Математика

Иррациональные уравнения и неравенства


                            МОУ СОШ  «УК №20»



         Иррациональные

 уравнения   и  неравенства


       [pic]
                                          реферат    по    алгебре
                                                           ученика  11 «В»
класса
                                                            Торосяна
Левона



                                                  Руководитель:
                                                      Олейникова Р. М.



                               Сочи  2002г.


                                   Содержание.

     I. Введение

    II. Основные правила

   III. Иррациональные  уравнения:
         . Решение иррациональных уравнений стандартного вида.
         . Решение иррациональных уравнений смешанного вида.
         . Решение сложных иррациональных уравнений.

    IV. Иррациональные неравенства:
         . Решение иррациональных неравенств стандартного вида.
         . Решение нестандартных иррациональных неравенств.
         . Решение иррациональных неравенств смешанного вида.

     V. Вывод

    VI. Список литературы



I. Введение

Я, Торосян Левон, ученик  11 «В» класса, выполнил реферат по теме:
«Иррациональные уравнения и неравенства».

Особенностью моей работы является  то,  что  в  школьном  курсе  на  решение
иррациональных уравнений отводится очень мало времени, а  ВУЗовские  задания
вообще не решаются. Решение иррациональных неравенств в  школьном  курсе  не
рассматри- вают, а на вступительных экзаменах эти задания часто дают.


Я  самостоятельно  изучил  правила  решения   иррациональных   уравнений   и
неравенств.


В реферате  показаны  решения  как  иррациональных  уравнений  и  неравенств
стандартного  типа,  так  и  повышенной  сложности.  Поэтому  реферат  можно
использовать как учебное пособие  для  подготовки  в  ВУЗ,  также  рефератом
можно пользоваться при изучении этой темы на факультативных занятиях.



II. Иррациональные  уравнения
Иррациональным называется уравнение, в  котором  переменная  содержится  под
знаком корня.
Решаются такие уравнения возведением обеих частей в степень. При  возведении
в  четную  степень  возможно  расширение   области   определения   заданного
уравнения. Поэтому при решении таких  иррациональных  уравнений  обязательны
проверка  или  нахождение  области  допустимых   значений   уравнений.   При
возведении  в  нечетную  степень  обеих  частей  иррационального   уравнения
область определения не меняется.
Иррациональные  уравнения   стандартного  вида    можно   решить   пользуясь
следующим правилом:
                                                [pic]
                                                          [pic]
                                                 [pic]

       Решение иррациональных уравнений стандартного вида:

а) Решить уравнение  [pic] = x – 2,
Решение.
[pic] = x – 2,
2x       –        1        =        x2        –        4x        +        4,
                 Проверка:
x2           –           6x           +           5           =           0,
           х = 5,      [pic] = 5 – 2,
x1                                   =                                    5,
                                          3 = 3
x2           =           1            –            постор.            корень
    х =  1,      [pic][pic]1 – 2 ,
Ответ:                                                                     5
     пост. к.            1 [pic]-1.


б) Решить уравнение  [pic] = х + 4,
Решение.
[pic] = х + 4,
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
Ответ: -1


в) Решить уравнение  х – 1 = [pic]
Решение.
 х – 1 = [pic]
х3 – 3х2 + 3х – 1 = х2 – х – 1,
х3 – 4х2 + 4х = 0,
х(х2 – 4х + 4) = 0,
х = 0                или          х2 – 4х + 4 = 0,
                                         (х – 2)2 = 0,
                                          х = 2
Ответ: 0; 2.


г) Решить уравнение  х – [pic] + 4 = 0,
Решение.
х – [pic] + 4 = 0,
х                +                4                 =                 [pic],
Проверка:
х2 + 8х + 16 = 25х – 50,                                           х  =  11,
         11 – [pic] + 4 = 0,
х2          –          17х           +           66           =           0,
                             0 = 0
х1                                   =                                   11,
 х = 6,               6 – [pic] + 4 = 0,
х2                                   =                                    6.
                                     0 = 0.
Ответ: 6; 11.

            Решение  иррациональных уравнений смешанного вида:

    . Иррациональные уравнения, содержащие знак модуля:
а) Решить уравнение [pic] = [pic]
Решение.
[pic]    =    [pic],                                  [pic]                –
       +

                                x

Учитывая ноль подкоренного выражения, данное уравнение равносильно двум
системам:

[pic]           или             [pic]

[pic][pic]                                                             [pic]

                              [pic]

[pic]                      [pic]
                                                                       [pic]

[pic]
Ответ: [pic]


б) Решить уравнение  [pic]
Решение.
[pic],[pic]                                              [pic]             –
            +
                x
Учитывая ноль подкоренного выражения, данное уравнение равносильно двум
системам:

[pic]            или             [pic]
[pic]                           [pic]
[pic]                                          [pic]
[pic]                                                       [pic]

Ответ:   [pic].

    . Иррациональные  показательные  уравнения:

а) Решить уравнение  [pic]

Решение.

