Дзета-функция Римана
Работа из раздела: «
Математика»
Министерство образования Российской Федерации
Ставропольский Государственный университет
Кафедра математического анализа
Курсовая работа на тему :
«Дзета-функция Римана»
Выполнил: студент 2го курса ФМФ
группы «Б» Симонян Сергей
Олегович
Ставрополь, 2004 г.
Введение.
Функция – одно из основных понятий во всех естественнонаучных
дисциплинах. Не случайно ещё в средней школе дети получают интуитивное
представление об этом понятии. Со школьной скамьи наш багаж знаний
пополняется сведениями о таких функциях как линейная, квадратичная,
степенная, показательная, тригонометрические и других. В курсе высшей
математики круг известных функций значительно расширяется. Сюда добавляются
интегральные и гиперболические функции, эйлеровы интегралы (гамма- и бета-
функции), тета-функции, функции Якоби и многие другие.
Что же такое функция? Строгого определения для неё не существует. Это
понятие является в математике первичным, аксиоматизируется. Однако, под
функцией понимают закон, правило, по которому каждому элементу какого-то
множества X ставится в соответствие один или несколько элементов множества
Y. Элементы множества X называются аргументами, а множества Y – значениями
функции. Если каждому аргументу соответствует одно значение, функция
называется однозначной, если более одного – то многозначной. Синонимом
функции является термин «отображение». В простейшем случае множество X
может быть подмножеством поля действительных R или комплексных C чисел.
Тогда функция называется числовой. Нам будут встречаться только такие
отображения.
Функции могут быть заданы многими различными способами: словесным,
графическим, с помощью формулы. Функция, которую мы будем рассматривать в
этой работе, задаётся через бесконечный ряд. Но, несмотря на такое
нестандартное определение, по своему представлению в виде ряда она может
быть хорошо изучена методами теории рядов и плодотворно применена к
различным теоретическим и прикладным вопросам математики и смежных с ней
наук.
Конечно же, речь идёт о знаменитой дзета-функции Римана, имеющей
широчайшие применения в теории чисел. Впервые ввёл её в науку великий
швейцарский математик и механик Леонард Эйлер и получил многие её свойства.
Далее активно занимался изучением дзета-функции немецкий математик Бернгард
Риман. В честь него она получила своё название, так как он опубликовал
несколько исключительно выдающихся работ, посвящённых этой функции. В них
он распространил дзета-функцию на область комплексных чисел, нашёл её
аналитическое продолжение, исследовал количество простых чисел, меньших
заданного числа, дал точную формулу для нахождения этого числа с участием
функции [pic] и высказал свою гипотезу о нулях дзета-функции, над
доказательством или опровержением которой безрезультатно бьются лучшие умы
человечества уже почти 150 лет.
Научная общественность считала и считает решение этой проблемы одной
из приоритетных задач. Так Давид Гильберт, выступавший на Международной
Парижской математической конференции 1900 году с подведением итогов
развития науки и рассмотрением планов на будущее, включил гипотезу Римана в
список 23 проблем, подлежащих решению в новом столетии и способных
продвинуть науку далеко вперёд. А на рубеже веков, в 2000 году американский
The Clay Mathematics Institute назвал семь задач, за решение каждой из
которых будет выплачен 1 миллион долларов. В их число также попала гипотеза
Римана.
Таким образом, даже бы поверхностное знакомство с дзета-функцией будет
и интересным, и полезным.
Глава 1.
Итак, приступим к изучению этой важной и интересной дзета-функции
Римана. В данной главе мы получим некоторые свойства функции в вещественной
области, исходя из её определения с помощью ряда.
Определение. Дзета-функцией Римана ?(s) называют функцию, которая
любому действительному числу s ставит в соответствие сумму ряда
[pic]
(1)
если она существует.
Основной характеристикой любой функции является область определения.
Найдём её для нашей функции.
Пусть сначала s?0, тогда s=-t, где t принадлежит множеству
неотрицательных действительных чисел R+[pic]{0}. В этом случае [pic] и ряд
(1) обращается в ряд [pic], который, очевидно, расходится как при t>0, так
и при t=0. То есть значения s?0 не входят в область определения функции.
Теперь пусть s>0. Для исследования сходимости ряда (1) воспользуемся
интегральным признаком Коши. При каждом s рассмотрим функцию [pic], где
[pic], которая является на промежутке непрерывной, положительной и
монотонно убывающей. Возникает три различных возможности:
1) 01. В этом случае [pic]
[pic]. Ряд (1) сходится.
