Математическая статистика
Работа из раздела: «
Математика»
1-я контрольная работа
Задача № 1.33
Вычислить центральный момент третьего порядка ((3) по данным таблицы:
|Производительно|80.5 – |81.5 – |82.5 – |83.5 – |84.5 – |
|сть труда, |81.5 |82.5 |83.5 |84.5 |85.5 |
|м/час | | | | | |
|Число рабочих |7 |13 |15 |11 |4 |
|Производительност|XI |Число |mixi |(xi-xср)3 |(xi-xср)3m|
|ь труда, м/час | |рабочих,| | |i |
| | |mi | | | |
|80.5 – 81.5 |81 |7 |567 |-6,2295 |-43,6065 |
|81.5 – 82.5 |82 |13 |1066 |-0,5927 |-7,70515 |
|82.5 – 83.5 |83 |15 |1245 |0,004096 |0,06144 |
|83.5 – 84.5 |84 |11 |924 |1,560896 |17,16986 |
|84.5 – 85.5 |85 |4 |340 |10,0777 |40,31078 |
|Итого: | |50 |4142 | |6,2304 |
Ответ: (3=0,1246
Задача № 2.45
Во время контрольного взвешивания пачек чая установлено, средний вес
у n=200 пачек чая равен [pic]=26 гр. А S=1гр. В предложение о нормальном
распределение определить у какого количества пачек чая ве будет находится в
пределах от ([pic] до [pic].
Р(25(2табл
Ответ: Выдвинутая гипотеза о нормальном законе распределения
отвергается с вероятностью ошибки альфа.
2-я контрольная работа
Задача 4.29
По результатам n =4 измерений в печи найдено [pic][pic]= 254( C.
Предполагается, что ошибка измерения есть нормальная случайная величина с (
= 6( C. На уровне значимости ( = 0.05 проверить гипотезу H0: ( = 250( C
против гипотезы H1: ( = 260( C. В ответе записать разность между
абсолютными величинами табличного и фактического значений выборочной
характеристики.
(1 > (0 ( выберем правостороннюю критическую область.
[pic]
Ответ: Т.к. используем правостороннюю критическую область, и
tкр > tнабл, то на данном уровне значимости нулевая гипотеза не отвергается
(|tкр| - |tнабл |=0,98).
Задача 4.55
На основание n=5 измерений найдено, что средняя высота сальниковой
камеры равна [pic] мм, а S=1,2 мм. В предположение о нормальном
распределение вычислить на уровне значимости (=0,01 мощность критерия при
гипотезе H0 :[pic]50 и H1 : [pic]53
[pic]
Ответ: 23
Задача 4.70
На основании n = 15 измерений найдено, что средняя высота сальниковой
камеры равна [pic]= 70 мм и S = 3. Допустив, что ошибка изготовления есть
нормальная случайная величина на уровне значимости ( = 0.1 проверить
гипотезу H0: [pic] мм2 при конкурирующей гипотезе [pic]. В ответе записать
разность между абсолютными величинами табличного и фактического значений
выборочной характеристики.
[pic]построим левостороннюю критическую область.
[pic]
Вывод: [pic]на данном уровне значимости нулевая гипотеза не отвергается
([pic]).
Задача 4.84
По результатам n = 16 независимых измерений диаметра поршня одним
прибором получено [pic]= 82.48 мм и S = 0.08 мм. Предположив, что ошибки
измерения имеют нормальное распределение, на уровне значимости ( = 0.1
вычислить мощность критерия гипотезы H0: [pic] при конкурирующей гипотезе
H1: [pic].
[pic]построим левостороннюю критическую область.
[pic]
Ответ: 23;
Задача 4.87
Из продукции двух автоматических линий взяты соответственно выборки
n1 = 16 и n2 = 12 деталей. По результатам выборочных наблюдений найдены
[pic] = 180 мм и [pic] = 186 мм. Предварительным анализом установлено, что
погрешности изготовления есть нормальные случайные величины с дисперсиями
[pic] мм2 и [pic] мм2. На уровне значимости ( = 0.025 проверить гипотезу
H0: (1 = (2 против H1: (1 < (2.
