Существование решения дифференциального уравнения и последовательные приближения

                Министерство образования Российской Федерации
                 Государственное образовательное учреждение
                    высшего профессионального образования
                   «Самарский государственный университет»
                      механико-математический факультет



                      кафедра дифференциальных уравнений и теории управления
                                         специальность прикладная математика



    Существование решения дифференциального уравнения и последовательные
                                 приближения
                               Курсовая работа


                                                            Выполнил студент
                                                         2 курса 1222 группы
                                               Труфанов Александр Николаевич
                                                        Научный руководитель
                                                     Долгова Ольга Андреевна
                                                                  __________

                                                             работа защищена
                                                      «___»___________200_г.

                                                      Оценка _______________
                                           зав. Кафедрой профессор д.ф.-м.н.
                                                                Соболев В.А.



                                 Самара 2004
          Теорема существования и единственности решения уравнения

    Пусть дано уравнение

                                    [pic]

    с начальным условием

                                    [pic]

    Пусть в замкнутой области R [pic]функции [pic]и [pic]непрерывны). Тогда
на некотором отрезке [pic]существует единственное решение, удовлетворяющее
начальному условию [pic].


            Последовательные приближения определяются формулами:

                           [pic] [pic] k = 1,2....



    Задание №9


    Перейти от уравнения

                                    [pic]

     к системе нормального вида и при начальных условиях

                             [pic], [pic], [pic]

    построить два последовательных приближения к решению.

    Произведем замену переменных

                                [pic]; [pic]

     и перейдем к системе нормального вида:

    [pic]


    Построим последовательные приближения

    [pic]

    [pic]



    Задание №10


    Построить три последовательных приближения [pic] к решению задачи

                                [pic], [pic]

    Построим последовательные приближения

    [pic]
                                    [pic]



    Задание №11


    а) Задачу
                                [pic], [pic]
    свести к интегральному уравнению и построить последовательные
приближения [pic]
    б) Указать какой-либо отрезок, на котором сходятся последовательные
приближения, и доказать их равномерную сходимость.


    Сведем данное уравнение к интегральному :

    [pic]

    [pic]
                                    [pic]


    Докажем равномерную сходимость последовательных приближений

    С помощью метода последовательных приближений мы можем построить
последовательность
                                    [pic]
    непрерывных функций, определенных на некотором отрезке [pic], который
содержит внутри себя точку [pic]. Каждая функция последовательности
определяется через предыдущую при помощи равенства
                          [pic] [pic]i = 0, 1, 2 …
    Если график функции [pic] проходит в области Г, то функция [pic]
определена этим равенством, но для того, чтобы могла быть определена
следующая функция [pic], нужно, чтобы и график функции [pic] проходил в
области Г. Этого удается достичь, выбрав отрезок [pic]достаточно коротким.
Далее, за счет уменьшения длины отрезка [pic], можно достичь того, чтобы
для последовательности [pic] выполнялись неравенства:

                             [pic], i = 1, 2, …,

где 0 < k < 1. Из этих неравенств вытекает следующее:

                             [pic], i = 1, 2, …,

Рассмотрим нашу функцию на достаточно малом отрезке, содержащим [pic],
например, на [pic]. На этом промежутке все последовательные приближения
являются непрерывными функциями. Очевидно, что т.к. каждое приближение
представляет из себя функцию от бесконечно малого более высокого порядка,
чем предыдущее приближение, то выполняются и описанные выше неравенства. Из
этих неравенств следует:

                                    [pic]

что и является условием равномерной сходимости последовательных
приближений.

С другой стороны, на нашем отрезке выполняется [pic], что также совершенно
очевидно. А так как последовательность [pic] сходится, то
последовательность приближений является равномерно сходящийся на этом
отрезке.



                      Список использованной литературы



   1. Л.С. Понтрягин. «Обыкновенные дифференциальные уравнения», М.:
      Государственное издательство физико-математической литературы, 1961

   2. А.Ф. Филиппов «Сборник задач по дифференциальным уравнениям», М.:
      Интеграл-Пресс, 1998

   3. О.П. Филатов «Лекции по обыкновенным дифференциальным
      уравнениям»,Самара: Издательство «Самарский университет», 1999

   4. А.Н. Тихонов, А.Б. Васильева «Дифференциальные уравнения», М.: Наука.
      Физматлит, 1998