Обобщив результаты, находим, что область определения дзета-функции
есть промежуток [pic]. На этом промежутке функция оказывается непрерывной и
дифференцируемой бесконечное число раз.
Докажем непрерывность функции ?(s) на области определения. Возьмём
произвольное число s0>1. Перепишем ряд (1) в виде [pic]. Как было выше
показано, ряд [pic] сходится, а функции [pic] при s>s0 монотонно убывают и
все вместе ограничены единицей. Значит, по признаку Абеля для s>s0 ряд (1)
сходится равномерно. Используя теорему о непрерывности суммы
функционального ряда, получаем, что в любой точке s>s0 дзета-функция
непрерывна. Ввиду произвольности s0 ?(s) непрерывна на всей области
определения.
Теперь почленным дифференцированием ряда (1), пока формально, найдём
производную дзета-функции Римана:
[pic]
(2).
Чтобы оправдать этот результат, достаточно удостовериться в том, что ряд
(2) равномерно сходится на промежутке [pic] и воспользоваться теоремой о
дифференцировании рядов. Используем тот же приём. Зафиксируем любое s0>1 и
представим ряд (2) в виде [pic] для s>s0. Множители [pic], начиная с n=2,
монотонно убывают, оставаясь ограниченными числом ln 2. Поэтому по признаку
Абеля ряд (2) сходится равномерно при s>s0, а значит и при любом s>1. Какое
бы значение s>1 ни взять его можно заключить между [pic] и [pic], где
[pic], а [pic]; к промежутку [pic] применима вышеуказанная теорема.
Таким же путём можно убедиться в существовании для дзета-функции
производных всех порядков и получить их выражения в виде рядов:
[pic].
Попытаемся построить наглядное изображение функции в виде графика. Для
этого изучим сначала её поведение на бесконечности и в окрестности точки
s=1.
В первом случае, ввиду равномерной сходимости ряда (1), по теореме о
почленном переходе к пределу, имеем [pic]. При n=1 предел равен единице,
остальные пределы равны нулю. Поэтому [pic].
Чтобы исследовать случай [pic], докажем некоторые вспомогательные
оценки.
Во-первых, известно, что если для ряда [pic] существует непрерывная,
положительная, монотонно убывающая функция [pic], определённая на множестве
[pic], такая, что [pic], и имеет первообразную [pic], то остаток ряда
оценивается так: [pic], где [pic]. Применяя вышесказанное к ряду
(1), найдём, что необходимая функция
[pic], а [pic] и [pic]. Отсюда, подставляя в двойное неравенство, имеем
[pic] (3).
В левом неравенстве положим n=0, тогда [pic], то есть [pic]. В правом же
возьмём n=1 и получим [pic], далее [pic], [pic] и, наконец, [pic]. Переходя
в неравенствах [pic] к пределу при [pic], находим [pic].
Отсюда, в частности, следует, что [pic]. Действительно, положим [pic].
Тогда [pic], то есть [pic] [pic]. Поэтому [pic]. Из того, что [pic], а
[pic], вытекает доказываемое утверждение.
Можно, однако, получить ещё более точный результат для оценки
поведения дзета-функции в окрестности единицы, чем приведённые выше,
принадлежащий Дирихле. Будем отталкиваться от очевидного при произвольном n
равенства [pic]. Прибавим ко всем частям неравенств (3) сумму [pic] и
вычтем [pic]. Имеем [pic]. Пусть здесь s стремится к единице. По правилу
Лопиталя легко вычислить [pic] и [pic]. Мы пока не знаем, существует ли
предел выражения [pic] при [pic], поэтому, воспользовавшись наибольшим и
наименьшим пределами, напишем неравенства так: [pic]
[pic]. Ввиду произвольности n возьмём [pic]. Первое и последнее выражения
стремятся к эйлеровой постоянной C (C[pic]0,577). Значит [pic], а,
следовательно, существует и обычный предел и [pic].
Найденные выше пределы позволяют получить лишь приблизительное
представление о виде графика дзета-функции. Сейчас мы выведем формулу,
которая даст возможность нанести на координатную плоскость конкретные
точки, а именно, определим значения [pic], где k – натуральное число.