[pic]             ОДЗ:  [pic]
[pic]
Пусть  [pic] = t,   t  > 0
[pic]
Сделаем  обратную  замену:
[pic] = 1/49,                             или                 [pic] = 7,
[pic] = [pic],                                                       [pic]
[pic]– (ур-ние не имеет решений)              x = 3.
Ответ: 3


б) Решить уравнение    [pic]

Решение.

Приведем  все степени к одному основанию  2:

[pic]

[pic]данное уравнение равносильно уравнению:

[pic]

Ответ:  0,7



    . Иррациональное уравнение, содержащее иррациональность четной степени:
Решить  уравнение   [pic]
Решение.
[pic] возведем обе части уравнения в квадрат
3x – 5 – 2[pic]
2x – 2 = 2[pic]
x –1 = [pic]
x[pic]                                      Проверка:
x[pic]                      x = 3,      [pic]
4x[pic]
      1 = 1.
                                    x = 1,75   [pic]

Ответ: 3.



    . Иррациональное уравнение, содержащее иррациональность нечетной
      степени:
Решить  уравнение  [pic]
Решение.
[pic] возведем  обе  части  уравнения  в  куб
[pic]
[pic] но  [pic], значит:
[pic]
[pic] возведем  обе  части  уравнения  в  куб
(25 + x)(3 – x) = 27,
[pic]
Ответ: –24; 2.


    . Иррациональные уравнения, которые решаются заменой:


а) Решить уравнение  [pic]

Решение.
[pic]
Пусть [pic] = t,   тогда [pic] = [pic],   где   t > 0
t – [pic]
[pic]
Сделаем обратную замену:
[pic]= 2, возведем  обе  части  в  квадрат
[pic]                        Проверка:  x = 2,5      [pic]
Ответ:  2,5.

б) Решить  уравнение  [pic]
Решение.
[pic]
Пусть [pic] = t,   значит [pic]= [pic],   где  t > 0
t[pic]+ t – 6 = 0,
[pic]
Сделаем обратную замену:
[pic] = 2, возведем обе части уравнения в четвертую степень
x[pic] + 8 = 16,
Проверка:
x[pic] = 8,                                                             x =
2,        [pic]
x = 2.
                     6 = 6
Ответ:  2.



в) Решить  уравнение   [pic]
Решение.
[pic]
[pic]
Пусть  [pic] = t,   где   t  > 0
[pic]
Сделаем обратную замену:
[pic] = 2,  возведем обе части уравнения в квадрат
[pic]                          Проверка:  [pic]       [pic]
[pic]                                                               [pic],
        [pic]

Ответ: –5; 2.


             Решение сложных  иррациональных уравнений:

    . Иррациональное   уравнение,  содержащее   двойную иррациональность:
Решить уравнение  [pic]
Решение.
[pic]  возведем  обе  части уравнения в  куб
[pic]
[pic] возведем обе  части  уравнения в  квадрат
[pic]
Пусть  [pic] = t
t 2– 11t + 10 = 0,
[pic]  [pic]
Сделаем  обратную  замену:
Проверка:
[pic]= 10,                          или          [pic]= 1,
   x = [pic], [pic]
x = [pic]-пост. корень                     [pic]
                         0 [pic] [pic]
Ответ:   1.
 x = 1,   [pic]
                                      1 = 1
    . Иррациональные  логарифмические уравнения:
а) Решить  уравнение  lg3 + 0,5lg(x – 28) = lg[pic]
Решение.
lg3 + 0,5lg(x – 28) = lg[pic],
lg(3[pic] = lg[pic],
Учитывая  ОДЗ, данное  уравнение  равносильно  системе:
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
Ответ: 32,75

б) Решить  уравнение  [pic]
Решение.
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]                               [pic]
Ответ:  [pic]; – 2; 3.
  IV. Иррациональные неравенства
Неравенства   называются   иррациональными, если  его  неизвестное  входит
под  знак  корня (радикала).
Иррациональное  неравенство  вида [pic] равносильно системе неравенств:
[pic]
Иррациональное  неравенство  вида [pic] равносильно совокуп-ности двух
систем неравенств:
[pic]          и           [pic]



    Решение иррациональных неравенств стандартного вида:


а) Решить  неравенство [pic]
Решение.
[pic]
Данное неравенство  равносильно  системе  неравенств:

[pic]
[pic]                         [pic]
[pic]
           +                –                     +

Ответ:     [1; 2).
                                          1                3
        x
б) Решить неравенство [pic]
Решение.
[pic]
Данное неравенство  равносильно двум системам  неравенств:

[pic]                                          [pic]
[pic]
Ответ:         [pic]


в) Решить неравенство [pic]
Решение.
[pic]
Данное неравенство  равносильно  системе  неравенств:

[pic]
[pic]                                                  [pic]


Ответ:  нет решений[pic]


Решение иррациональных неравенств нестандартного вида:

