Рефераты - Афоризмы - Словари
Русские, белорусские и английские сочинения
Русские и белорусские изложения
 

Методические аспекты изучения понятия вероятности

Работа из раздела: «Математика»

/

/

КУРСОВАЯ РАБОТА

Методические аспекты изучения понятия вероятность

Саранск 2011

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

1. Способы определения вероятности: классическое, статистическое, геометрическое, аксиоматическое

2. Последовательности изложения трактовок понятия вероятность в учебных пособиях

3. Задачи, решаемые, в процессе изучения геометрической вероятности

4. Формирование аксиоматического понятия вероятности

Заключение

Список литературы

Введение

Согласно федеральному компоненту базисного учебного плана, примерному учебному плану для средней школы и государственному образовательному стандарту начало общего, среднего общего и среднего (полного) общего образования по математике, утвержденному в 2004 году, нововведением для курса математики является включение в программы вероятностно-статистической линии. Элементы статистики являются составной частью новой содержательной лини школьного курса «Анализ данных», которая включает в себя так же комбинаторику и основы теории вероятностей. Статистические понятия служат «стержнем», который пронизывает весь материал этой линии.

Современная концепция школьного математического образования ориентирована, прежде всего, на учет индивидуальности ребенка, его интересов и склонностей. Этим определяются критерии отбора содержания, разработка и внедрение новых, интерактивных методик преподавания, изменения в требованиях к математической подготовке ученика. И с этой точки зрения, когда речь идет не только об обучении математике, но и формировании личности с помощью математики, необходимость развития у всех школьников представлений о теории вероятностей и математической статистике становится насущной задачей. Причем речь идет об изучении вероятностного материала обязательном основном школьном курсе «математике для всех» в рамках «самостоятельной» содержательно-методической линии на протяжении всех лет обучения.

Сказанное свидетельствует об актуальности проблемы нашего исследования - разработки методических аспектов обучения учащихся элементам теории вероятностей.

Объект исследования - процесс обучения учащихся теории вероятностей.

Предметом исследования являются цели, содержание и средства обучения учащихся элементам теории вероятностей.

Цель исследования - разработка методических аспектов обучения учащихся элементам теории вероятностей.

Задачи исследования:

o Определить содержание учебного материала по направлению - теория вероятностей.

o Проанализировать связи между различными понятиями и определить последовательность или параллельность их изучения.

o Выявить методические аспекты изучения понятия вероятности.

1. Способы определения вероятности: классическое, статистическое, геометрическое, аксиоматическое

В целом вероятность - численная мера возможности появления случайного события.

В школьном курсе «Элементы комбинаторики, теории вероятностей и математической статистики» имеются следующие способы определения вероятности: классическое; статистическое; геометрическое; аксиоматическое.

Классическое определение: вероятность - это отношение числа благоприятных для события А исходов к числу всех исходов эксперимента.

Например, рассматривается случайный эксперимент, который может завершиться одним из п возможных исходов, причем все исходы равновозможные: бросаем монету (п = 2), бросаем кубик (п = 6). Пусть ровно т из этих п исходов приводят к наступлению некоторого события А. Будем называть такие исходы благоприятными для этого события (то есть событие А наступает при любом из этих исходов). Например, выпадет герб (т = 1), на кубике выпадет четное число (т = 3).

Вероятностью случайного события А в этой ситуации назовем число (отношение, дробь) т/п, где п - число всех возможных исходов эксперимента, т -- число исходов, благоприятных для события А.

Пример: Р (выпадет герб) = 1/2; Р (на кубике выпадет четное число) = 1/6.

Подчеркнем, что классическое определение вероятности можно использовать только для опытов с равновозможными исходами. Эксперимент называется классическим, если в результате его проведения реализуется множество событий, удовлетворяющих следующим условиям: все события равновозможные; они попарно несовместны; образуют полную группу событий.

Статистическое определение: вероятность приближенно равна частоте появления события А в длинной серии экспериментов.