Возьмём известное разложение [pic], где [pic] - знаменитые числа
Бернулли (по сути, через него эти числа и определяются). Перенесём
слагаемое [pic] в левую часть равенства. Слева получаем [pic]
[pic]cth[pic], а в правой части - [pic], то есть [pic]cth[pic]. Заменяем
[pic] на [pic], получаем [pic]cth[pic].
С другой стороны, существует равенство cth[pic], из которого
[pic]cth[pic]. Подстановкой [pic] вместо [pic] находим [pic]cth[pic] [pic].
Если [pic], то для любого [pic]N [pic] [pic] и по теореме о сложении
бесконечного множества степенных рядов [pic]cth[pic] [pic].
Приравняем полученные разложения: [pic]
[pic], следовательно [pic]. Отсюда немедленно следует искомая формула
[pic]
(4), где [pic] - k-е число Бернулли. Она удобна тем,
что эти числа хорошо изучены и для них составлены обширные таблицы.
Теперь, исходя из полученных результатов, можно построить эскиз
графика дзета-функции Римана, достаточно хорошо отражающий её поведение на
всей области определения.
[pic]
Леонард Эйлер, впервые рассмотревший дзета-функцию, получил
замечательное разложение её в бесконечное произведение, которое иногда тоже
принимают за определение:
[pic], где pi – i-е простое число
(4).
Докажем тождественность ряда (1) и произведения (4). Вспомнив формулу
суммы геометрической прогрессии, получаем равенство [pic]
[pic] Если перемножить конечное число таких рядов, отвечающих всем простым
числам, не превосходящим заданного натурального числа N, то получившееся
частичное произведение окажется равным [pic], где символ *
означает, что суммирование распространяется не на все натуральные
числа, а лишь на те из них (не считая единицы), которые в своём разложении
содержат только простые числа меньшие N. Так как первые N натуральных чисел
этим свойством обладают, то
[pic]
(5).
Сумма [pic] содержит не все числа, большие N+1, поэтому, очевидно, [pic].
Из (5) получаем
[pic]
(6).
Ввиду сходимости ряда (1), выражение справа, представляющее его остаток
после N-го члена, стремится к нулю при N стремящимся к бесконечности, а
[pic] есть произведение (4). Значит из неравенства при [pic] [pic], что и
требовалось доказать.
Формула (4) важна потому, что она связывает натуральный ряд,
представленный множеством значений аргумента дзета-функции, со множеством
простых чисел. Ещё один шаг в этом направлении мы сделаем, оценив [pic], а
именно показав, что [pic], где [pic] остаётся ограниченным при [pic].
Из (4) следует, что [pic], где [pic]N, а [pic] при [pic]. Возьмём
логарифм от обеих частей равенства, тогда [pic] [pic]. Натуральные
логарифмы под знаком суммы разлагаются в ряд: [pic] [pic]. Подставив
полученные разложения в равенство и устремив N к бесконечности, имеем
[pic]. Остаётся доказать ограниченность последнего слагаемого. Ясно, что
[pic]. Последнее равенство справедливо, так как [pic] [pic]. Далее,
очевидно, [pic], что и завершает доказательство.
На этом закончим изложение свойств дзета-функции Римана для
действительного аргумента, так как наибольший теоретический и прикладной
интерес представляет случай изложенный во второй главе.
Глава 2.
Все результаты первой главы, касающиеся дзета-функции Римана, были
получены в предположении, что её аргумент s – действительное число. Однако,
самые выдающиеся исследования и многочисленные важные приложения стали
возможны лишь после включения в область определения функции комплексных
чисел. Впервые рассмотрел дзета-функцию как функцию мнимого аргумента
немецкий математик Бернгард Риман, глубоко изучивший её свойства и широко
применявший её в теории чисел. В честь него функция получила своё название.
Для комплексной дзета-функции остаётся в силе определение, данное в
главе 1, с тем лишь изменением, что теперь там будет [pic]C. Возникает
необходимость найти новую область определения. С этой целью докажем
следующее утверждение: в полуплоскости [pic] ([pic] действительная часть
числа x) ряд
[pic]
(1) сходится абсолютно.
Пусть [pic]. Подсчитаем абсолютные величины членов ряда (1), [pic].
Первый множитель содержит только вещественные числа и [pic], так как [pic].
Ко второму же множителю применим знаменитую формулу Эйлера, получим
[pic][pic]. Значит, [pic]. Ввиду сходимости ряда [pic] при ?>1, имеем
абсолютную сходимость ряда (1).
