Сложения и вычитания чисел с плавающей запятой
Работа из раздела: «
Математика»
Сложения и вычитания чисел с плавающей запятой
1. Производится выравнивание порядков чисел. Порядок меньшею (по модулю)
числа принимается равным порядку большего числа, а мантисса меньшего числа
сдвигается вправо на число S-ичных разрядов, равное разности порядков
чисел.
2. Производится сложение (вычитание) мантисс, в результате чего получается
мантисса суммы (разности).
3. Порядок результата принимается равным порядку большего числа.
4. Полученная сумма (разность) нормализуется.
Примем, что числа с плавающей запятой имеют основание порядка S = 16.
Первое слагаемое (уменьшаемое) поступает на входной регистр Рг1, второе
слагаемое (вычитаемое) — на входной регистр Рг3. Знаки слагаемых хранится в
триггерах знаков Тг3н1 и Тг3н2. Смещенные порядки слагаемых пересылаются в
регистры РгС и РгD. Схема СОЛО применяется для сравнения и выравнивания
порядков слагаемых. Сумматор См, его входные регистры РгА и РгВ и выходной
регистр РгСм используются при сложении (вычитании) мантисс, а также при
передаче мантисс в процедурах выравнивания порядков и нормализации
результата.
Операция сложения (вычитания) может быть подразделена на следующие этапы:
1) прием операндов, 2) выравнивание порядков, 3) сложение мантисс и 4)
нормализация результата.
Прием операндов описывается следующей микропрограммой:
РгЗ: = ШИВх, РгВ: = 0, Тг3н1: = Рг3[0]
< прием X, установка в 0 входного регистра сумматора для Х и
фиксация знака Х в Тг3н1>;
Рг1: = ШИВых, РгА: = 0, Тг3н2: = если сложение то Рг1[0] иначе
[pic] < прием Y, установка в 0 входного регистра для Y,
фиксация знака Y в ТгЗн2 при сложении либо противоположного знака
при вычитании >;
Выравнивание порядков начинается с их сравнения. Мантисса числа с меньшим
порядком при выравнивании сдвигается вправо на число разрядов, равное
разности порядков. Поскольку рассматриваемые числа с плавающей запятой
имеют S = 16, сдвиг осуществляется шестнадцатеричными разрядами, т. е.
каждый сдвиг производится на четыре двоичных разряда.
При сравнении порядков возможны пять случаев:
1) [pic] (m— число разрядов мантиссы). В качестве результата суммирования
сразу же может быть взято первое слагаемое, так как при выравнивании
порядков все разряды мантиссы второго слагаемого принимают нулевое
значение;
2) [pic]. В качестве результата суммирования может быть взято второе
слагаемое;
3) [pic]. Можно приступить к суммированию мантисс;
4) [pic]Мантисса второго слагаемого сдвигается на [pic] разрядов вправо,
затем производится суммирование мантисс;
5) [pic]Перед выполнением суммирования мантисс производится cдвиг на [pic]
разрядов вправо мантиссы первого слагаемого.
За порядок результата при выполнении суммирования принимается больший из
порядков операндов.
Выравнивание порядков осуществляется следующим образом. Смещенный порядок
числа Х из РгЗ передается в регистр РгD, РгСОЛО и в счетчик, соединенный с
выходом РгСОЛО. Затем в РгС передается смещенный порядок числа Y:
РгС: = О, PD [0]: = 0, PгD [1 ( 7] := Рг3 [1 ( 7];
РгСОЛО: = РгС ( PгD;
Сч1: = РгСОЛО;
РгС [О]: = 0, РгС [1 ( 7] = Pг [1 ( 7];
После этого начинается сравнение порядков чисел Х и Y на СОЛО и сдвиг
мантиссы числа с меньшим порядком вправо,
Для того чтобы учесть случаи 1 и 2, возникающие при сравнении порядков, и
не делать лишних сдвигов мантиссы, превратившейся в процессе выравнивания
порядков в 0, на счетчике циклов СчЦ фиксируется предельное число сдвигов,
равное количеству шестнадцатеричных цифр мантиссы:
СчЦ: = 6;
При выполнении сдвига на один шестнадцатеричный разряд содержимое СчЦ
уменьшается на 1. При СчЦ = 0 сдвиги прекращаются и в качестве результата
берется большее слагаемое.