Таблица 1

Буква

Частота

Буква

Частота

Буква

Частота

А

75

Л

42

Ц

5

Б

17

М

31

Ч

15

В

46

Н

65

Ш

7

Г

16

0

110

Щ

4

Д

30

П

28

Ъ

1

Е

87

Р

48

Ы

19

Ж

9

С

55

Ь

16

3

18

Т

65

Э

3

И

75

У

25

Ю

7

Й

12

Ф

2

Я

22

К

34

X

11

Историческая справка [52, с. 25-26]. На протяжении нескольких веков, до самого последнего времени, для печати книг, журналов и газет использовались типографские кассы с набором букв. Из них наборщик на специальной доске набирал текст каждой отдельной страницы. Затем набранная страница покрывалась типографской краской, и с нее делалось необходимое количество оттисков. Поскольку одни буквы используются значительно чаще других, количество различных букв в кассе должно быть разным. Таблица встречаемости букв показывает, в каких пропорциях должны были содержаться разные буквы в типографской кассе.

Не менее важна информация о встречаемости букв для лингвистов и шифровальщиков. Известны методы восстановления исходного текста по перехваченному зашифрованному тексту, при которых используется таблица встречаемости букв. Таблицу встречаемости букв, знаков препинания и другие статистические характеристики текста можно использовать и для выяснения вопроса об авторстве.

Так, учащимся предлагается несколько отрывков текста из произведений А.С. Пушкина. Подсчет количества букв в этих отрывках позволяет учащимся, обобщая полученные результаты, составить соответствующую таблицу (Табл. 1).

В длинной серии экспериментов (например, поиск буквы «О» в произведениях данного автора) со случайными исходами значения относительных частот близки к некоторому определенному числу. Это число принимают за вероятность данного случайного события:

Р(О) = 110 / (75 + 17 + 46 + 16 + 30 + 87 + 9 + 18 + 75 + 12 + 34 + 42 + 31 + 65 + 110 + 28 + 48 + 55 + 65 + 25 + 2 + 115 + 15 + 7 + 4 + 1 + 19 + 16 + 3 + 7 + 22) = 110 / 1099 ? 0,1.

Таким образом, вероятность случайного события приближенно равна его относительной частоте, полученной в длинной серии экспериментов. Чем больше число проведенных экспериментов, тем точнее оценивается вероятность события по его частоте.

Геометрическое определение: вероятность -- это отношение площади события В ко всей площади области А, где случайно выбирается точка. В целом геометрическую вероятность можно соотнести и с длиной, и с площадью, и с объемом. То есть Р (А) = ?А / ? ; Р (А) = SА / S ; Р (А) = VА / V - в зависимости от того, где лежат точки, соответствующие исходам эксперимента - на линии, на плоскости или в трехмерном пространстве.

/

/

Пусть в некоторой области А (рис. 1) случайно выбирается точка (точку наудачу бросают в фигуру А на плоскости.). Если предположить, что попадание в любую точку области равновозможно, то вероятность попадания случайной точки в любую подобласть В будет равна отношению площадей Р(В) = S(B) / S(A).

Если возникает вопрос: какова вероятность того, что точка попадет в некоторую фигуру В, которая содержится в фигуре А? То ответ зависит от того, какой смысл мы вкладываем в выражение «бросить точку». Обычно это выражение трактуют так: 1) брошенная точка может попасть в любую часть фигуры А; 2) Вероятность того, что точка попадет в некоторую фигуру В внутри фигуры А, прямо пропорциональна площади фигуры В.

Таким образом, пусть S(B) и S(A) -- площади фигур B и A. Вероятность события «точка X принадлежит фигуре B, которая содержится в фигуре A», равна Р(В) = S(B) / S(A).

Если фигура имеет нулевую площадь, то вероятность попадания точки в эту фигуру равна нулю. Например, вероятность попадания в точку или на отрезок будет нулевая.

Так, например, пусть из треугольника ABC случайным образом выбирается точка X. Найти вероятность того, что она принадлежит треугольнику, вершинами которого являются середины сторон треугольника ABC.

/

/

Средние линии «разбивают» треугольник ABC на четыре равных треугольника, площадь каждого из которых обозначим через S (рис. 2). Стороны данных треугольников в два раза меньше исходного треугольника, а площади соответственно пропорциональны с коэффициентом k2 = 22 = 4 (треугольники подобны по «трем пропорциональным сторонам»). Тогда площадь треугольника ABC в четыре раза больше каждого из получившихся треугольников. Событие, заданное в условии задачи, заключается в том, что точка X принадлежит треугольнику LMN.

