Серьёзные лекции по высшей экономической математике

                            Комбинаторные формулы

      Пусть имеется множество, состоящее из n элементов. Обозначим  его  Un.
Перестановкой из n элементов называется заданный порядок во множестве Un.
      Примеры перестановок:
1)распределение n различных должностей среди n человек;
2)расположение n различных предметов в одном ряду.
      Сколько различных перестановок можно образовать во множестве Un? Число
перестановок обозначается Pn (читается Р из n).
      Чтобы вывести формулу числа перестановок,  представим  себе  n  ячеек,
пронумерованных числами [pic]1,2,...n. Все перестановки будем  образовывать,
располагая элементы Un в этих ячейках. В первую ячейку можно  занести  любой
из  n  элементов  (иначе:  первую  ячейку  можно  заполнить   n   различными
способами). Заполнив первую ячейку,  можно  n-1  способом  заполнить  вторую
ячейку (иначе: при каждом способе заполнения  первой  ячейки  находится  n-1
способов  заполнения  второй  ячейки).  Таким  образом   существует   n(n-1)
способов заполнения двух первых ячеек.  При  заполнении  первых  двух  ячеек
можно найти n-2 способов заполнения третьей ячейки, откуда  получается,  что
три ячейки можно заполнить n(n-1)(n-2) способами.  Продолжая  этот  процесс,
получим, что число способов заполнения n  ячеек  равно [pic]. Отсюда

      Pn = n(n - 1)(n - 2)...(3(2(1

      Число n(n - 1)(n - 2)...(3(2(1, то есть произведение всех  натуральных
чисел от 1 до n, называется 'n-факториал' и обозначается n!. Отсюда Pn =n!
      Пример. [pic] .
      По определению считается: 1!=1; 0!=1.
      Размещениями  из  n  элементов   по   k   элементов   будем   называть
упорядоченные  подмножества,  состоящие  из  k  элементов,  множества  Un  -
(множества, состоящего из n элементов). Число размещений из n  элементов  по
k элементов обозначается [pic][pic] (читается 'А из n по k').
      Примеры задач, приводящих к необходимости подсчета
1) Сколькими способами можно выбрать из 15 человек 5 кандидатов и  назначить
их на 5 различных должностей?
2) Сколькими способами можно из 20 книг отобрать 12 и расставить  их  в  ряд
на полке?
      В задачах о размещениях полагается k