Рефераты - Афоризмы - Словари
Русские, белорусские и английские сочинения
Русские и белорусские изложения
 
У нас есть несколько работ на данную тему. Вы можете создать свою уникальную работу объединив фрагменты из уже существующих:
  1. Пределы осуществления гражданских прав 41 Кб.
  2. Попытки либерализации советского общества в 50-е – первой половине 60-х гг. Хрущевская оттепель: пределы десталинизации 41.5 Кб.
  3. Пределы 10.9 Кб.
  4. Пределы обезуглероживания металлического расплава под окислительным шлаком 5.2 Кб.
  5. Актуальные проблемы возмещения налога на добавленную стоимость при экспорте товаров за пределы РФ 90.9 Кб.
  6. Пределы действия нормативных актов в РБ 20.8 Кб.
  7. Есть ли пределы развития и миниатюризации компьютеров?” 45.4 Кб.
  8. Основания и пределы уголовной ответственности соучастников преступления 10.7 Кб.
  9. Условия и пределы применения огнестрельного оружия сотрудниками ОВД 6 Кб.
  10. Эволюция биосферы, ее ресурсы и пределы устойчивости 22.4 Кб.

Пределы

Работа из раздела: «Математика»

                                   Предел.
Число А наз-ся пределом последоват-ти Xn если для любого  числа  Е>0,  сколь
угодно малого, ( N0, такое что при всех n>N0  будет  выполн-ся  нер-во  |Xn-
A| A-EN0  попадают  в  Е-окрестность
(.)А.
Св-ва послед-ти, имеющей предел:
1.если послед-ть имеет предел, то он единственный.
Док-во: предп, что пределы различны: lim Xn=a, lim Xn=b (n((), тогда |a-
b|=|a-Xn+Xn-b|. Из lim Xn=a (n(() => ( E/2 ( N1 (n>N1 |a-Xn| ( E/2 ( N2 (n>N2 |Xn-и|N0. |a-b|=|a-
Xn+Xn-b|(|a-Xn|+|Xn-b| |a-b|=0 => a=b.
2.теорема о сжатой переменной. n>N1 Xn(Zn(Yn ( limXn = lim Yn = a  (n(()  =>
( lim Zn=a (n(()
Док-во: 1. из того, что ( lim Xn=a (n(() => n>N2 |Xn-a| n>N3, a-EN0
Xn(Zn(Yn. a+E>Xn(Zn(Yn>a-E =>  lim Zn=a (n(()
Функция y=f(x) наз-ся ограниченной в данной обл-ти  изменения  аргумента  Х,
если сущ-ет положит число М такое, что для всех  значений  Х,  принадлежащих
рассматриваемой обл-ти, будет выполн-ся  нер-во  |f(x)|(M.  Если  же  такого
числа М не сущ-ет, то f(x) наз-ся неограниченной в данной обл-ти.
                         Бесконечно малая величина.
Величина Xn наз-ся бесконечно малой при n((, если lim Xn =  0  (n(().  (E>0,
N0, n>N0, |Xn| ( E/2 (N1, n>N1 |Xn|(   E/2   (N2,    n>N2    |Yn|N0,
|Xn(Yn|(|Xn|+|Yn| lim(Xn(Yn)=0 (n((). Теорема  справедлива  для
любого конечного числа б.м. слагаемых.
2.Произведение ограниченной величины на б.м. величину есть величина б.м.
Док-во:Xn – огр. величина => ( K, |Xn| ( K,
Yn – б.м. => ( E/K (N0 n>N0 |Yn| Xn=a+Yn, Yn – б.м.
Док-во: Из lim Xn=a (n(() => (E (N0 n>N0 |Xn-a| Xn=a+Yn. Справедливо и обратное: если переменную  величину
можно представить в виде суммы Xn=a+Yn (Yn – б.м.), то lim Xn=a (n(().