Т.к. H1: (1 < (2, будем использовать левостороннюю критическую область.
[pic]
Вывод: [pic]гипотеза отвергается при данном уровне значимости.
Задача 4.96
Из двух партий деталей взяты выборки объемом n1 = 16 и n2 = 18 деталей.
По результатам выборочных наблюдений найдены [pic] = 260 мм, S1 = 6 мм,
[pic] = 266 мм и S2 =7 мм. Предполагая, что погрешности изготовления есть
нормальные случайные величины и [pic], на уровне значимости ( = 0.01
проверить гипотезу H0: (1 = (2 против H1: (1 ( (2.
[pic]
Вывод: [pic] при данном уровне значимости гипотеза не отвергается.
Задача 4.118
Из n1 = 200 задач первого типа, предложенных для решения, студенты
решили m1 = 152, а из n2 = 250 задач второго типа студенты решили m2 = 170
задач. Проверить на уровне значимости ( = 0.05 гипотезу о том, что
вероятность решения задачи не зависит от того, к какому типу она относится,
т.е. H0: P1 = P2. В ответе записать разность между абсолютными величинами
табличного и фактического значений выборочной характеристики.
[pic]
Вывод:[pic]нулевая гипотеза при данном уровне значимости принимается
([pic]).
Задача 1.39:
Вычислить центральный момент третьего порядка ((3*) по данным таблицы:
|Урожайность|34,5-35,5|34,5-36,5|36,5-37,5|37,5-38,5|38,5-39,5|
|(ц/га), Х | | | | | |
|Число |4 |11 |20 |11 |4 |
|колхозов, | | | | | |
|mi | | | | | |
Решение:
|Урожайность|Число |Xi |mixi |(xi-xср)3 |(xi-xср)3m|
|(ц/га), Х |колхозов, | | | |i |
| |mi | | | | |
|34,5-35,5 |4 |35 |140 |-8 |-32 |
|34,5-36,5 |11 |36 |396 |-1 |-11 |
|36,5-37,5 |20 |37 |740 |0 |0 |
|37,5-38,5 |11 |38 |418 |1 |11 |
|38,5-39,5 |4 |39 |156 |8 |32 |
|Итого: |50 |- |1850 |- |0 |
Ответ: (3*=0
Задача 2.34:
В результате анализа технологического процесса получен вариационный
ряд:
|Число |0 |1 |2 |3 |4 |
|дефектных | | | | | |
|изделий | | | | | |
|Число |79 |55 |22 |11 |3 |
|партий | | | | | |
Предполагая, что число дефектных изделий в партии распределено по
закону Пуассона, определить вероятность появления 3 дефектных изделий.
Решение:
|m |0 |1 |2 |3 |4 |
|p |0.4647 |0.3235 |0.1294 |0.0647 |0.0176 |
Ответ: P=7.79*10-7
Зпадача 3.28:
В предложении о нормальной генеральной совокупности с (=5 сек.,
определить минимальный объем испытаний, которые нужно провести, чтобы с
надежностью (=0.96 точность оценки генеральной средней ( времени обработки
зубчатого колеса будет равна (=2 сек.
Решение:
n=(5.1375)3=26.39(27
Ответ: n=27
Задача 3.48:
На основании измерения n=7 деталей вычислена выборочная средняя и S=8
мк. В предположении, что ошибка изготовления распределена нормально,
определить с надежностью (=0.98 точность оценки генеральной средней.
Решение:
St(t,(=n-1)=(=St(t,6)=0.98
Ответ: (=0.4278
Задача 3.82:
На основании n=4 измерений температуры одним прибором определена S=9
(С. Предположив, что погрешность измерения есть нормальная случайная
величина определить с надежностью (=0.9 нижнюю границу доверительного
интервала для дисперсии.
Решение:
Ответ: 41.4587
Задача 3.103:
Из 400 клубней картофеля, поступившего на контроль вес 100 клубней
превысили 50 г. Определить с надежностью (=0.98 верхнюю границу
доверительного интервала для вероятности того, что вес клубня превысит 50
г.