На своей области определения дзета-функция аналитична. Действительно,
при всяком q>0 и фиксированном ?>1+q, числовой ряд [pic] мажорирует ряд из
абсолютных величин [pic], где [pic], откуда, по теореме Вейерштрасса,
следует равномерная сходимость ряда в полуплоскости [pic]. Сумма же
равномерно сходящегося ряда из аналитических функций сама является
аналитической функцией.
Нетрудно показать, что все полученные для дзета-функции формулы без
изменений переносятся на случай комплексного аргумента. Доказательства
претерпевают незначительные преобразования, связанные с переходом к
абсолютным величинам.
В связи с этим замечанием становится возможным использовать разложение
дзета-функции в произведение [pic], где s теперь любое комплексное число,
такое, что [pic]. Применим его к доказательству отсутствия у функции [pic]
корней.
Оценим величину [pic], используя свойство модуля [pic]: [pic], где как
обычно [pic]. Так как [pic], то [pic], а [pic], следовательно, дзета-
функция в нуль не обращается.
Вопрос о нулях дзета-функции, а также другие прикладные вопросы
получают новые широкие возможности для исследования, если распространить её
на всю комплексную плоскость. Поэтому, сейчас мы одним из многих возможных
способов найдём аналитическое продолжение дзета-функции и выведем её
функциональное уравнение, характеризующее и однозначно определяющее [pic].
Для этого нам понадобится формула
[pic] (2), которая выводится следующим образом. Используя свойства
интегралов можно записать [pic]. Для любого d при [pic] [pic], значит
[pic] и [pic], а [pic]. [pic]. Следовательно, [pic] [pic] [pic][pic][pic].
Интеграл [pic] можно найти интегрированием по частям, принимая [pic],
[pic]; тогда [pic], а [pic]. В результате [pic] [pic]. Вычтем из этого
интеграла предыдущий и получим [pic], отсюда легко следует равенство (2).
Теперь положим в (2) [pic], [pic], a и b – целые положительные числа.
Тогда [pic] [pic]. Пусть сначала [pic], примем a=1, а b устремим к
бесконечности. Получим [pic]. Прибавим по единице в обе части равенств:
[pic]
(3).
Выражение [pic] является ограниченным, так как [pic], а функция [pic]
абсолютно интегрируема на промежутке [pic] при [pic], то есть при [pic],
[pic]. Значит, интеграл [pic] абсолютно сходится при [pic], причём
равномерно в любой конечной области, лежащей в комплексной плоскости справа
от прямой [pic]. Тем самым он определяет аналитическую функцию переменной
s, регулярную при [pic]. Поэтому правая часть равенства (3) представляет
собой аналитическое продолжение дзета-функции на полуплоскость [pic] и
имеет там лишь один простой полюс в точке [pic] с вычетом, равным единице.
Для [pic] можно преобразовать выражение (3) дзета-функции. При [pic]
имеем [pic], значит, [pic] и[pic]. Теперь при [pic] (3) может быть записано
в виде [pic].
Немного более сложными рассуждениями можно установить, что в
действительности (3) даёт аналитическое продолжение дзета-функции на
полуплоскость [pic]. Положим [pic], а [pic], то есть [pic] первообразная
для [pic]. [pic] ограничена, так как [pic], а интеграл [pic] [pic] и [pic]
[pic] ограничен из-за того, что [pic]. Рассмотрим интеграл [pic] при x1>x2
и [pic]. Проинтегрируем его по частям, приняв [pic], [pic], тогда [pic], а
по указанному выше утверждению [pic]. Получаем [pic] [pic]. Возьмём [pic],
а [pic]. Имеем [pic], [pic], потому что [pic] является ограниченной
функцией. Значит,
[pic]
(4).
Пользуясь абсолютной сходимостью интеграла [pic], если [pic], и
ограниченностью функции [pic], делаем вывод, что в левой части равенства
(4) интеграл тоже сходится при [pic]. Значит формулой (3) можно продолжить
дзета-функцию и на полуплоскость правее прямой [pic].
Нетрудно установить, что для отрицательных [pic] [pic], поэтому из (3)
имеем
[pic]
(5) при [pic].
Из теории рядов Фурье известно, что для нецелых значений x справедливо
разложение в ряд
[pic]
(6).
