Свойства усредненной функции с сильной осцилляцией
Работа из раздела: «
Математика»
Министерство образования Российской Федерации
Башкирский государственный педагогический университет
Кафедра математического анализа
Дипломная квалификационная работа
Автор: Гарипов Ильгиз.
Тема: Свойства усредненной функции с сильной осцилляцией.
К защите допущен ____________
Заведующий кафедрой к.ф. м. н. доцент Сафаров Т.Г.
Руководитель д.физ-мат. наук. профессор Султанаев Я.Т.
Уфа 2001
Содержание
Стр.
Введение 3
§ 1 Свойства функции [pic]. 4
§ 2 Свойства функции [pic] и ее производных. 5
2.1 [pic] 5
2.2 [pic] 6
2.3 [pic] где (>0 7
2.4 [pic] 9
§ 3 Поведение [pic] 11
3.1 [pic] 11
3.2 [pic] 11
3.3 [pic] 12
3.4 [pic] 13
§ 4 Поведение [pic] 14
4.1 [pic] 14
4.2 [pic] 15
4.3 [pic] 15
4.4 [pic] 16
Заключение 17
Литература 18
Введение
Пусть [pic] произвольная функция, определенная на [pic], и [pic]
при [pic]
Введем в рассмотрение функцию [pic] с помощью следующего равенства:
[pic] (1)
Назовем эту функцию усреднением функции [pic]
Это название оправдано так как из (1) и теоремы о среднем для интегралов
можем заключить
[pic][pic][pic]
[pic]
§ 2 Свойства функции [pic].
1. Если [pic], при [pic], то [pic] при [pic]
Доказательство:
[pic], [pic], [pic] [pic] ( N >0, [pic]: [pic] [pic]
2. [pic] (2)
3. [pic] (3)
Дифференцируя формулу (1) по dx получаем
[pic] (4)
[pic](5)
§ 2 Свойства функции [pic] и ее производных.
I) Рассмотрим вид функции [pic] для случаев когда [pic]:
2.1 [pic]
[pic]
[pic]
2.2 [pic]
[pic]
[pic]
[pic]
2.3 [pic] где (>0;
[pic]
[pic]
Разделим интеграл на два интеграла и вычислим их отдельно.
[pic]
Второй интеграл не оказывает влияния на первый, так как при [pic]функция
стремится к 0.
Доказательство:
[pic]
Рассматривая второй интеграл, мы получаем:
[pic]
Рассматривая первый интеграл, получаем:
[pic]
[pic]
Последние два слагаемых полученных при интегрировании содержат в
произведении [pic], то есть при возрастании x эти слагаемые будут очень
быстро уменьшатся и весь интеграл при [pic] становится очень малым по
сравнению с первой частью. Поэтому можно считать что при [pic] [pic]
Следовательно:
[pic][pic]
[pic]
2.4. [pic]
[pic]
Наложить на[pic] ограничение, такое чтобы [pic]присутствие [pic] не влияло
на поведение функции.
[pic]
[pic]
Рассматривая полученное выражение можно заметить что
[pic]
становится пренебрежительно малым по отношению к остальной части
как только [pic]. Ограничение №1
В тоже время
[pic]
Становится бесконечно малым как только [pic]. Ограничение №2
Раскрывая в оставшейся части скобки, по Биному Ньютона получаем, что
[pic]
должен быть очень малым при [pic]то есть
[pic]
так как [pic] ограниченная функция, к 0 должен стремится [pic].
[pic] [pic]
[pic]
[pic] Ограничение №3
Учитывая ограничения 1, 2, 3 получаем:
[pic]
Следовательно, [pic] ограничение на [pic] удовлетворяющее поставленной
задаче, при котором присутствие [pic]не влияет на поведение функции [pic].
§ 3 Рассмотрим поведение функции [pic]для случаев:
3.1) [pic]
[pic]
[pic]
[pic]
3.2) [pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
3.3) [pic]
[pic]
Вычислим отдельно интегральное выражение, стоящее в числителе:
[pic]=
[pic]=
[pic] [pic]
[pic][pic]
[pic][pic]
[pic]
рассматривая пределы при [pic] видим что на поведение функции оказывает
влияние только главный член [pic]
[pic]
Поведение данной функции при [pic] эквивалентно поведению функции
[pic] (*)
Вычислим интеграл в знаменателе:
[pic]=
[pic]
[pic]
[pic] (**)
Учитывая (*)и (**) получаем
[pic]
[pic]
Следовательно, по формуле (2) получаем [pic]
3.4 [pic]
[pic]
Отдельно вычислим числитель и знаменатель:
[pic]
[pic]
По ранее доказанному в пункте 2.4 мы можем сказать что второй интеграл не
оказывает влияния на поведение функции. Поэтому мы можем утверждать, что
числитель эквивалентен выражению:
[pic]
[pic]
Вычислим знаменатель:
[pic]
Разделив интеграл на 2 интеграла, мы получаем:
[pic]
По пункту 2.4 можем вывести что второй интеграл не влияет на поведение
функции при [pic]
Следовательно, знаменатель:
[pic]
[pic]
[pic]
§4. Рассмотрим поведение второй производной [pic]
Для облегчения вычислений введем обозначения:
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
При этом формула для [pic]примет вид [pic] (6)
4.1 [pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
Виду того, что d(x) очень мал то [pic] будет несравним с d(x) т.е.
[pic]
4.2 [pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
используя равенства, полученные в пункте 2.2 и 3.2, преобразуя данное
равенство, приходим к выражению:
[pic]
(Все выкладки приводить не буду в виду их громоздкости и сложности для
восприятия. Добавлю только что все выкладки, примененные в данном пункте
полностью повторяют ограничения и эквивалентные выражения, использованные
в пунктах 2.2 и 3.2).
Отсюда следует что [pic]
4.3 [pic]
[pic]
[pic]
Используя данные, полученные в п.3.3 получаем что
[pic]
[pic]
Возвращаясь к п. 3.3 находим:
[pic]
[pic]
[pic]
Вычисляя [pic]по формуле 6, получаем:
[pic]
и [pic]
4.4 [pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
и [pic]
Заключение
В результате проведенного исследования поведения усредненной функции в
случае осциллирующих коэфициентов, получены данные приведенные в следующей
таблице:
|[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |
|[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |
|[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |
|[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |
|[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |
