?(a)=т}. Размерность ядра Ker ? опер-ра ? прост-ва
Vn наз-ся дефектом этого опер-ра. Сумма ранга и дефекта лин-го опер-а ?
прост-ва Vn = размерности этого прост-ва. Если век-р b ?0 переводится
оператором ? в пропорц-й самому себе,т.е. ?(b) = ?0b, где ?0 – действ-е
число, то b наз-ся собст-м вектором опер-а ?, а ?0 собственным знач-м этого
опер-ра. Причем гов-т, что собст-й век-р b относ-я к собств-у знач-ю ?0.
Нулевой век-р не считается собственным для опер-ра . Матрица А-?Е, где Е
един-я матрица n пор-ка наз-ся харак-й матрицей матрицы А (по главной
диагонали от Эл-в «-«?). Многочлен n степени |А-?Е| наз-ся харак-м мног-м
матрицы А, а его корни, которые могут быть как компл-е так и действ-е, наз-
ся характер-ми корнями этой матрмцы. ?0ЄR был собств-м значением лин-го
опер-а ? ( ?0 было характ-м корнем опер-ра ?. Лин-е преоб-е наз-ся
невыроженным, если определитель матрицы А?0. Рассм-м преоб-е x1=y1,…xn=yn
(I). Это преоб-е наз-ся тождеств-м. Оно ведет себя точно также как число 1
при арифм-м умнож-и,т.е. (ҐS) S*I=I*S=S. Т.е. преоб-е I это нейтр-й эл-т
относ-о умнож-я преоб-я. Обратным преоб-м преобразованию S наз-ся преоб-е S-
1 такое, что S*S-1=S-1*S=I. Подпрост-во L явл-ся инвариантным относ-о преоб-
я ? пространства Vn, если образ Ґ век-ра из снова есть вектор L.
Вопрос 13.
Определители.
Опред-м (детерминантом) n-го порядка составл-м из n2 чисел матрицы А наз-ся
алгеб-я сумма всевозм-х членов, каждый из которых представл-т собой
произвед-е n эл-в, каждый из которых взят по 1 из каждой строки и столбца,
взятый со знаком (-1)t , где t число инверсий перестановки вторых индексов,
при усл-и, что первые индексы расположены в натуральном порядке. ?=?(-
1)ta1?a2?…an?, ?,?,…? n! перестан-к 1,2,…n. Правило Саррюса.
Св-ва опред-й. 1. Равноправность сторк и столбцов (транспонирование). 2.
Опред-ль n-го порядка, у которого 2 строки (2 столбца) одинаковы =0. 3.
Если все Эл-ты какого-либо столбца (строки) опред-ля n порядка * на одно и
то же число m, то и значение опред-я *m. 4. Если все Эл-ты какого-либо
столбца (строки) опред-я n-го пор-ка облад-т общим множителем, то его можно
вынести за знак опред-ля. 5. Опред-ль n-го пор-ка, у которого Эл-ты 2-х
строк (столбцов) соответ-о пропорциональны ,=0. 6. Если все Эл-ты k строки
(столбца) опред-я n-го пор-ка явл-ся суммой 2-х слагаемых, то такой опред-
ль = сумме 2-х опред-й n-го пор-ка. В одном из них k-я строка (столбец)
состоит из первых слаг-х, а в другом - из вторых слаг-х, все остальные
строки (столбцы) те же, что и в данном опред-е. 7. Если в опред-е какая-
либо строка есть линейная комбинация других строк, то такой опред-ль =0. 8.
Если к Эл-м какой-либо строки (столбца) опред-я n-го пор-ка прибавить
соответ-ие Эл-ты другой строки (столбца) умноженные на одно и то же число,
то значение опред-я не изменится. 9. Если поменять местами 2 строки
(столбца) в опред-е n-го пор-ка, то опред-ль сменит свой знак на
противоположный, а его абсол-я величина не изменится. Минором Мij Эл-та aij
опред-я n-го пор-ка наз-ся опрде-ль n-1 порядка, который получается из
опред-я вычеркиванием i строки и j столбца. Алгебаическим дополнением Aij
Эл-та aij наз-ся произ-е (-1)i+j*Mij.