Микропрограмма выравнивания порядков:
|МК: |если РгС > РгD то МК1 иначе если РгС = РгD то МКЗ иначе |
| |МК2; |
|MK1: |PгB [8 ( 31]: = PгЗ [8 ( 31]; |
| |РгСм: = П(4) См, РгСм [0 ( 3]: = 0, Сч1 := Сч1+1 |
| |<сдвиг вправо мантиссы Х и увеличения порядка X, |
| |первоначально занесенного в РгСч1, на 1>; |
| |Рг3[8 ( 31]:=РгСм[8 ( 31]; РгD:=Сч1, СчЦ: = СчЦ - 1 |
| |<фиксация сдвинутой мантиссы Х и увеличенного порядка X, |
| |уменьшение на 1 числа цифр мантиссы X, не вышедших за |
| |разрядную сетку>; |
| |если СчЦ ( 0 то МК; |
| |РгВ: = 0, РгА: = Рг1, РгСм := См; |
| |ШИВых: = РгСм; |
| |конец |
| |<выдача Y в качестве результата—случай 2 при сравнении |
| |порядков>; |
|МК2: |РгА[8 ( 31] :=Рг1 [8 (31]; |
| |РгСм: = П (4) См, РгСм [0 ( 3] : = 0, Сч1 := Сч1-1 |
| |<сдвиг вправо мантиссы Y и уменьшение большего порядка X, |
| |первоначально занесенного в Сч1, на 1. Уменьшение |
| |производится до тех пор, пока порядок Х не сравняется с |
| |порядком Y, после чего в качестве порядка результата |
| |принимается сохраненный в Рг3 исходный порядок Х>; |
| |Рг1 [1 ( 31]: = РгСм [8 ( 31], РгD: = Сч1, СчЦ: = СчЦ - 1, |
| |если СчЦ ( 0, то МК4 иначе РгА: =0, РгВ: =Рг3, РгСм: =См, |
| |ШИВых: = РгСм, |
| |конец |
| |<выдача Х в качестве результата — случай 1 при сравнении |
| |порядков>; |
|МК4: |если РгС > PгD то МК2; |
| |PгD[0]: = 0, РгD[1 ( 7]: = Рг3[1 ( 7], РгС = 0; |
| |РгСОЛО : = РгС ( PгD; |
| |Сч1: = РгСОЛО |
| |<фиксация порядка Х после завершения выравнивания в |
| |качестве порядка результата>; |
|МКЗ: |РгСм: = 0, Pгl [0 ( 7] : = РгСм, РгЗ [0 ( 7] : = РгСм |
| |<обнуление поля порядка слагаемых>; |
После выравнивания порядков модули мантисс хранятся в Pгl и РгЗ в разрядах
с 8-го по 31-й, их знаки в Тг3н2 и Тг3н1, а порядок результата в Сч1.
Сложение мантисс. Анализируются знаки мантисс и при равенстве знаков модули
мантисс складываются. Если оказывается, что См [7] = 1, то возникло
переполнение при сложении мантисс. В случае переполнения мантисса суммы
сдвигается на четыре двоичных разряда (один шестнадцатеричный разряд)
вправо, а порядок увеличивается на 1 (Сч1: = Сч1 + 1). Если после этого Сч1
[0] = 1, то формируется признак прерывания из-за переполнения порядка. Если
переполнения нет, то в РгСм формируется результат операции, для чего
содержимое Сч1 [1 ( 7] заносится в РгСм [1 ( 7], в РгСм [0] передается
знак, а в РгСм [8 ( 31]— мантисса суммы.
При различных знаках мантисс отрицательная мантисса передается на входной
регистр сумматора в обратном коде и производится суммирование ее с прямым
кодом положительной мантиссы и 1, прибавляемой к младшему разряду
сумматора. Знак результата фиксируется в триггере знака. От полученного
результата, если он отрицателен, берется его модуль. Если результат
нормализован (См [8 ( 11] ( 0), то на РгСм заносятся знак результата (по
значению триггера знака), порядок по значению Сч1 и модуль мантиссы.
Если результат не нормализован и нет исчезновения значимости (мантисса не
равна 0), производится нормализация. Мантисса результата сдвигается влево и
одновременно уменьшается порядок результата (Сч1: = Сч1 - 1). При
отрицательном переполнении порядка (Сч1 [0] = 1) формируется признак
исчезновения порядка. Если нормализация завершается без исчезновения
порядка, формируется результат операции из кода знака, порядка и мантиссы.
Микропрограмма процедуры сложения мантисс:
| |если ТгЗн ( Тг3н2 то МЗ; |
| |РгА: = Рг1, РгВ: = РгЗ; |
| |РгСм: = См; |
| |если См[7] = 1 то М2; |
|М1: |РгСм [ 1 ( 7]: = Сч1 [1 ( 7]; |
| |РгСм [0] :== если Тг3н1=0 то 0 иначе 1; |
|М: |ШИВых: = РгСм; |
| |конец; |
|М2: |Сч1:=Сч1+1, РгСм := П(4)См, РгСм[0 ( 3]:=0; |
| |если Сч1[0]=0 то М1 иначе прерывание из-за переполнения |
| |порядка; |
|МЗ: |если Тг3н1=0 то РгА :=[pic], РгВ: = РгЗ иначе |
| |РгА : = Рг1, РгВ: = [pic]; |
| |РгСм :=РгА+РгВ +1; |
| |если См[0]=0 то M4; |
| |Рг3:= РгСм; |
| |РгА :=0, РгВ: =[pic]; |
| |РгСм:= РгА +РгВ +1; |
|М4: |ТгЗн1 := РгЗ [0]; |
|М5: |если См [8 ( 11] ( 0 то M1; |
| |если См ( 0 то М6; |
| |РгСм: = 0, прерывание из-за потери значимости; |
|M6: |Сч1:=Сч-1, РгСм := Л(4)См, РгСм[28(31]: = 0; |
| |РгЗ: = РгСм; |
| |РгВ : = РгЗ, РгА: = 0; |
| |РгСм: = См; |
| |если Сч1[0]=0 то М5; |
| |РгСм: = 0, прерывание из-за исчезновения порядка; |
Сложение и вычитание выполняются приближенно, так как при выравнивании
порядков происходит потеря младших разрядов одного из слагаемых. В этом
случае погрешность всегда отрицательна и может доходить до единицы младшего
разряда. Чтобы уменьшить погрешность, применяют округление результата. Для
этого может быть использован дополнительный разряд сумматора, в который
после выполнения суммирования добавляется 1.
