Иррациональные уравнения и неравенства
Работа из раздела: «
Математика»
МОУ СОШ «УК №20»
Иррациональные
уравнения и неравенства
[pic]
реферат по алгебре
ученика 11 «В»
класса
Торосяна
Левона
Руководитель:
Олейникова Р. М.
Сочи 2002г.
Содержание.
I. Введение
II. Основные правила
III. Иррациональные уравнения:
. Решение иррациональных уравнений стандартного вида.
. Решение иррациональных уравнений смешанного вида.
. Решение сложных иррациональных уравнений.
IV. Иррациональные неравенства:
. Решение иррациональных неравенств стандартного вида.
. Решение нестандартных иррациональных неравенств.
. Решение иррациональных неравенств смешанного вида.
V. Вывод
VI. Список литературы
I. Введение
Я, Торосян Левон, ученик 11 «В» класса, выполнил реферат по теме:
«Иррациональные уравнения и неравенства».
Особенностью моей работы является то, что в школьном курсе на решение
иррациональных уравнений отводится очень мало времени, а ВУЗовские задания
вообще не решаются. Решение иррациональных неравенств в школьном курсе не
рассматри- вают, а на вступительных экзаменах эти задания часто дают.
Я самостоятельно изучил правила решения иррациональных уравнений и
неравенств.
В реферате показаны решения как иррациональных уравнений и неравенств
стандартного типа, так и повышенной сложности. Поэтому реферат можно
использовать как учебное пособие для подготовки в ВУЗ, также рефератом
можно пользоваться при изучении этой темы на факультативных занятиях.
II. Иррациональные уравнения
Иррациональным называется уравнение, в котором переменная содержится под
знаком корня.
Решаются такие уравнения возведением обеих частей в степень. При возведении
в четную степень возможно расширение области определения заданного
уравнения. Поэтому при решении таких иррациональных уравнений обязательны
проверка или нахождение области допустимых значений уравнений. При
возведении в нечетную степень обеих частей иррационального уравнения
область определения не меняется.
Иррациональные уравнения стандартного вида можно решить пользуясь
следующим правилом:
[pic]
[pic]
[pic]
Решение иррациональных уравнений стандартного вида:
а) Решить уравнение [pic] = x – 2,
Решение.
[pic] = x – 2,
2x – 1 = x2 – 4x + 4,
Проверка:
x2 – 6x + 5 = 0,
х = 5, [pic] = 5 – 2,
x1 = 5,
3 = 3
x2 = 1 – постор. корень
х = 1, [pic][pic]1 – 2 ,
Ответ: 5
пост. к. 1 [pic]-1.
б) Решить уравнение [pic] = х + 4,
Решение.
[pic] = х + 4,
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
Ответ: -1
в) Решить уравнение х – 1 = [pic]
Решение.
х – 1 = [pic]
х3 – 3х2 + 3х – 1 = х2 – х – 1,
х3 – 4х2 + 4х = 0,
х(х2 – 4х + 4) = 0,
х = 0 или х2 – 4х + 4 = 0,
(х – 2)2 = 0,
х = 2
Ответ: 0; 2.
г) Решить уравнение х – [pic] + 4 = 0,
Решение.
х – [pic] + 4 = 0,
х + 4 = [pic],
Проверка:
х2 + 8х + 16 = 25х – 50, х = 11,
11 – [pic] + 4 = 0,
х2 – 17х + 66 = 0,
0 = 0
х1 = 11,
х = 6, 6 – [pic] + 4 = 0,
х2 = 6.
0 = 0.
Ответ: 6; 11.
Решение иррациональных уравнений смешанного вида:
. Иррациональные уравнения, содержащие знак модуля:
а) Решить уравнение [pic] = [pic]
Решение.
[pic] = [pic], [pic] –
+
x
Учитывая ноль подкоренного выражения, данное уравнение равносильно двум
системам:
[pic] или [pic]
[pic][pic] [pic]
[pic]
[pic] [pic]
[pic]
[pic]
Ответ: [pic]
б) Решить уравнение [pic]
Решение.
[pic],[pic] [pic] –
+
x
Учитывая ноль подкоренного выражения, данное уравнение равносильно двум
системам:
[pic] или [pic]
[pic] [pic]
[pic] [pic]
[pic] [pic]
Ответ: [pic].
. Иррациональные показательные уравнения:
а) Решить уравнение [pic]
Решение.