Теорема. Какую бы строку (столбец) опред-я n пор-ка мы не взяли, значение
опред-я = сумме произв=й Эл=в этой строки (столбца) на их же алгеб-е
дополнения. ?=ai1Ai1+ ai2Ai2+…ainAin (i=1,2,…n)(1). ?=
a1jA1j+a2jA2j+…anjAnj (2). Док-во. В силу справ-ти строк и столбцов
ограничимся выводом разлож-я по строкам (1). 1) мы знаем, aijAij есть также
член опред-я, причем в опред-ль входит с тем же знаком, что и в это произв-
е. Т.о. Ґ слагаемое (1) состоит из членов опред-я. 2) Никакие 2 слагаемых в
(1) не содержат общих членов (всего Ґ слаг-й содержит (n-1)! членов).
Действительно, пусть aikAik и ailAil из (1) содержат общий член, тогда в
него будут входить мн-ли aik ,ail, чего не может быть, т.к. из i строки
взяты 2 эл-та. Итак (1) состоит из всех различных членов опред-я. 3)
ai1Ai1+ai2Ai2+…ainAin (3). Док-м, что (3) исчерпывает все члены опред-я,
т.е. Ґ член опред-я обязательно входит в (3). Рассм-м произв-е членов опред-
я: (4) a1?a2?…ai-1?aijai+1?…an?, ?,?,…? пробегают n! перестан-к чисел
1,2,…n. aija1?a2?…ai-1?ai+1?…an?, ?,?,…? пробегают n! перестан-к чисел
1,2,…n. Но произведение a1?a2?…ai-1?ai+1?…an?член минора Мij => входит в
алгеб-е доп-е Aij => член (4) входит в произвеление aijAij.+ 1) Если в
опред-е пор-ка все эл-ы I строки, кроме эл-а aij , =0, то такой опред-ль =
произв-ю его эл-та на его алгеб-е допол-е. 2) Если в опред-е n пор-ка все
эл-ты лежащие ниже главной диагонали =0, то опрд-ль = произв-ю диагональных
эл-в. 3) Сумма произведений эл-в какой-либо строки на алгеб-е дополнения
соответствующих эл-в другой строки = 0.
Формулы Крамера. Если ??0, то опред-ль имеет ! решение хn=?n/?.
Вопрос 14
Основ-ы св-ва срав-й. Приложение теории срав-й к выводу признаков
делимости.
Отнош-е сравним-ти в кольце цел-х чисел: 1 опр. a?b(mod m) ( m|(a-b). 2
опр. a?b(mod m) ( a=b+m*t, tЄZ. 3 опр. a?b(mod m)(a=m*q1+z ^ b=m*q2+r. Из
опр. 3 =>что сравнимые по (mod m) числа явл-ся равноостаточными при делении
на m. Док-во: 1) опр. 1(2. Пусть a?b (mod m) в смысле опр.1, т.е. m|(a-b)
=> сущ-т tЄZ, a=b+m*t, т.е. a?b(mod m) в смысле опр.2. Пусть a?b(mod m) в
смысле опр.2, т.е. a=b+m*t => a-b=m*t => m|(a-b), т.е. a?b(mod m) в смысле
опр.1. 2)Док-м, что опр.1(опр.2. Пусть a?b(mod m) в смысле опр.3, т.е.