                         Бесконечно большая величина

Xn – бесконечно большая n((, если (M>0 (N0, n>N0,  |Xn|>M  =>  M(M (N1, n>N1 |Xn|>M
из Yn – б.б. => (M ( N2, n>N2 |Yn|>M
N0=max(N1, N2) => |Xn*Yn|=|Xn||Yn|>MM=M2>M
Lim XnYn=( (n(().
2.Обратная величина б.м. есть б.б. Обратная  величина  б.б.  есть  б.м.  lim
Xn=( (n(() – б.б. Yn=1/Xn – б.м. Из lim  Xn=(  =>  M=1/E  (N0,  n>N0  |Xn|>M
=>n>N0.
|Yn|=1/|Xn|<1/M=E =>Yn – б.м. => lim Yn=0 (n(().
3.Сумма б.б величины и ограниченной есть б.б. величина.
                        Основные теоремы о пределах:
                    1. lim Xn=a, lim Yn=b => lim (Xn(Yn)=a(b (n(()
Док-во: lim Xn=a => Xn=a+(n; lim Yn=b => Yn=b+(n;
Xn ( Yn = (a + (n) ( (b + (n) = (a (  b)  +  ((  n(  bn)  =>  lim(Xn(Yn)=a(b
(n(().
                    2. limXnYn = lim Xn * lim Yn (n(().
                    3. lim Xn=a, lim Yn=b (n(() =>   lim Xn/Yn =

