Основные определения и теоремы к зачету по функциональному анализу

Определение:  Элемент наилучшего приближения – L – линейное  многообразие,
плотное в E. (( (x(E (u: |x-u|<(
Теорема:  Для любого элемента нормированного пространства существует хотя
бы один элемент наилучшего приближения из конечномерного подпространства.
Теорема:  Для элемента из строго нормированного конечномерного пространства
существует единственный элемент наилучшего приближения из конечномерного
подпространства.
Теорема:  Рисса о существовании почти ортогонального элемента. E-НП L(E,
((((0,1) (z((E\L |z(|=1 ((z(,L)>1-(
Определение:  Полное нормированное пространство- любая фундаментальная
последовательность сходиться.
Теорема:  О пополнении нормированного пространства. Любое нормированное
пространство можно считать линейным многообразием, плотным в некотором
полном нормированном пространстве.
Определение:  Гильбертово пространство – нормированное пространство, полное
в норме, порожденной скалярным произведением.
Теорема:  Для любого элемента гильбертова пространства существует
единственный элемент наилучшего приближения в конечномерном подпространстве
гильбертова пространства.
Определение:  L плотное в E, если (x(E (u(L: |x-u|<(
Теорема:  Чтобы L было плотно в H ( ортогональное дополнение к L состояло
только из нулевого элемента.
Определение:  Сепарабельное – нормированное пространство, содержащее
некоторое счетное плотное в нем множество.
Определение:  Ортогональное дополнение – множество элементов ортогональных
к элементам данного пространства.
Определение:  Линейный оператор – отображение, для которого
A(ax+by)=aAx+bAy
Определение:  Непрерывный оператор – Ax(Ax0 при x( x0
Определение: ((X,Y) – пространство линейных операторов
Теорема:  Пусть X и Y – полные НП и A – непрерывен на некотором
подпространстве пространства X, тогда он непрерывен на всем  X.
Определение:  Ограниченный оператор - (|x|?1 (с: |Ax|?c
Теорема:  A – ограниченный ( (x(X |Ax|?c|x|
Теорема:  Для того чтобы А был непрерывен ( чтобы он была ограничен
Теорема: {An} равномерно ограничена ( {An}- ограничена.
Теорема:  {Anx} – ограниченно ( {|An|}- ограничена.
Определение:  Сильная (равномерная) сходимость |An-A|(0,  n((, обозначают
An(A
Определение:  Слабая сходимость - (x(X |(An-A)x|Y(0, n((
Теорема:  Для того, чтобы имела место сильная сходимость ( {An} сходилась
равномерно на замкнутом шаре радиуса 1
Теорема:  Банаха-Штенгауза An(A n(( слабо ( 1) {|An|}- ограничена 2) An(A,
x’(X, x’=x
Теорема: Хана Банаха. A:D(A)(Y, D(A)(X ( ( A’:X(Y 1) A’x=Ax, x(D(A)  2)
|A’|=|A|
Определение:  Равномерная ограниченность - (a (x: |x(t)|?a
Определение:  Равностепенная непрерывность (t1,t2 ((: |x(t1)-x(t2)|<(
Теорема: ((X,Y) полное, если Y – полное.
Определение:  Ядро – {x(X | Ax=0}
Определение:  Сопряженное пространство – пространство функционалов
X*:=((X,E)
Определение:  Сопряженный оператор A*: Y*(X*
Теорема:  Банаха A:X(Y и X,Y- полные нормированные пространства. Тогда ( A-
1 и ограничен.
Определение:  Оператор А – обратимый
Определение:  Оператор А- непрерывнообратимый если 1) A- обратим, 2)
R(A)=Y, 3) A-1-ограничен.
Теорема:  A-1 ( и ограничен ( (m>0 (x(X |Ax|?m|x|
Теорема:  Рисса о представлении линейного функционала в гильбертовом
пространстве. Пусть f:X(Y – линейный ограниченный функционал ( (! y(H (x(H
f(x)=(x,y)
Определение:  M(X называется бикомпактным, если из любой ограниченной
последовательности можно выделить сходящуюся к элементам этого же множества
последовательность.
Определение:  Множество называется компактным, если любая ограниченная
последовательность элементов содержит фундаментальную
подпоследовательность.
Теорема:  Хаусдорфа. M(X компактно ( ((>0 ( конечная (-сеть
Теорема:  Арцела.  M(C[a,b] компактно ( все элементы множества равномерно
ограничены и равностепенно непрерывны.
Определение:  Компактный (вполне непрерывный) оператор – замкнутый шар
пространства X переводит в замкнутый шар пространства Y.
Определение:  ((X,Y) – подпространство компактных операторов
Теорема:  Шаудера. A(((X,Y) ( A*(((X*,Y*)
Линейные нормированные пространства
Пространства векторов
[pic] [pic] сферическая норма
[pic] [pic]      кубическая норма
[pic]       [pic]            ромбическая норма
[pic]       [pic]      p>1
Пространства последовательностей  [pic]
[pic]       [pic]            [pic]      p>1
[pic] или [pic]  пространство ограниченных последовательностей
[pic]
[pic]       пространство последовательностей, сходящихся к нулю
[pic]
[pic]       пространство сходящихся последовательностей
[pic]
Пространства функций
[pic] пространство непрерывных на [pic] функций
            [pic]
[pic] пространство k раз непрерывно дифференцируемых на [pic] функций
            [pic]
Јp[a,b]     пространство функций, интегрируемых в степени p (не
Гильбертово)
[pic] - пополнение Јp[a,b] (Гильбертово)
            [pic]            [pic]
Неравенство Гёльдера   [pic][pic] p,q>0
Неравенство Минковского      [pic]