a=m*q1+r ^ b=m*q2+r => a-b=m*(q1-q2), где q1-q2ЄZ => m|(a-b) => a?b(mod m)
в смысле опр.1. Пусть a?b(mod m) в смысле опр.1, т.е. m|(a-b). Пусть
a=m*q1+r1, b=m*q2, 0?r1r2. m|(a-
b) по усл. и m|m*(q1-q2) => m|(r1-r2). m|(r1-r2) и 0?r1-r2 r1-r2=0 =>
r1=r2, т.е. a?b(mod m) в смысле опр.3. т.к. отеош-е равнос. явл-ся эквивал-
ти, т.е. оно симмет-о, тран-о, рефл-о, то опр.1(опр.2 ( опр.3. Сл-е 1. Если
a=m*q+r, 0?r a?r(mod m). Сл-е 2. Если m|a => a=0(mod m). Сл-е 3. ҐtЄZ,
m*t?0(mod m). Св-ва срав-й: 1)Отнош-е сравнимости в Z явл-ся отнош-м эквив-
ти. 2)Сравнимые числа по mod m можно почленно складывать, вычитать. Док-во:
a1?b1(mod m) => a1=b1+m*t1, t1ЄZ. a2?b2(mod m) => a2=b2+m*t2, t2ЄZ.
a1±a2=(b1±b2)+m*(t1±t2) => ( по опр.2) (a1+a2)?(b1±b2)(mod m). Сл-е 1.Слаг-
е можно из одной части сравн-я переносить в др-ю, изменив знак на против-й.
2. К Ґ части сравн-я можно прибавить число кратное модулю. 3)Сравн-е числа
по mod m можно почл-о перем-ть. a1?b1(mod m) и a2?b2(mod m) => a1*a2?b1*b2
(mod m). Док-во: a1?b1(mod m) =>(по опр.2) a1=b1+m*t1, t1ЄZ. a2?b2(mod m)
=>(по опр.2) a2=b2+m*t2, t2ЄZ. a1*a2=b1*b2+m*(t1*b2+t2*b1+m*t1*t2) =>
a1*a2?b1*b2(mod m) tЄZ. Сл-е 1. a1?b1(mod m) и a2?b2(mod m) и … an?bn(mod
m) => a1*a2*…an=b1*b2*…bn(mod m). 2. a?b(mod m) => an?bn(mod m). ҐnЄN. 3.
a?b(mod m) => k*a?k*b(mod m), ҐkЄZ. 4. Выраж-я сост-е путем умнож-я, выч-я,
слож-я срав-х чисел, срав-ы между собой по тому же модулю. 5. f(x)=a0*xn+
a1*xn-1+…+ an-1*x+an, мн-н с цкл-ми коэф-ми Ґх1,х1,...ЄZ, тогда x1?x2(mod
m) => f(x1)?f(x2)(mod m). 6. В сравн-х по mod m числах можно замен-ть слаг-
е и множ-ли с сран-ми с ними числами. 4)На общий делитель взаим-о простой с
mod m можно разд-ть обе части сравнения, оставив mod без измен-я.
a*d=b*d(mod m) и НОД(d,m)=1 => a?b(mod m). Док-во. a*d=b*d(mod m)=> m|(a*d-
b*d) => m|d*(a-b). т.к. НОД(d,m)=1, то m|(a-b) => a?b(mod m). Замтим, что
если усл-е взаим-ной простоты не выпол-ся, то сокр-е обеих частей на одно и
то же число можно привести к нарушению срав-ти. 5)a*d?b*d(mod m*d) =>
a?b(mod m), dЄN. Док-во. a*d?b*d(mod m*d) => m*d|(a*d-b*d) => m*d|d*(a-b)
=> m|(a-b) => a?b(mod m). 6) a?b(mod m1) и a?b(mod m2) => a?b(mod[m1,m2]),
[m1,m2]=НОК(m1,m2). Признак дел-ть на 3. m=3. a=an10n+ an-110n-1+… a110+a0.