                       (lim Xn)/(lim Yn) = a/b.
Док-во: Xn/Yn – a/b = (a+(n)/(b+(n) – a/b = (ab+(nb–ab–a(n)/b(b+(n) =(b(n-
a(n)/b(b+(n)=(n => Xn/Yn=a/b+(n => ( lim Xn/Yn = a/b = (lim Xn)/(lim Yn)
(n(().
                    Пределы ф-ии непрерывного аргумента.
Число А наз-ся пределом ф-ии y=f(x) при х(x0, если для любого Е>0 сколь
угодно малого сущ-ет такое число (>0, что при (x будет выпол |x-x0|<(,
будет выполняться нер-во |f(x) – A| A-
E0
           сколь угодно большого ( (>0, что (x |x-x0|<(  будет  выполняться
           нер-во |f(x)|>M, (x  x0-(f(x)>M.
Lim f(x)=( (x(x0).
Число А наз-ся пределом y=f(x) x((, если для любого Е>0 можно найти число
К, (x |x|>K |f(x)-A|(sinX)/x>cosX.
Lim cosX=1, lim 1=1 (x(0) =>lim (sinX)/x=1.
Следствия:
1. limx(0(tgX)/x=lim(sinX)/x*1/cosX=
=lim(sinX)/x*lim (1/cosX)=1;
2.limx(0(arcsinX)/x={arcsinX=t,sint=x,t(0}=
=limt(0t/sint=1;
3. limx(0 (sin (x)/(x = lim ((Sin (x)/((x)(=
=(/( lim(x(0(sin (x)/(x=(/(.
II замечательный предел.
limn(((1+1/n)n=?
Бином Ньютона: (a+b)n=an+nan-1b+(n(n-1)an-2b2)/2!+... +(n(n-1)(n-2)(n-3)an-
4b4)/4!+...+bn.
(1+1/n)n=1+n1/n+n(n-1)/2!n2+n(n-1)(n-2)/3!n3+...+1/nn= =2+1/2!(1-
1/n)+1/3!(1-1/n)(1-2/n)+1/4!(1-1/n)(1-2/n)(1-3/n)+...+1/nn={послед-ть
возрастающая}< 2+0.5(1-1/n) +1/22(1-1/n)(1-2/n)+1/23(1-1/n)(1-2/n)(1-
3/n)+1/2n < 2+0.5+1/22+1/23+...+1/2n =2+0.5(1-1/2n)/(1-0.5)=2+1-1/2n=3-1/2n
<3.
2((1+1/n)n<3 => ( limn(((1+1/n)n=e.
Следствия:
1.limx(+((1+1/x)x=e. Док-во: n(x(n+1 =>1/n(1/x(1/(n+1), 1/n+1 ( (1/x)+1 (
1/(n+1) + 1, (1/n+1)x((1/x+1)x((1+1/(n+1))x
(1/n+1)n+1((1+1/x)x((1+1/(n+1))n limn(((1+1/n)n(1+1/n)=e*1=e,(
limn(((1+1/(n+1))n+1*1/(1+1/(n+1))=e*1/1=e => (limx(+((1+1/x)x=e.
Непрерывность.
-фун. y=f(x) наз. непрерывной в точке х0, если сущ. предел фун. y=f(x) при
х(х0 равный значению фун f(x0). limf(x)=f(x0)
Условия:
1. f(x) – опред ф-ия; 2. (limx(x0-0f(x) (limx(x0+0 f(x) – конечные пределы;
3. limx(x0-f(x)=limx(x0+f(x);
4. limx(x0(f(x)=f(x0).
Если Х0 т-ка разрыва и выполн усл-ие 2, то Х0 – 1 род
Если Х0 – 1 род и выполн усл-ие 3, то разрыв устран.
Если Х0 т-ка разрыва и не вып усл-ие 2, то Х0 – 2род.
Св-ва непрерывности в точке:
1.Если фун f1(x) и f2(x) непрерывны в точке х0, то сумма (разность)
y(х)=f1(x)(f2(x), произведение у(х)=f1(x)*f2(x), а также отношение этих фун
у(х)=f1(x)/f2(x), есть непрерывная фун в точке х0.
Док-во (суммы): По определению получ limх(х0f1(x)=f1(x0) и
limх(х0f2(x)=f2(x0) на основании св-ва1 можем написать:
limх(х0у(х)=limх(х0[f1(x)+f2(x) ]=
=limх(х0f1(x)+limх(х0f2(x)=f1(x0)+f2(x0)=у(х0). Итак сумма есть непрерывная
фун.(
2.Всякая непрерывная фун непрерывна в каждой точке, в которой она
определена.
3.Если фун z=((х) непрерывна в точке х=х0, а фун y=f(z) непрерывна в соот-й
точке z0=((х0), то фун y=f(((х)) непрерывна в точке х0.
Если фун непрерывна в каждой точке некоторого интервала (а,в), где а<в, то
говорят, что фун непреывна на этом интервале.
Если фун непрерывна в каждой точке некоторого интервала (а,в) и непрерывна
на концах интервала, то говорят, что f(x) непрерывна на замкнутом интервале
или отрезке (а,в).
Непрерывности на заданном промежутке
Ф-ия наз-ся непрерывной на пром-ке (a;b), если она непрерывн в кажд т-ке
