Рефераты - Афоризмы - Словари
Русские, белорусские и английские сочинения
Русские и белорусские изложения
 

Вычисление двойных интегралов методом ячеек

Работа из раздела: «Математика»


                МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ


          Чувашский государственный университет им. И. Н. Ульянова



                               КУРСОВАЯ РАБОТА


                        по вычислительной математике.


                Вычисление двойных интегралов методом ячеек.



                                                            Выполнил студент
                                                            факультета ИиВТ,

                                                            группа ИВТ-11-00


                                                               Борзов Леонид



                               Чебоксары-2002


                                 Содержание.

Теоретическая часть…………………………………………3
Задание………………………………………………………..4
Текст программы. ……………………………………………5
Блок-схема программы…………………….………………...6
Выполнение программы в математическом пакете………..7
Список использованной литературы……………………......8



                            Теоретическая часть.
       Численные методы могут использоваться для вычисления кратных
 интегралов. Ограничимся рассмотрением двойных интегралов вида
                                        I=[pic]                          (1)
       Одним из простейших способов вычисления этого интеграла является
 метод ячеек. Рассмотрим сначала случай, когда областью интегрирования G
 является прямоугольник: [pic][pic], [pic].По теореме о среднем найдём
 среднее значение функции f(x,y):
                               [pic] S=(b-a)(d-c).                       (2)
Будем считать, что среднее значение приближённо равно значению функции в
центре прямоугольника, т. е. [pic]. Тогда из (2) получим выражение для
приближённого вычисления двойного интеграла:
                                                              [pic]      (3)
      Точность этой формулы можно повысить, если разбить область G на
прямоугольные ячейки ([pic]ij (рис. 1): xi-1 [pic]i (i=1,2,…,M), yi-1
[pic]i  (j=1,2,…,N). Применяя к каждой ячейке формулу (3), получим
                      (((Gijf(x,y)dxdy((([pic])(xi(yi.
Суммируя эти выражения по всем ячейкам, находим значение двойного
интеграла:
                       [pic]I,[pic]j)                                    (4)
      В правой части стоит интегральная сумма; поэтому при неограниченном
уменьшении периметров ячеек (или стягивания их в точки) эта сумма стремится
к значению интеграла для любой непрерывной функции f(x,y).
      Можно показать, что погрешность такого приближения интеграла для одной
ячейки оценивается соотношением
                            Rij([pic](xi(yj[pic].
Суммируя эти выражения по всем ячейкам и считая все их площади одинаковыми,
получаем оценку погрешности метода ячеек в виде
                              [pic]O((x2+(y2).
      Таким образом, формула (4) имеет второй порядок точности. Для
повышения точности можно использовать обычные методы сгущения узлов сетки.
При этом по каждой переменной шаги уменьшают в одинаковое число раз, т. е.
отношение M/N остаётся постоянным.
      Если область G непрямоугольная, то в ряде случаев её целесообразно
привести к прямоугольному виду путём соответствующей замены переменных.
Например, пусть область задана в виде криволинейного четырёхугольника:
[pic], [pic]. Данную область можно привести к прямоугольному виду с помощью
замены [pic], [pic]. Кроме того, формула (4) может быть обобщена и на
случай более сложных областей.



       Задание. Найти при помощи метода ячеек значение интеграла [pic], где
 [pic] – область, ограниченная функциями [pic].



                              Текст программы.
#include
#include

float f(float,float);

void main() {
 const float h1=.0005,h2=.001;
 float s1,x,y,i,I;
 clrscr();
 s1=h1*h2;
 I=0;
 y=h2/2;
 x=1-h1/2;
 for(i=0;i<1/h2;i++) {
  while (y<2*x-1) {
   I+=s1*f(x,y);
   x-=h1;
  }
  y+=h2;
  x=1-h1/2;
 }
cout<<'Площадь интеграла равна: '<
ref.by 2006—2019
contextus@mail.ru