Подставим его в равенство (5) и проинтегрируем ряд почленно:
[pic]. Сделаем в полученном интеграле подстановку [pic], отсюда следует
[pic], а [pic], и получим далее [pic]. Известно, что [pic] [pic], значит
[pic] [pic]. Из известного соотношения для гамма-функции [pic], по формуле
дополнения [pic], следовательно [pic] [pic]
Итак, мы получили функциональное уравнение дзета-функции Римана
[pic]
(7),
которое само по себе может служить средством изучения этой функции, так как
вполне характеризует её, в том смысле, что любая другая функция [pic],
удовлетворяющая равенству (7), а также ещё некоторым естественным условиям,
тождественна с [pic].
Пока, правда, как следует из рассуждений, мы доказали формулу (7) для
[pic]. Однако правая часть этого равенства является аналитической функцией
s и при [pic]. Это показывает, что дзета-функция может быть аналитически
продолжена на всю комплексную плоскость, причём не имеет на ней никаких
особенностей, кроме упоминавшегося полюса при [pic].
Чтобы доказательство было строгим, мы должны ещё обосновать почленное
интегрирование. Поскольку ряд (6) сходится почти всюду и его частичные
суммы остаются ограниченными, почленное интегрирование на любом конечном
отрезке допустимо. Ввиду [pic] [pic] для любого [pic], остаётся доказать,
что [pic] [pic] при [pic]. Но интегрируя внутренний интеграл по частям
имеем [pic]
[pic]. Отсюда без труда получается наше утверждение.
Функциональное уравнение дзета-функции (7) может быть записано многими
способами. Например, заменим s на 1-s, получаем равносильное равенство
[pic]
(8). Из него можно получить два небольших следствия.
Подставим в (8) вместо s число 2m, где m – натуральное число. Имеем
[pic]. По формуле (4) первой главы [pic] [pic], а [pic], поэтому [pic] и
произведя в правой части все сокращения, учитывая, что [pic], получим
[pic].
Покажем ещё, что [pic]. Для этого прологарифмируем равенство (8):
[pic] [pic] и результат продифференцируем [pic] [pic]. В окрестности точки
s=1 [pic], [pic] [pic], [pic], где С – постоянная Эйлера, а k –
произвольная постоянная. Следовательно, устремляя s к единице, получим
[pic], то есть [pic]. Опять из формулы (4) главы 1 при k=0 [pic], значит,
действительно, [pic].
Глава 3.
Как уже было сказано, дзета-функция Римана широко применяется в
математическом анализе. Однако наиболее полно важность её выявляется в
теории чисел, где она оказывает неоценимую помощь в изучении распределения
простых чисел в натуральном ряду. К сожалению, рассказ о серьезных и
нетривиальных применениях дзета-функции Римана выходит за рамки этой
работы. Но чтобы хотя бы немного представить мощь этой функции, докажем с
её помощью несколько интересных утверждений.
Например, известно, что простых чисел бесконечно много. Самое
знаменитое элементарное доказательство принадлежит Евклиду. Оно состоит в
следующем. Предположим, что существует конечное число простых чисел,
обозначим их p1, p2, … , pn. Рассмотрим число p1p2…pn+1, оно не делится ни
на одно из простых и не совпадает ни с одним из них, то есть является
простым числом, отличным от вышеуказанных, что противоречит предположению.
Значит, количество простых чисел не может быть конечным.
Другое доказательство этого факта, использующее дзета-функцию, было
дано Эйлером. Рассмотрим данное в первой главе равенство (5) при s=1,
получим [pic], отсюда [pic] и ввиду расходимости гармонического ряда, имеем
при [pic]
[pic]
(1). Если бы количество простых чисел было
конечным, то и это произведение имело конечное значение. Однако, полученный
результат свидетельствует об обратном. Доказательство завершено.
Теперь перепишем (1) в виде [pic]. Опираясь на теорему о сходимости
бесконечного произведения, из расходимости предыдущего делаем вывод, что
ряд [pic] расходится. Это предложение даёт некоторую характеристику роста
простых чисел. Подчеркнём, что оно гораздо сильнее утверждения о
расходимости гармонического ряда, так как здесь речь идёт лишь о части его
членов, тем более что в натуральном ряде имеются сколь угодно длинные
промежутки без простых чисел, например: [pic], [pic], … , [pic].
Несмотря на свою простоту приведённые выше предложения важны в
концептуальном плане, так как они начинают череду исследований всё более и
более глубоких свойств ряда простых чисел, которая продолжается по сей
день. Первоначально, основной целью изучения дзета-функции как раз и было
исследование функции [pic], то есть количества простых чисел не
превосходящих x. В качестве примера формулы, связывающей [pic] и [pic], мы
сейчас получим равенство
[pic]
(2).
