Интересные примеры в метрических пространствах

    1. В n-мерном евклидовом пространстве полная ограниченность совпадает с
обычной ограниченностью, то есть с возможностью заключить  данное  множество
в достаточно большой куб. Действительно, если такой куб разбить на кубики  с
ребром (, то вершины этих кубиков будут образовывать конечную  [pic]-сеть  в
исходном кубе, а значит, и подавно, в любом множестве, лежащем внутри  этого
куба.
1. Единичная сфера S в пространстве l2 дает нам пример ограниченного, но  не
   вполне ограниченного множества. Рассмотрим в S точки вида:
                                           е1=(1, 0, 0, ..., 0, 0, ...),
                                           е2=(0, 1, 0, ..., 0, 0, ...),
                                           …………………………,
                                           еn=(0, 0, 0, ..., 1, 0, ...),
                                           ………………………….

    Расстояние между любыми двумя точками еn и ем (n(m) равно  ((.  Поэтому
последовательность  {еi}  и  любая  ее  подпоследовательность  не  сходятся.
Отсюда в S не может быть конечной (-сети ни при каком (<(2/2.


2. Рассмотрим в l2 множество П точек
                                    x=(x1, x2, (, xn, ...),
удовлетворяющих условиям:
                               | x1|(1, | x2|(1/2, (,| xn|(1/2n-1, ...
Это  множество  называется  фундаментальным  параллепипедом   («гильбертовым
кирпичем») пространства l2. Оно представляет собой пример  бесконечномерного
вполне   ограниченного   множества.   Для    доказательства    его    полной
ограниченности поступим следующим образом.

    Пусть (>0 задано. Выберем n так, что 1/2n-1<(/2.  Каждой  точке  x=(x1,
x2, (, xn, ...)

из П сопоставим точку x*=(x1, x2, (, xn, 0, 0, ...)
из того же множества. При этом
                      ((x,x*)([pic]([pic]<1/2n-1<(/2.
Множество П* точек  вида  x*=(x1,  x2,  (,  xn,  0,  0,  ...)  из  П  вполне
ограничено (как ограниченное множество в n-мерном пространстве).  Выберем  в
П* конечную (/2-сеть. Она будет в то же время (-сетью  во  всем  П.  Докажем
это.
Доказательство: для ((((, выберем n так, что 1/2n-1<(/2.
                                   (x(П: x=(x1, x2, (, xn, ...) сопоставим
                           x*=(x1, x2, (, xn, 0, 0, ...) и  x*(П.  При  этом
                     ((x,x*)<(/2.   Из   пространства   П   выберем    x**:
                     ((x*,x**)<(/2.
                                                                      Тогда:

                     ((x,x**)(((x,x*)+((x*,x**)<(/2+(/2=(.
                                Множество    П*    содержит    точки    вида
                                    x*=(x1, x2, (, xn, 0, 0, ...),  в  этом
                     множестве выберем конечную (/2-сеть. Она будет (-сетью
                     в пространстве П, так как ((x,x**)<(.