этого пром-ка.
Свойства(small):
1. достиг наиб и наим значения; 2. если м и М – наиб и наим знач-ия, то она
достиг любые значения м (y=(f(x0)=f(x0+(x)-f(x0),
(y/(x=(f(x0+(x)-f(x0))/(x.
Если ( lim(x(0(y/(x, то этот предел наз-ся производн ф-ии в т-ке Х0. ( Если
f(x) имеет производ в кажд т-ке x(X, то мы можем брать прозвол Х, считая
его фиксир, х+(х(Х. Lim(х(0(f(x0+(x)-f(x0))/(x=
=f/(х)=df(x)/dx=dy/dx=y|(x).
2. Геометр смысл производ.
Производная фун f(x) в точке х0 равна угловому коэф-ту касательной к гр-ку
фун f(x) в точке М (х0;f(x0)).
Если т-ка М будет приближ-ся к т-ке М0 (при (х(0), то секущая приближ-ся к
касат.
y|(x0)=lim(х(0(f(x0+(x)-f(x0))/
/(x=lim(х(0(y/(x=lim(х(0tg(==lim(((0tg(=tg(0.
L: y-f(x0)=f\(x0)(x-x0)
Nl=y-f(x0)=-(x-x0)/f\(x0).
3. Основ теоремы о производных.
1. y=U(x)+V(x), y|=U|(x)+ V|(x). Док-во: для х+(х имеем:
y+(y=(u+(u)+(v+(v). Следовательно, (y=(u+(v, (y/(x=(u/(x+(v/(x,
y|=lim(x(0(y/(x = lim(x(0(u/(x+ lim(x(0(v/(x=U|(x)+V/(x).
2. y=uv, y|=u|v+uv|. Док-во: y+(y=(u+(u)(v+(v), (y=(u+(u)(v+(v)-
uv=(uv+u(v+(u(v, (y/(x=(uv/(x+(vu/(x+(u(v/(x,
y|= lim(x(0(y/(x= lim(x(0(uv/(x + lim(x(0(vu/(x + lim(x(0(u(v/(x={
lim(x(0(u=0, т.к ф-ия дифф-ма и непрерывна}=u|v+uv|.
3. y=u/v, y|=(u|v-uv|)/v2. Док-во: y+(y=(u+(u)/(v+(v), (y=(u+(u)/(v+(v)-
u/v=(v(u-u(v)/v(v+(v)
(y/(x...
4. y=ax, y|=axln a. Док-во: ln y=x ln a, y|/y=ln a, y|=yln a y|=axln a.
Неявно задан фун и нахождение ее производ.
Говорят, что соот-е F(x;y)=0 задается неявно, если сущ фун у=f(x), х
принадлежит отрезку [а,в] и, если подстав-е в F(x;y)=0 соот-е обращает его
в тождество(()( {F(x;y)=0,(у=f(x),х принадлежит отрезку [а,в],F(x;f(x)) (0}
Правило нахождения: Если F(x;y)=0 задает фцн неявно, т.е это будет
тождество, то тождественное равенство можно по членно продифференцировать.
{[F(x;y)]/=0/}
Формула Лейбница.
y(n)=(uv)(n)=(u)(n)v+nu(n-1)v|+([n(n-1)]/[1*2])*n(n-2)v||+…+uv(n)
Дифференцирование ф-ии в  точке.
Ф-ия y=f(x) наз-ся дифференцируемой в т-ке Х0, если (y=A(x+O((x), где А не
зависит от (Х, О((Х) – б.м., более высокого порядка малости, чем (Х, когда
(Х(0, т.е. lim(x(0O((x)/(x=0. А(Х – главная часть приращения.
Теорема: y=f(x) дифф-ма в т-ке Х0 т и тт, когда она в этой т-ке имеет
конечную производную A=f\(x0).
Необход усл-ие дифф-ти: если ф-ия дифф-ма, то она имеет кон производ. Дано:
(y=A(x+O((x)
f\(x0)=lim(x(0(y/(x= lim(x(0[(A(x+O((x))/(x] = lim(x(0(A+O((x)/(x)=A =>
(y=f\(x0)(x+O((x) => lim(x(0(y=0 => f(x) – непрерывна.
Достат усл-ие дифф-ти: если ф-ия в заданной т-ке имеет кон производ, то она
дифф-ма. Дано: (f\(x0) – число, f\(x0)=lim(x(0(y/(x => (y/(x=f\(x0)+(((x)
{(((ч) – б.м.}, (y=f\(x0)(x+(((x)(x => (y=f\(x0)(x+O((x), т.е.
O((x)=(((x)(x => lim(x(0O((x)/(x=lim(x(0(((x)=0. Дифференциал ф-ии это
главная часть приращения, линейная относит (Х.
Приближ знач ф-ии в некот т-ке: (y=f(x0+(x)-f(x0)
=>f(x0+(x)=f(x0)+(y(f(x0)+df(x0)=f(x0)+f\(x0)dx, dx=(x.

-----------------------
M

-M

X0-(     X0     X0+(

     x-(  x  x+(

A+E
 A
A-E

-k  k

A+E
     A

A-E

                 C
          M


O  x     B      A


          M
M0



X0         x0+(x



ref.by 2006—2022
contextus@mail.ru