Сначала воспользуемся разложением дзета-функции в произведение: [pic].
Из логарифмического ряда [pic], учитывая, что [pic], приходим к ряду [pic]
[pic]. Значит, [pic].
Теперь вычислим интеграл в правой части (2). Так как при [pic] [pic],
то [pic]. Во внутреннем интеграле положим [pic], тогда [pic] и [pic],
отсюда [pic].В промежутке интегрирования [pic], поэтому верно разложение
[pic] и [pic] [pic]. Получаем [pic] [pic]. Теперь [pic] [pic] [pic]. Если
сравнить полученное значение интеграла с рядом для [pic], то увидим, что
они тождественны и равенство (2) доказано.
Используем формулу (2) для доказательства одной очень серьёзной и
важной теоремы, а именно получим асимптотический закон распределения
простых чисел, то есть покажем, что [pic].
В качестве исторической справки отмечу, что великий немецкий математик
Карл Фридрих Гаусс эмпирически установил эту закономерность ещё в
пятнадцатилетнем возрасте, когда ему подарили сборник математических
таблиц, содержащий таблицу простых чисел и таблицу натуральных логарифмов.
Для доказательства возьмём формулу (2) и попытаемся разрешить это
уравнение относительно [pic], то есть обратить интеграл. Сделаем это с
помощью формулы обращения Меллина следующим образом. Пусть [pic] [pic].
Тогда
[pic]
(3). Этот интеграл имеет нужную форму, а [pic] не повлияет
на асимптотику [pic]. Действительно, так как [pic], интеграл для [pic]
сходится равномерно в полуплоскости [pic], что легко обнаруживается
сравнением с интегралом [pic]. Следовательно, [pic] регулярна и ограничена
в полуплоскости [pic]. То же самое справедливо и относительно [pic], так
как [pic] [pic].
Мы могли бы уже применить формулу Меллина, но тогда было бы весьма
затруднительно выполнить интегрирование. Поэтому прежде преобразуем
равенство (3) следующим образом. Дифференцируя по s, получаем [pic].
Обозначим левую часть через [pic] и положим [pic], [pic], ([pic], [pic] и
[pic] полагаем равными нулю при [pic]). Тогда, интегрируя по частям,
находим [pic] при [pic], или [pic].
Но [pic] непрерывна и имеет ограниченную вариацию на любом конечном
интервале, а так как [pic], то [pic] ([pic]) и [pic] ([pic]).
Следовательно, [pic] абсолютно интегрируема на [pic] при [pic]. Поэтому
[pic] при [pic], или [pic] при [pic]. Интеграл в правой части абсолютно
сходится, так как [pic] ограниченна при [pic], вне некоторой окрестности
точки [pic]. В окрестности [pic] [pic] и можно положить [pic], где [pic]
ограниченна при [pic], [pic] и имеет логарифмический порядок при [pic].
Далее, [pic] [pic]. Первый член равен сумме вычетов в особых точках,
расположенных слева от прямой [pic], то есть [pic]. Во втором члене можно
положить [pic], так как [pic] имеет при [pic] лишь логарифмическую
особенность. Следовательно, [pic]. Последний интеграл стремится к нулю при
[pic]. Значит,
[pic]
(4).
Чтобы перейти обратно к [pic], используем следующую лемму.
Пусть [pic] положительна и не убывает и пусть при [pic] [pic]. Тогда
[pic].
Действительно, если [pic] - данное положительное число, то [pic] [pic]
([pic]). Отсюда получаем для любого [pic] [pic] [pic]. Но так как [pic] не
убывает, то [pic]. Следовательно, [pic]. Полагая, например, [pic], получаем
[pic].
Аналогично, рассматривая [pic], получаем [pic], значит [pic], что и
требовалось доказать.
Применяя лемму, из (4) имеем, что [pic], [pic], поэтому [pic] и
теорема доказана.
Для ознакомления с более глубокими результатами теории дзета-функции
Римана могу отослать заинтересованного читателя к прилагаемому списку
использованной литературы.
Список использованной литературы.
1. Титчмарш Е.К. Теория дзета-функции Римана. Череповец, 2000 г.
2. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления,
том II. М.,1970 г.
3. Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного.
М.,1999 г.
4. Айерленд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию
чисел. М.,1987 г.
5. Шафаревич З.А. Теория чисел. М.,1986г.
