Вычислительные методы алгебры (лекции)

                      §1. Учет погрешностей вычислений.

При решении математических задач могут возникнуть погрешности  по  различным
причинам:
1. При составлении математической модели физического  процесса  или  явления
   приходится  принимать  условия,  упрощающие  постановку  задачи.  Поэтому
   математическая  модель  не  отражает  реальный  процесс,   а   дает   его
   идеализированную картину. Погрешность, возникающая при  этом,  называется
   погрешностью постановки задачи.
2.  Часто  приходится  для  решения  задачи  применять  приближенный   метод
   (интеграл заменяют квадратурной суммой, производную  заменяют  разностью,
   функцию – многочленом). Погрешность,  возникающая  при  этом,  называется
   погрешностью метода.
3. Часто исходные данные заданы не  точно,  а  приближенно.  При  выполнении
   вычислений погрешность исходных данных в некоторой  степени  переходит  в
   погрешность  результата.  Такая   погрешность   называется   погрешностью
   действий.
4.  Погрешность,  возникающая  при   округлении   бесконечных   и   конечных
   десятичных чисел, имеющих большее число десятичных  знаков,  чем  надо  в
   округлении, называется погрешностью округления.
Определение. Пусть х – некоторое число, число а называется его  приближенным
значением, если а в определенном смысле мало отличается от х и заменяет х  в
вычислениях, [pic].
Определение. Погрешностью [pic] приближенного значения а числа х  называется
разность  [pic],  а   модуль   этой   погрешностью   называется   абсолютной
погрешностью.
Если [pic], то а взято с недостатком.
Если [pic], то а взято с избытком.
Определение.  Границей  погрешности  приближенного  значения   а   числа   х
называется всякое неотрицательное число  [pic],  которое  не  меньше  модуля
погрешности: [pic].
Говорят, что приближение а приближает число х с  точностью  до  [pic],  если
[pic], [pic], [pic].
Пример. Пусть а=0,273  –  приближенное  значение  х  с  точность  до  0,001.
Указать границы, в которых заключается х.
                                    [pic]
При округлении чисел  считают,  что  границы  погрешности  округления  равна
половине единицы округляемого разряда:
                   [pic], ? – порядок округления разряда.
Определение. Относительной погрешностью приближенного  значения  а  числа  х
называется отношение
                                   [pic].
Пример.  Округлить  до  десятых  число   27,52   и   найти   погрешность   и
относительную погрешность округления:
[pic],
[pic],
[pic].
Также как и  абсолютная  погрешность  относительная  погрешность  не  всегда
может быть вычислена и приходится оценивать ее модуль. Модуль  относительной
погрешности  выражается  в  процентах.  Чем  меньше   модуль   относительной
погрешности, тем выше качество приближения.
Определение. Границей относительной  погрешности  приближенного  значения  а
числа х называется всякое неотрицательное число  [pic],  которое  не  меньше
модуля относительной погрешности: [pic].
Установим связь между границами погрешностей абсолютной и относительной:
[pic] - граница относительной погрешности;
[pic] - граница абсолютной погрешности.
[pic].