[pic] ОДЗ: [pic]
[pic]
Пусть [pic] = t, t > 0
[pic]
Сделаем обратную замену:
[pic] = 1/49, или [pic] = 7,
[pic] = [pic], [pic]
[pic]– (ур-ние не имеет решений) x = 3.
Ответ: 3
б) Решить уравнение [pic]
Решение.
Приведем все степени к одному основанию 2:
[pic]
[pic]данное уравнение равносильно уравнению:
[pic]
Ответ: 0,7
. Иррациональное уравнение, содержащее иррациональность четной степени:
Решить уравнение [pic]
Решение.
[pic] возведем обе части уравнения в квадрат
3x – 5 – 2[pic]
2x – 2 = 2[pic]
x –1 = [pic]
x[pic] Проверка:
x[pic] x = 3, [pic]
4x[pic]
1 = 1.
x = 1,75 [pic]
Ответ: 3.
. Иррациональное уравнение, содержащее иррациональность нечетной
степени:
Решить уравнение [pic]
Решение.
[pic] возведем обе части уравнения в куб
[pic]
[pic] но [pic], значит:
[pic]
[pic] возведем обе части уравнения в куб
(25 + x)(3 – x) = 27,
[pic]
Ответ: –24; 2.
. Иррациональные уравнения, которые решаются заменой:
а) Решить уравнение [pic]
Решение.
[pic]
Пусть [pic] = t, тогда [pic] = [pic], где t > 0
t – [pic]
[pic]
Сделаем обратную замену:
[pic]= 2, возведем обе части в квадрат
[pic] Проверка: x = 2,5 [pic]
Ответ: 2,5.
б) Решить уравнение [pic]
Решение.
[pic]
Пусть [pic] = t, значит [pic]= [pic], где t > 0
t[pic]+ t – 6 = 0,
[pic]
Сделаем обратную замену:
[pic] = 2, возведем обе части уравнения в четвертую степень
x[pic] + 8 = 16,
Проверка:
x[pic] = 8, x =
2, [pic]
x = 2.
6 = 6
Ответ: 2.
в) Решить уравнение [pic]
Решение.
[pic]
[pic]
Пусть [pic] = t, где t > 0
[pic]
Сделаем обратную замену:
[pic] = 2, возведем обе части уравнения в квадрат
[pic] Проверка: [pic] [pic]
[pic] [pic],
[pic]
Ответ: –5; 2.
Решение сложных иррациональных уравнений:
. Иррациональное уравнение, содержащее двойную иррациональность:
Решить уравнение [pic]
Решение.
[pic] возведем обе части уравнения в куб
[pic]
[pic] возведем обе части уравнения в квадрат
[pic]
Пусть [pic] = t
t 2– 11t + 10 = 0,
[pic] [pic]
Сделаем обратную замену:
Проверка:
[pic]= 10, или [pic]= 1,
x = [pic], [pic]
x = [pic]-пост. корень [pic]
0 [pic] [pic]
Ответ: 1.
x = 1, [pic]
1 = 1
. Иррациональные логарифмические уравнения:
а) Решить уравнение lg3 + 0,5lg(x – 28) = lg[pic]
Решение.
lg3 + 0,5lg(x – 28) = lg[pic],
lg(3[pic] = lg[pic],
Учитывая ОДЗ, данное уравнение равносильно системе:
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
Ответ: 32,75
б) Решить уравнение [pic]
Решение.
[pic]
[pic]
[pic]
[pic] [pic]
Ответ: [pic]; – 2; 3.
IV. Иррациональные неравенства
Неравенства называются иррациональными, если его неизвестное входит
под знак корня (радикала).
Иррациональное неравенство вида [pic] равносильно системе неравенств:
[pic]
Иррациональное неравенство вида [pic] равносильно совокуп-ности двух
систем неравенств:
[pic] и [pic]
Решение иррациональных неравенств стандартного вида:
а) Решить неравенство [pic]
Решение.
[pic]
Данное неравенство равносильно системе неравенств:
[pic]
[pic] [pic]
[pic]
+ – +
Ответ: [1; 2).
1 3
x
б) Решить неравенство [pic]
Решение.
[pic]
Данное неравенство равносильно двум системам неравенств:
[pic] [pic]
[pic]
Ответ: [pic]
в) Решить неравенство [pic]
Решение.