Вероятность искомого события:

S LMN / S АВС = 1/4.

Еще пример. Найти вероятность того, что точка, случайно выбранная из отрезка [-100; 100], принадлежит отрезку [1/100; 1/2].

Исходя из смысла геометрической вероятности, найдем

Р(1/100 ? х ? 1/2) = ( 1/2 - 1/100 ) / (100 - (- 100) ) = 0,49 / 200 = 0,00245

Необходимо заметить, что только классическое и геометрическое определения вероятности позволяют точно определить вероятность в рамках математической модели, не обращаясь к опыту. В свою очередь, частотное определение наполняет классическое и геометрическое определения реальным смыслом: именно к указанным в них априорным величинам будет стремиться частота в статистических экспериментах (если, конечно, выбранная модель соответствует реальной ситуации) [21, с. 102].

Аксиоматическое определение вероятности обобщает представленные выше определения. Аксиоматическое определение вероятности связано с именем российского математика А.Н. Колмогорова (начиная с 1933 г.).

Пусть ? -- множество всех возможных исходов некоторого случайного эксперимента. Если множество ? конечно, то обозначим его элементы (исходы эксперимента) щ1, щ2, … щn . Если множество ? бесконечно, то щ1, щ2, щ3, Таким образом, множество всех возможных исходов некоторого случайного эксперимента ? = { щ1, щ2, …, щn } (если множество ? конечно). ? = { щ1, щ2, щ3, … } (если множество ? бесконечно).

Зададим [21] на элементах множества ? числовую функцию р (щ), которая называется распределением вероятности на ?, для которой выполнены условия (аксиомы):

1) р (щi) ? 0, для всех щi -- значения функции р (щi) являются неотрицательными.

2) р (щ1) + р (щ2) + р (щ3) + … = р (?) = 1 -- вероятность достоверного события равна единице.

3) Если события щ1, щ2, щ3, …- несовместны, то р (щ1 + щ2 + щ3 + …) = р (щ1) + р (щ2) + р (щ3) + … -- аксиома счетной аддитивности.

Понятно, что введенное таким образом определение вероятности обладает и следующим свойствами:

1. Функция р (щi) определена для любых подмножеств множества нулевой вероятности: р (Ш) = 0 - вероятность невозможного события равна нулю - аксиома полноты.

2. 0 < Р(А) <1 - вероятность принимает значения из промежутка [0; 1].

Пара (?, р (щ) ) называется вероятностным пространством. Случайным событием А назовем любое подмножество элементов из множества щi, а его вероятностью Р(А) -- сумму вероятностей входящих в него исходов. В частности, вероятностью элементарного события щk будет сопоставленное ему число р (щk).

Возможно определение аксиоматической вероятности и без явного использования понятия функции.

Это выполняется следующим образом [22].

Вероятность события - это численная мера объективной возможности его появления. Она удовлетворяет аксиомам вероятности:

1. Каждому событию А ставится в соответствие неотрицательное число р, которое называется вероятностью события А: Р(А) = р ? 0, где AS, S ?.

2. Если события А1 , А2, ..., Ап несовместны, то верно равенство:

Р(А1 + А2 +...+ Ап) = Р(А1) + Р(А2) + ... + Р(Ап), где AS (i = l,2,...,n ), S

?.

3. Р(?)=1, где ? - истинное (достоверное) событие.

Пространство элементарных событий ? с заданной в нем алгеброй S (или у-алгеброй) и определенной на S вероятностью - неотрицательной мерой Р(А), AS называется вероятностным пространством и обозначается (?, S, Р). Вероятностное пространство служит математической моделью любого случайного явления в теории вероятностей.

Аксиоматический подход не указывает, как конкретно находить вероятность, поэтому для решения задач целесообразно использовать подходы к определению вероятности, которые перечислены выше.

2. Последовательности изложения трактовок понятия вероятность в учебных пособиях

В существующих учебных пособиях имеют место такие последовательности изложения данных понятий:

1) статистическое классическое геометрическое аксиоматическое (Е.А. Бунимович, В.А. Булычев);

2) классическое геометрическое статистическое (Ю.Н. Тюрин, А.А. Макаров, И.Р. Высоцкий и др.);

3) классическое статистическое геометрическое (М.В. Ткачева, Н.Е. Федорова);

4) классическое статистическое (А.Г. Мордкович, П.В. Семенов);

5) статистическое классическое (Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк).