10?1(mod 3), 102?1(mod 3), 103?1(mod 3),… 10n?1(mod 3). R3=a0r0+ a1r1+…+
anrn= a0 *1+ a1 *1+ …+an 1= a0+ a1+…+an. 3|a (3|R3. Признак дел-ти на 11:
a=an10n+ an-110n-1+… a110+a0. r0=1. 10?-1(mod 11), 102?1(mod 11), 103?-
1(mod 11),… 10n?(-1)n(mod 11). a?R11(mod 11). R11=a0r0+ a1r1+…+ anrn= a0
-a1+ …+(-1)n an = (a0+ a2+…)-(a1+a3+…). 11|a (11|R11, т.е. число дел-ся на
11 ( на 11 дел-ся раз-ть суммы цифр числа стоящих на неч-й и чет-х местах.
Вопрос 15
Полная и приведенная с-а вычетов. Теор-а Эйлера и Ферма.
Все числа сравнимые с a по mod m объединим в одно мн-во, кот-е наз-м
классом-вычитов по mod m. Обозн-м ?={xЄ|x?a(mod m)}. Ґ предст-ль мн-ва ?
наз-м вычитом. Рассм-м класс вычитов по mod m: ?={xЄ|x?a(mod m)}. Т.к.
сравн-е числа,т.е. все числа Є-щие одному и тому же классу вычитов по mod m
имеют одинак-е ост-ки при делении на m, то и все различ-е классы вычитов
можно обоз-ть с пом-ю этих ост-в,т.к. при делении Z на m получ-ся m ост-в
0,1,…, m-1, то и мн-во Z распад-ся на m классов 0,1,...m-1 (с черт-ми).
Обоз-м мн-во всех классов-вычитов по mod m через Zm. Св-ва классов-вычитов:
1. ?={a+m*t|ҐtЄZ}. 2. xЄ? ^ xЄ? => ?=?. 3. ҐбЄ? => б(с чер-й)=?. 4. a?d(mod
m) => ???. 5. a?0(mod m) => aЄ0(чер-й). 6. a=m*q+r, 0?r из того, что соотв-е опре-и на этом мн-ве ком-ы, ассоц-ы и
св-я дист-м законом. Нетру-о пров-ть, что класс 0(с чер-й) нейтр-й Эл-т
относ-о «+», 1(с чер-й) нейтр-й эл-т относ-о «*». Т.о. мн-во Zm явл-ся
кольцом относ-о «+», «*» классов-вычитов по mod m и кольцо Zm=(Zm,0(с чер-
й), 1(с чер-й), +,-,*) наз-ся кольцом классов-вычитов по mod m. Т.к. число
классов-вычитов всегда конечно и =m,то все кольца конечны.
Если из Ґ класса-вычитов по mod m взять по одному представ-ю, то получ-я с-
а вычетов наз-я полной с-й вычитов по mod m. Н-р:1. полная с-а наим-х неот-
х вычитов по mod m Rm={0,1,2,..m-1}, пол-я с-а наим-х полож-х вычитов по
mod m Rm+={1,2,…m}, пол-я с-а абсолютно наим-х вычитов по mod m.
Ґ совокуп-ть m целых чисел х1, х2, …хm попарно не сравн-х между собой по
mod образ-т полную с-у вычитов по mod m.
