Однополостный гиперболоид

   Министерство высшего образования Российской Федерации

    Московский государственный строительный университет



                                   РЕФЕРАТ


                                           На тему:

      “Однополостный    гиперболоид”



                                                   Факультет: ПГС

                                                   Группа: №15
                                                  Студент: Муравицкий А.С.

                                                 Преподаватель: Ситникова
Е.Г.



                                         Москва
                                                           2003
 Поверхности второго порядка – это поверхности, которые в прямоугольной
системе координат определяются алгебраическими уравнениями второй степени.
К ним относится однополосный гиперболоид.
 Однополосный гиперболоид.
 Однополосным гиперболоидом называется поверхность, которая в некоторой
прямоугольной системе координат определяется уравнением

               [pic]      (1) [pic]



 Из уравнения (1) вытекает, что координатные плоскости являются плоскостями
симметрии, а начало координат — центром симметрии однополостного
гиперболоида.
Уравнение (1) называется каноническим уравнением однополосного
гиперболоида.
Если однополостный гиперболоид задан своим каноническим уравнением (1) то
оси Ох, Оу и Oz называются его главными осями.
   Установим вид поверхности (1). Для этого рассмотрим сечение ее
координатными плоскостями Oxy (y=0) и Oyx (x=0). Получаем соответственно
уравнения
                                 [pic] и     [pic]


из которых следует, что в сечениях получаются гиперболы.
 [pic][pic]  Теперь рассмотрим сечения данного гиперболоида плоскостями
z=h, параллельными координатной плоскости Oxy. Линия, получающаяся в
сечении, определяется уравнениями
                   [pic]    или   [pic]

из которых следует, что плоскость z=h пересекает гиперболоид по эллипсу с
полуосями   [pic]  и  [pic],
достигающими своих наименьших значений при h=0, т.е. в сечении данного
гиперболоида координатной осью Oxy получается самый маленький эллипс с
полуосями a*=a и b*=b. При бесконечном возрастании [pic] величины a* и b*
возрастают бесконечно.
[pic]

Таким образом, рассмотренные сечения позволяют изобразить однополосный
гиперболоид в виде бесконечной трубки, бесконечно расширяющейся по мере
удаления (по обе стороны) от плоскости Oxy.
Величины a, b, c называются полуосями однополосного гиперболоида.

    Исследование поверхности методом параллельных сечений.
Суть метода заключается в выяснении формы линий пересечения поверхности с
плоскостями, параллельными координатным плоскостям.
Рассмотрим линии пересечения с плоскостями, параллельными плоскости OXY.
Все уравнения линий пересечений будут получаться из уравнения плоскости, в
котором z будет заменена на некоторое число, равное расстоянию от
пересекающей плоскости до плоскости OXY. Для более наглядного
представления, я изобразил все полученные кривые в виде проекций на
плоскость OXY. Изображения кривых представлены выше.
Величины a, b, c называются полуосями однополосного гиперболоида. Если
a=b,то гиперболоид может быть получен вращением гиперболы с полуосями а и с
вокруг мнимой оси 2с.
Одним из примеров такой поверхности является конструкция радиобашни
построенной  по принципу сетчатых конструкций на Шаболовке (г. Москва),
Владимиром Григорьевичем Шуховым в 1919 - 1922 гг. В прошедшем году
исполнилось 80 лет Шаболовской радиобашне — символу советского телевидения
40-60-х годов.



 Список использованной литературы:

 1.Шипачёв В.С.: «Высшая математика»
2.В.А. Ильин, Э.Г. Позняк: «Аналитическая геометрия»
3.И.Н.Бронштейн, К.А.Семендяев «Справочник по математике для инженеров и
учащихся ВТУЗОВ»