6) статистическое классическое геометрическое (Г.В. Дорофеев, С.Б. Суворова, Е.А. Бунимович, Л.В. Кузнецова, С.С. Минаева).

Как видим, имеется значительное разнообразие не только в трактовках вероятности, но и в различных последовательностях формирования понятия вероятности.

Во-первых, заметим, что фактически ни в одном учебном пособии не используется лишь одна какая-либо трактовка понятия вероятности. Понятно, что применения одной трактовки вероятности не достаточно для раскрытия всех основных аспектов данного феномена.

Наиболее тривиальной и «узкой» является классическая трактовка вероятности. Ей присущи наименьшая сложность и трудность процесса формирования и овладения данным понятием. Не случайно, что именно данная трактовка используется в процессе изучения элементов стохастики школьниками начальных классов (С.И. Воробьева). Поэтому, в соответствии с дидактическими принципами доступности, систематичности и последовательности обучения, более целесообразно начать изучение с наиболее простого учебного материала, «продвигаясь» далее к более сложному.

Статистическое определение вероятности отличается от классического существенно большей универсальностью применения. Оно фактически является родовым понятием для классического, поскольку является более широким понятием, содержащим классическое. Классическая вероятность - частный случай статистической вероятности. С достаточной мерой условности соотношение между основными трактовками понятия вероятности схематически можно изобразить следующим образом (рис. 3). Все три указанные вероятности на рисунке обобщаются и математически моделируются аксиоматической вероятностью. Геометрическая вероятность - геометрическая интерпретация классической и статистической вероятности посредством отношения площадей фигур.

вероятность трактовка аксиоматический геометрический

/

/

Рис. 3.

Область статистической вероятности применимости весьма широка. Само по себе название «статистическая вероятность» говорит уже о том, что на ее основе возможно оперирование не только вероятностными, но и статистическими категориями.

Поэтому, резюмируя сказанное выше, дальнейшее логичное и последовательное расширение понятия классическая вероятность целесообразно осуществить в процессе изучения статистической вероятности.

3. Задачи, решаемые, в процессе изучения геометрической вероятности

Как уже отмечено выше, геометрическая вероятность является интерпретацией классической и статистической вероятности посредством отношения площадей геометрических фигур. Понятно, что нахождение данного отношения требует сформированной совокупности умений вычислять площади фигур, по крайней мере, курса планиметрии. Это значительный и важный раздел планиметрии. Поэтому, понятно, почему некоторые авторы (М.В. Ткачева, Е.Н. Федорова) учебных пособий курса теории вероятностей и математической статистики относят изучение геометрической вероятности к трудным (отмечают «звездочкой» этот параграф) или дополнительным разделам данного курса.

Между тем, сам по себе этот геометрический раздел не относят к дополнительным или особо трудным разделам школьного курса геометрии. Многие задачи, решаемые, в этом разделе являются стандартными и не вызывают существенных затруднений. Поэтому путем разрешением этого противоречия в процессе изучения геометрической вероятности представляется решение проблемы актуализации необходимых геометрических знаний, навыков и умений, которые необходимы в процессе изучения геометрической вероятности и соответствующего временного «сближения» изучения площадей планиметрических фигур и геометрической вероятности.

Таким образом, необходимым математическим (геометрическим) аппаратом для изучения геометрической вероятности школьники овладевают в основном после изучения главы «Площадь» в курсе геометрии восьмого класса. Соответственно, изучение геометрической вероятности необходимо осуществить после изучения данной темы в курсе геометрии. При этом не целесообразно и значительное временное разделение этих тем («Площадь» и « «Геометрическая вероятность») в процессе изучения геометрии и теории вероятностей и математической статистики.

Хотя имеются учебные пособия, изучение понятия геометрическая вероятность в которых не предусматривается. Но в подавляющем большинстве пособий такой подраздел имеется и целесообразность его изучения не вызывает особых сомнений, так как:

1. Реализуется принцип наглядности в обучении математике. Это весьма важно для учащихся, в мыслительной деятельности которых наглядно-образный компонент является доминирующим.

2. При этом в наглядно-образной форме расширяются представления школьников о вероятности случайных событий.