Решение:
t=2.33
Ответ: 0.3
Задача 3.142:
По результатам 100 опытов установлено, что в среднем для сборки вентиля
требуется Xср=30 сек., а S=7 сек. В предположении о нормальном
распределении определить с надежностью (=0.98 верхнюю границу для оценки (
генеральной совокупности.
Решение:
t=2.33
Ответ: 8.457
Задача 4.18:
Гипотезу о нормальном законе распределения проверить с помощью критерия
Пирсона на уровне значимости (=0.05 по следующим данным:
|mi |6 |13 |22 |28 |15 |3 |
|miT |8 |17 |29 |20 |10 |3 |
Решение:
|mi |miT |(mi-miT)2 |(mi-miT)2/ |
| | | |miT |
|6 |8 |4 |0.5 |
|13 |17 |16 |0.941 |
|22 |29 |49 |1.6897 |
|28 |20 |64 |3.2 |
|15 |10 |25 |1.9231 |
|3 |3 | | |
|Итого: |- |- |8.2537 |
Ответ: -2.2627
1.36.
Вычислить дисперсию.
|Производител|Число |Средняя |
|ьность труда|рабочих |производител|
| | |ьность труда|
|81,5-82,5 |9 |82 |
|82,5-83,5 |15 |83 |
|83,5-84,5 |16 |84 |
|84,5-85,5 |11 |85 |
|85,5-86,5 |4 |86 |
|Итого |55 | |
2.19.
Используя результаты анализа и предполагая, что число дефектных изделий в
партии распределено по закону Пуассона, определить теоретическое число
партий с тремя дефектными изделиями.
|m |0 |1 |2 |3 |4 |5 |Итого|
|fi |164 |76 |40 |27 |10 |3 |320 |
|Pm | |0,34 |0,116|0,026|0,004|0,001| |
|Pm*fi|288,75|25,84|4,64 |0,702|0,04 |0,003|320 |
|fi |288 |26 |5 |1 |0 |0 |320 |
|теор.| | | | | | | |
m – число дефектных изделий в партии,
fi – число партий,
fi теор. = теоретическое число партий
Теоретическое значение числа партий получается округлением Pm*fi.
Соответственно, теоретическое количество партий с тремя дефектными
изделиями равно 1.
3.20.
По выборке объемом 25 вычислена выборочная средняя диаметров поршневых
колец. В предложении о нормальном распределении найти с надежностью ?=0,975
точность ?, с которой выборочная средняя оценивает математическое ожидание,
зная, что среднее квадратическое отклонение поршневых колец равно 4 мм..
3.40.
По результатам семи измерений средняя высота сальниковой камеры равна 40
мм., а S=1,8 мм.. В предположении о нормальном распределении определить
вероятность того, что генеральная средняя будет внутри интервала
(0,98х;1,02х).
3.74.
По данным контрольных 8 испытаний определены х=1600 ч. и S=17ч..Считая,
что срок службы ламп распределен нормально, определить вероятность того,
что абсолютная величина ошибки определения среднего квадратического
отклонения меньше 10% от S.
3.123.
По результатам 70 измерений диаметра валиков было получено х=150 мм., S=6,1
мм.. Найти вероятность того, что генеральная средняя будет находиться
внутри интервала (149;151).
3.126
По результатам 50 опытов установлено, что в среднем для сборки
трансформатора требуется х=100 сек., S=12 сек.. В предположении о
нормальном распределении определить с надежностью 0,85 верхнюю границу для
оценки неизвестного среднего квадратического отклонения.
4.10
С помощью критерия Пирсона на уровне значимости ?=0,02 проверить гипотезу
о законе распределения Пуассона (в ответе записать разность между
табличными и фактическими значениями ?2).
|mi |miT |(mi-miT)2 |(mi-miT)2/mi|
| | | |T |
|80 |100 |400 |4 |
|125 |52 |5329 |102,5 |
|39 |38 |1 |0,03 |
|12 |100 |4 |0,4 |
|S=256 |200 |5734 |122,63 |
Гипотеза противоречит закону распределения Пуассона.
-----------------------
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