(1-я теор-а). Если в лин-й форме а*х+b, где а и mзам-но просты, переем-я х
пробег-т все знач-я из полной с-ы вычитов по mod m, то и лин-я форма
пробегает все знач-я некот-й полной с-ы вычитов по mod m. Док-во. Пусть х={
х1, х2, …хm} произ-я полная с-а вычетов по mod m. Док-м, что с-а
x’={aх1+b1, aх2+b2, …aхm+bm} также полная с-а вычитов. С-а х’ содержит m
чисел(вычитов) и все эти вычеты попарно не сравнимы между собой. Допустим
противное: пусть axi+b?axj+b(mod m), 1?i, j?m, i?j. Тогда по св-ву срав-й
axi?axj(mod m). А т.к. НОД(a,m)=1 (по усл-ю), то xi?xj(mod m). Это привит к
тому, что xi ,xj входят в полную с-у вычитов по mod m, т.е. в Х. Итак, с-а
х’ состоит из m чисел и все они попарно не срав-ы между собой => х’ явл-ся
полной с=й вычитов по mod m.+
Если из Ґ класса взаимно простых с mod m взять по 1 предст-ю, то получ-ая
с-а чисел наз-ся привед-й с-й вычитов по mod m. Функцией Эйлера ?(m) наз-ся
число по mod m взамно простых с m или число нат-х чисел ?(p)=p-1. 2) m=p? => ?(m)=m(1-1/p). 3)
m=p1?1* p2?2 *…pk?k => ?(m)=m(1-1/p1) (1-1/p2) …(1-1/pk).
Признак прив-й с-ы. С-а чисел a1 ,a2…as (1) образует привед-ю с-у вычитов
по mod m, если: 1) s= ?(m); 2) числа из (1) попарно не сравнимые по mod
m,т.е ai не срав-ы с aj(mod m), i?j, i,j=1,2,..s; 3) НОД(ai,m)=1, i=1,2,…s.
(Док-во. В силу усл-я 3) числа с-ы (1) нах-ся в классах взаимно простых с
mod m, причем в силу усл-я 2) они лежат в разных классах. Т.к. число чисел
в с-е (1)= ?(m) и число классов взаимно простых с mod m=?(m), то всякое
число из (1) попадает в ! класс взаимно простых по mod m=> с-а (1) явл-ся
привед-й с-й вычитов.)
(2-я теорема) Если в лин-й форме ax, a и m взаимно просты, переменная х
пробегает все значения из приведенной с-ы вычитов по mod m, то и лин-я
форма ax пробегает все знач-я из некот-й привед-й с-ы вычитов. Док-во.
Пусть Х={x1,x2,..x?(m)} привед-я с-а вычитов по mod m. Тогад х’={ax1,
ax2,..ax?(m)} привед-я с-а вычитов по mod m. Проверим 3-е усл-е признака
привед-й с-ы: 1) в с-е х’ ?(m) чисел, т.к. вместо х мы можем подст-ть ?(m)
чисел; 2) Эти числа Є по mod m разным классам,т.к. вместо х берутся числа
из разных классов. В этом случае числа ax (даже ax+b) попарно не сравнимы
между собой по mod m.3) ax взаимно просты с mod m. НОД(a,m)=1 по усл-ю.
НОД(xi, m)=1, i=1,2… ?(m), т.к. xi взяты из привед-й с-ы вычитов.
НОД(axi,m)=1. i=1,2,… ?(m) => с-а х’ обр-т привед-ю с-у вычитов по mod m.
Теорема Эйлера. Если а и m взаимно просты, т.е. НОД(а,m)=1, то а?(m) ?1(mod
m). Док-во. Восп-ся теоремой: если в лин-ю форму ах вместо х будем подст-ть
вычиты из некот-й привед-й с-ы вычитов по mod m, то и лин-я форма пробегает
также все знач-я привед-й с-ы вычитов по mod m. Рассм-м привед-ю с-у наим-х
полож-х вычитов по mod m: r1,r2,…rk, k=?(m), тогда ar1,ar2,…ark - также
привед-я с-а вычитов. Ґ вычит последней с-ы заменим наим-м положит-м
вычитом. ar1?r1’(mod m), ar2?r2’(mod m)… ark?rk’(mod m). Перемножим:
ak(r1r2…rk)?r1’r2’…rk’(mod m) (1). Но r1r2…rk=r1’r2’…rk’. В левой и правой
частях стоит произв-е всех вычитов из привед-й с-ы наим-х полож-х вычитов.
Эти произв-я взаимно просты с mod m, т.к. Ґ множ-ль с mod m взаимно прост.