[pic]
Данное неравенство равносильно системе неравенств:
[pic]
[pic] [pic]
Ответ: нет решений[pic]
Решение иррациональных неравенств нестандартного вида:
а) Решить неравенство [pic]
Решение.
[pic]
Данное неравенство равносильно системе неравенств:
[pic]
Ответ: [pic]
б) Решить неравенство[pic]
Решение.
[pic]
Данное неравенство равносильно системе неравенств:
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic] [pic]
[pic]
Ответ: [pic]
. Решение иррациональных неравенств с помощью правила знаков при
умножении и делении:
а) Решить неравенство [pic]
Решение.
[pic]
Учитывая то, что [pic][pic] и правило знаков при делении данное неравенство
равносильно системе неравенств:
[pic] [pic]
[pic]
Ответ: [pic]
б) Решить неравенство (2x – 5)[pic]
Решение.
(2x – 5)[pic]
Учитывая то, что [pic] и правило знаков при делении данное неравенство
равносильно системе неравенств:
[pic] [pic]
Ответ: [pic]
. Решение иррациональных неравенств способом группировки:
Решить неравенство [pic]
Решение.
[pic],
[pic] сгруппируем по два слагаемых
[pic]
[pic]
[pic] вынесем общий множитель за скобку
[pic] учитывая, что [pic]> 0 и правило знаков при
умножении данное неравенство равносильно системе неравенств:
[pic] [pic]
Ответ: [pic] ( 0; 1 )
. Иррациональное неравенство, содержащее два знака
иррациональности:
Решить неравенство [pic]
Решение.
[pic]
Данное неравенство равносильно системе неравенств:
[pic]
[pic] [pic]
[pic]
Ответ: [pic]
. Решение иррациональных неравенств заменой:
Решить неравенство [pic]
Решение.
[pic]
Пусть [pic] = t, тогда [pic] = [pic], t > 0
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
Сделаем обратную замену:
[pic]возведем в квадрат обе части неравенства
[pic]
[pic]
[pic]
Ответ: [pic]
Решение иррациональных неравенств смешанного вида:
. Иррациональные показательные неравенства:
а) Решить неравенство [pic]
Решение.
[pic],
[pic] т.к. y = 0,8t [pic], то
0,5x(x – 3) < 2,
0,5x2 – 1,5x – 2 < 0,
x2 – 3x – 4 < 0,
f(x) = x2 – 3x – 4,
ОДЗ[pic], +
– +
Нули функции: x1 = 4; x2 = – 1. –1
4 x
Ответ: х[pic]
б) Решить неравенство 4[pic]– 2[pic] < 2[pic]– 32
Решение.
4[pic]– 2[pic] < 2[pic]– 32, ОДЗ: x > 0
2[pic]– 2[pic][pic] 2 < 2[pic][pic] 24 – 25, выполним группировку
слагаемых
2[pic](2[pic]– 2) – 24(2[pic]–2) < 0,
(2[pic]– 2) [pic] (2[pic]– 24) < 0, учитывая правило знаков и ОДЗ
данное неравенство равносильно 2-м системам:
[pic] или [pic]
[pic]
[pic]т.к. y = 2t [pic], то [pic] т.к.
y = 2t [pic], то
[pic] [pic]
[pic] [pic]
Ответ: х[pic]
. Решение иррациональных логарифмических неравенств:
Решить неравенство [pic]
Решение.
[pic] уч. ОДЗ данное нер-во равносильно системе нер-ств
[pic]
[pic]
[pic]
[pic] [pic]
Ответ: [pic]
V. Вывод
Реферат помог мне научиться решать иррациональные уравнения и неравенства
следующих типов: стандартные, показательные, содержащие знак модуля,
логарифмические, повышенного уровня.
Примеры взяты и подробно разобраны не только из школьной программы, но и
из вступительных экзаменов в школу А.Н. Колмогорова при МГУ, из сборника
задач по математике под редакцией М.И. Сканави.
Этот материал может быть интересен и полезен выпуск – никам школ и
абитуриентам технических вузов.
[pic]
VI. Список литературы
1) Алгебра и начала анализа. Под редакцией
А.Н. Колмогорова
2) 3000 конкурсных задач по математике. Авторы: Е.Д. Куланин,
В.П. Норин
3) Справочные материалы по математике. Авторы: В.А.
Гусев, А.Г. Мордкович
4) Сборник задач по математике. Под редакцией М.И. Сканави
5) Справочный материал
-----------------------
[pic]
[pic]