а) Решить неравенство [pic]
Решение.
[pic]
Данное неравенство  равносильно  системе  неравенств:

[pic]
Ответ:   [pic]


б) Решить неравенство[pic]
Решение.
[pic]
Данное неравенство  равносильно  системе  неравенств:

[pic]
[pic]
[pic]


[pic]
[pic]                                           [pic]
[pic]
Ответ:     [pic]

    . Решение иррациональных неравенств с помощью правила знаков при
      умножении и делении:

а) Решить неравенство [pic]
Решение.
[pic]
Учитывая то, что [pic][pic] и правило знаков при делении данное  неравенство
 равносильно  системе  неравенств:

[pic]                                        [pic]
[pic]
Ответ: [pic]

б) Решить неравенство (2x – 5)[pic]
Решение.
(2x – 5)[pic]

Учитывая то, что [pic]  и правило  знаков  при  делении  данное  неравенство
равносильно  системе  неравенств:

[pic]                                                       [pic]
Ответ:  [pic]


    . Решение иррациональных неравенств способом группировки:
Решить неравенство  [pic]
Решение.

[pic],
[pic] сгруппируем  по  два  слагаемых
[pic]
[pic]
[pic] вынесем общий множитель за скобку
[pic] учитывая, что  [pic]> 0 и правило знаков при
 умножении  данное неравенство равносильно  системе  неравенств:

[pic]                                                       [pic]

Ответ: [pic] ( 0; 1 )



    .    Иррациональное   неравенство,   содержащее   два   знака
      иррациональности:

Решить  неравенство [pic]
Решение.
[pic]


Данное неравенство  равносильно  системе  неравенств:

[pic]
[pic]                                                               [pic]
[pic]
Ответ: [pic]


    . Решение иррациональных неравенств заменой:
Решить  неравенство [pic]
Решение.
[pic]

Пусть [pic] = t, тогда  [pic] = [pic],     t  > 0
[pic]

[pic]
[pic]
[pic]

            [pic]



Сделаем  обратную  замену:

[pic]возведем в  квадрат  обе  части  неравенства

[pic]

[pic]

[pic]

Ответ: [pic]



        Решение иррациональных неравенств смешанного вида:


    . Иррациональные  показательные  неравенства:
а) Решить  неравенство [pic]
Решение.
[pic],
[pic] т.к.  y = 0,8t  [pic],  то
0,5x(x – 3) < 2,
0,5x2 – 1,5x – 2 < 0,
x2 – 3x – 4 < 0,
f(x) = x2 – 3x – 4,
ОДЗ[pic],                                                          +
          –                 +
Нули функции:  x1 = 4;   x2 = – 1.                                      –1
                 4               x

Ответ: х[pic]


б) Решить  неравенство  4[pic]– 2[pic] < 2[pic]– 32
Решение.
4[pic]– 2[pic] < 2[pic]– 32,                            ОДЗ:  x > 0
2[pic]– 2[pic][pic] 2 < 2[pic][pic] 24 – 25, выполним  группировку
слагаемых
2[pic](2[pic]– 2) – 24(2[pic]–2) < 0,
(2[pic]– 2) [pic] (2[pic]– 24) < 0, учитывая  правило  знаков   и  ОДЗ
данное  неравенство равносильно 2-м системам:

[pic]                        или                          [pic]
  [pic]
[pic]т.к. y = 2t [pic], то                                     [pic]  т.к.
y = 2t [pic], то
[pic]                                                               [pic]

[pic]                                                                 [pic]



Ответ: х[pic]



    . Решение иррациональных логарифмических неравенств:

Решить  неравенство   [pic]

Решение.

[pic] уч. ОДЗ данное нер-во равносильно системе нер-ств

[pic]

[pic]

[pic]
[pic]                                             [pic]

Ответ:  [pic]

V. Вывод

Реферат помог мне научиться решать иррациональные уравнения  и   неравенства
следующих  типов:  стандартные,  показательные,  содержащие   знак   модуля,
логарифмические, повышенного уровня.
Примеры  взяты и подробно разобраны не только из школьной  программы,  но  и
из вступительных экзаменов в школу А.Н. Колмогорова  при  МГУ,  из  сборника
задач по математике под редакцией М.И. Сканави.
Этот материал может  быть  интересен  и  полезен  выпуск  –  никам  школ   и
абитуриентам  технических  вузов.

                                        [pic]


VI. Список  литературы

   1) Алгебра  и  начала   анализа.   Под  редакцией
      А.Н. Колмогорова
   2) 3000 конкурсных задач по математике. Авторы:             Е.Д. Куланин,
       В.П. Норин
   3) Справочные материалы по математике. Авторы:                   В.А.
      Гусев,  А.Г. Мордкович
   4) Сборник задач по математике. Под  редакцией              М.И. Сканави
   5) Справочный  материал


-----------------------
[pic]

[pic]





смотреть на рефераты похожие на "Иррациональные уравнения и неравенства"