=> ak?1(mod m), т.к. k= ?(m) => а?(m) ?1(mod m)+
Теорема Ферма. Если m=p простое число и НОД(а,р)=1, то ар-1?1(mod m). Док-
во. Если m=p,то ?(p)=p-1, тогда по теор-е Эйлера ар-1?1(mod m).+ След-е.
Для ҐаЄZ, Ґp -простое число, ap?a(mod m).
Вопрос 16.
Бинарные отнош-я. Отнош-я экв-ти и разбиение на классы. Фактор мн-ва.
Прямое произведение 2-х мн-в: A*B={(a,b)|aЄA,bЄB}. Декартов квадрат
A*A={(a,b)|a,bЄA}=A2. Бинарное отнош-е, зад-е на паре мн-в A и B:
?[pic]A*B. Бинарное отнош-е, зад-е на мн-е A: ?[pic]A2.
Св-ва бин-х отнош-й: Пусть ? бин-я отнош-е опред-е на А, т.е. ?[pic]А2. 1.
? рефлек-о: (Ґ?ЄА) (а?а). 2. ? симмет-о: (Ґa,bЄA) (a?b => b?a). 3. транз-
ть: (Ґа,b,cЄA) (a?b ^ b?c => a?c). Бинарное отнош-е ? опред-е на мн-ве А
наз-ся отнош-м эквивал-ти, если оно реф-но, симмет-но и тран-но. Н-р: 1. А-
мн-во прямых на плос-ти, ? –отнош-е параллел-ти. 2. Отнош-е подбие фигур на
А точек пл-ти.
С-а S={A1,A2,…An} непустых подмн-в мн-ва А наз-ся разбиением мн-ва А на
классы, если ҐаЄА попад-т в ! подмн-во из системы S.Тогда –разбиение А на
классы, если вып-ся 1)Ai?Ш, i=1,2,…n 2) A1[pic] A2[pic]… An=A
3)Ai[pic]Aj=Ш, i?j.
Теорема. Ґ разбиению мн-ва А на классы соответствует отношение эквивал-ти.
Док-во. Пусть S={A1,A2,…An} разбиение мн-ва А. Определим на А бинар-е отнош-
е ? т.о.: а?b ( a,bЄAi (*). AiЄS. Покажем, что так опред-е отнош-е ? явл-ся
отнош-м экв-ти, т.е. оно рефл-о, сим-о, тран-о. 1)Из (*) => а?а, т.к. Ґ эл-
т нах-ся в 1 подмн-ве с самим собой. 2) Из (*) => b,aЄAi ( b?a. a?b =>
b?a.3)Пусть а?b ^ b?c => a,bЄAi^ b,cЄAj?Ш, что противоречит требованию
3)разбиения => Ai=Aj. A,bЄAi ^ b,cЄAi => a,cЄAi. а?b ^ b?c => a?c.+ Пусть ?
отношение эквив-ти опред-е на мн-ве А. Выберем в А все элы, нах-ся в отнош-
и ? с эл-ми а, образ-е из них мн-во обозн-м [a]. [a]={x|xЄA,x?a}. Мн-во [a]
наз-ся смежным классом мн-ва А по отнош-ю эквив-ти ?.
Теорема. Если ? отнош-е эквив-ти на мн-ве А, то с-а всех смежных классов мн-
ва А явл-ся разбиением мн-ва А.Док-во.Пусть ? отнош-е эквив-ти на А. Рассм-
м смежный класс ҐаЄА, [a]={x|xЄA,x?a}. Покажем, что с-а разлож-я смежных
классов обр-т разбиение мн-ва А. Т.к. ? рефлек-о, т.е. а?а => [a]? Ш.
Возьмем произв-й aЄA, aЄ[a] => aЄ[a][pic][b][pic][c][pic]…т.е.
А[pic][a][pic][b][pic][c][pic]…Т.к. [a][pic]A, [b][pic]A,
[c][pic]A…=>[a][pic][b][pic][c][pic]… [pic]A. Из этих 2-х включений =>
[a][pic][b][pic][c][pic]…=A. Покажем, что Ґa,bЄA, a?b(с чертой) =>
[a][pic][b]=Ш. Предположим: пусть [a][pic][b]?Ш => сущ-т сЄ[a] ^ cЄ[b] =>
a?c ^ c?b => но это противоречит усл-ю a?b(с чертой) => Ґa,bЄA, a?b(с
чертой) => [a][pic][b]=Ш.+ Мн-во всех смежных классов мн-ва А по отнош-ю
эквивал-ти наз-ся фактор-мн-во А по отнош-ю ?. Обозн. А|?.
Вопрос 17.
Группа. Прост-е св-ва групп. Подгруппы. Изоморфизмы гомомор-ы групп.
Если А?Ш, то n-мерной алгеб-й опре-й наз-ся «отношение Аn (А, т.е.
(?1,?2,…?n)(( ?1,?2,…?n)ЄAn. Алгеб-й с-й наз-ся не пустое мн-во А, на
котором опред-а совокуп-ть алгеб-х опер-й и отнош-й (А,[pic]f, [pic]p), где
А основное мн-во,[pic]f совокуп-ть алг-х опер-й, [pic]p совокуп-ть отнош-й.
Бинар-я опер-я (*) на мн-ве А наз-ся ассоц-й, если (Ґa,b,cЄA)
(a*b)*c=a*(b*c). Бин-я опер-я (*) опред-я на А наз-ся комут-й, если
(Ґa,bЄA) a*b=b*а. Полугруппой наз-ся с-а (А,*), сост-я из А?Ш и бин-й опер-
и (*) опре-й на А, кот-я ассоц-а. Если (*) доп-о комут-а, то полугр-а наз-
ся комут-й или абелевой. Моноидом наз-ся с-а (А,е,*), сост-я из А?Ш, выд-го
эл-та е и бин-й опер-и (*) опре-й на А, если выпол-ся 1) * - ассоц-а, 2) е
– нейт-й Эл-т относ-о *. Группой наз-ся с-а G=(G,e,*,’), где G?Ш, e - выд-й
эл-т, *- бинар-я опер-я, ' – унар-я опер-я, причем: 1)* ассоц-а, 2)e- нейт-
й эл-т относ-о *,т.е. (ҐaЄA) a*e=e*a=a, 3) (ҐaЄA) (сущ-т a’ЄG) a*a'=a'*a=e.
Если * ком-а, то группа абелева. Если * в группе обозн-ть «+», то имеем
аддит-ю группу, нейт-й Эл-т – «0», симмет-й для а: (-а)- против-й. Если *
обоз-м *(точка), то имеем мультип-ю группу. Св-ва групп. 1) Всякая группа
имеет ! нейтр-й эл-т. Док-во. Всякая группа явл-ся моноидом, а в моноиде
нейт-й эл-т !. 2) Ґэл-та аЄG сущ-т ! симмет-й Эл-т. 3) (Ґa,bЄG) a*x=b (1) и
x*a=b (2) одноз-но раз-ы. Док-во. 1. Рассм-м (1). x0 – реш-е (1),т.е.
a*x0=b. x0=е*x0=(a’*a)*x0=a’*(a*x0)=a’*b. x0=a’*b. Этот Эл-т опре-й одно-о,
т.к. Ґa одноз-о опред-н a’ и * есть отоб-е. *:A2(А, т.е. (a’,b)ЄA2. Одно-м
соотв-т Эл-т из мн-ва А. В данном случае x0. (a’,b)(x0. Ур-е a*x=b имеет !
реш-е x0=a’*b. 2.Рассм-м (2). (x*a)*a’=b*a’. x*(a*a’)=b*a’. x*e=b*a’. 4) В
группе имеет место правило сокр-я a*c=b*c => a=b. c*a=c*b =>a=b 5)
(a*b)’=b’*a’. 6) (а’)’=a.
Подмн-во А группы G наз-ся подгруппой этой группы, если оно само явл-ся
группой относ-но установ-й на G опер-и. Чтобы установить явл-ся ли подмн-во
А группы G группой нужно проверить 2 усл-я: для мульт-й группы: 1. Ґa,bЄA
=> abЄA 2. ҐaЄA => a-1ЄA.; для аддит-й группы: 1. Ґa,bЄA => a+bЄA 2. ҐaЄA
=> -aЄA. Группа G и G’ наз-ся изоморфными, если можно установить взаимно
одноз-е отобр-е ?: G ( G’, G=(G,e,*,’), G’=(G’,e’,*,’), при котором
?(a*b)=?(a)*?(b). Группа G наз-ся циклич-й, если все ее Эл-ы могут быть
предст-ы в виде целых степеней некоторого ее Эл-та а. Этот Эл-т наз-ся
образующим Эл-м.
Произ-е хА, ҐхЄG, A n=kj => n|k.+
Вопрос 18.
Кольца и поля.
Кольцом наз-ся с-а А=(А,0,1,+,-,*), А?Ш, 0,1 –выд-е Эл-ты, +,* бинар-е опре-
и, - унар-я опер-я, если 1) (А,0,+,-) аддит-я абел-я группа, 2) (А,1,*)
мульт-й моноид, 3) a(b+c)=ab+ac, (b+c)a=ba+ca, Ґa,b,cЄA. Кольцом наз-ся
числ. множ., на котором выполняются три опер-и: слож-е, умнож-е, вычит-е.
Св-ва колец. 1). A+b=a => b=0. 2) a+b=0 => b=-a. 3) a*0=0*a=0. Док-во.
a*0+ab=a(0+b)=ab. a0+ab = ab => a0 = 0. 0a+ba = a(0+b) = ba. 0a+ba = ba =>
0a = 0. 4) a(-b) = (-a)b = -ab. Док-во. a(-b)+ab = a(-b+b) = a0=0. a(-b)+ab
= 0 => a(-b) = -ab. 5) (-a)(-b) = ab. Док-во. (-a)(-b) = (-a)(-b)+0 = (-a)(-
b)+a(-b)+ab = ((-a)(-b)+a(-b))+ab = (-a+a)(-b)+ab = 0(-b)+ab = 0+ab = a(-
b)+ab = 0 => a(-b) = -ab. 6) a(b-c) = ab-ac. Док-во. a(b-c) = a(b+(-c)) =
ab+a(-c) = ab-ac. Полем наз-ся коммут-е кольцо, в котором 0?1 для Ґ Эл-та
а?0 сущ-т обратный Эл-т. Р(Р,0,1,+,-,*) – поле, если 1) (Р,0,1,+,-,*) комут-
е кольцо 0?1. 2) ҐаЄЗ, а?0 сущ-т а-1ЄР. Если Р – числовое мн-во, то для
поля можно дать опред-е. Эл-ты a,bЄA, где А кольцо, наз-ся делителями нуля
в кольце, если a?0, b?0, но ab=0.
Полем наз. числ множ. на котором выполняются 4 операции: слож, умнож,
вычит, деление (кроме деления на 0). Св-ва полей. 1. ab = 1 => a?0,b = a-1.
2. ac = bc ^ c?0 => a = b. 3. ab = 0 => a = 0 или b = 0. 4. a?0 ^ b?0 =>
ab?0 , a/b = ab-1. 5. a/b = c/d ( ad = bc. 6. a/b±c/d = (ad±bc)/bd. 7.
(a/b)*(c/d) = (ac)/(bd). 8. a/b = (ac)/(bc), c?0. 9. a/b+(-a/b) = 0. 10.
(a/b)*(b/a) = 1.