3. Осуществляется интеграция курсов планиметрии и теории вероятностей и математической статистики, что ведет к более глубокому пониманию изучаемого материала и реализации внутрипредметных связей курса математики в целом.

4. Использование геометрических умений важно и в процессе наглядного оперирования над событиями с помощью диаграмм Эйлера-Венна, поэтому актуализация геометрических знаний и умений в процессе изучения вероятностно-статистической линии курса математики важна и целесообразна, причем неоднократно.

4. Формирование аксиоматического понятия вероятности

Классическая, статистическая и геометрическая вероятности обобщаются и математически моделируются аксиоматической вероятностью.

Это наиболее абстрактное представление понятия вероятности. Оно представлено лишь в учебных пособиях одной группы авторов (Е.А. Бунимович, В.А. Булычев).

Что особенно значимо, так это тот факт, что данные пособия предназначены не для углубленного изучения, а для базового курса математики 5-9 и 5-11 классов. Хотя раздел, в котором предусмотрено изучение аксиоматической вероятности, помечен авторами как необязательный и сложный для изучения.

Заметим, при этом, что понятие аксиоматической вероятности представлено авторами учебного пособия в самой элементарной интерпретации:

а) рассматривается конечное множество всех возможных исходов некоторого случайного эксперимента;

б) формируется представление о том, что вероятность достоверного события равна единице (р (щ1) + р (щ2) + … + р (щn) = 1);

в) представления о том, что вероятность невозможного события равна нулю и вероятность суммы несовместных событий равна сумме этих вероятностей, сформированы ранее в процессе изучения статистической и классической вероятностей.

Необходимо отметить, что формирование понятия аксиоматической вероятности обладает весьма важным образовательным потенциалом:

1. Формируется важная составляющая научного мировоззрения вероятностно-статистической линии школьного курса математики. Значительное многообразие научной и иной деятельности человека обладает аксиоматическим построением (естественнонаучные дисциплины, музыка, многие виды игровой деятельности и мн. др.).

2. Реализуются важнейшие концепции математического образования: гуманизации, гуманитаризации и фундаментализации математического образования в процессе обучения. Формирование представлений об аксиоматическом строении многих областей деятельности человека, в том числе и в теории вероятностей, содействует усилению мотивации учебной деятельности школьников, а также способствует формированию представлений о предмете и методах математики, её ведущих идеях и понятиях, связи с другими науками и практикой. При этом реализуется важное направление фундаментализации математического образования, подразумевающее необходимость формирования представлений об аксиоматическом методе конструирования математических теорий, методах научного познания, методах математики.

3. Достигаются следующие основные требования к уровню подготовки выпускников в процессе обучения математике:

в результате изучения математики ученик должен понимать

- роль аксиоматики в математике; возможность построения математических теорий на аксиоматической основе; значение аксиоматики для других областей знания и для практики (профильный уровень);

- универсальный характер математики, широту применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе; вероятностный характер различных процессов и закономерностей окружающего мира (базовый уровень).

4. Реализуются основные цели обучения математике: формирование представлений об идеях и методах математики, о математике как универсальном языке науки и части общечеловеческой культуры; развитие способностей, необходимых для самостоятельной деятельности в области математики и ее приложений в будущей профессиональной деятельности.

Не случайно даже в образовательных стандартах, раскрывающих особенности изучения теории вероятностей в вузе доминирующим требованием является необходимость изучения аксиоматической трактовки понятия вероятности.

Потому целесообразность изучения аксиоматической вероятности не вызывает сомнений, а в процессе профильного обучения ее изучение является попросту обязательным.

Формирование понятий классической, статистической и геометрической вероятности не представляет существенных затруднений и осуществляется в соответствии с известными этапами формирования математических понятий: мотивация изучения понятия; выделение существенных свойств понятия; усвоение логической структуры определения понятия; применение понятия; установление связей изучаемого понятия с другими понятиями.

Наиболее нетривиальным является формирование аксиоматического понятия вероятности. Даже самый первый этап (мотивация) может вызвать недоумение: с чего начать? Ответом на этот вопрос является сообщение, беседа, рассказ об аксиоматическом строении математики, игр, музыки и многих других областей деятельности человека. В лаконичной форме иллюстрирует суть этого содержание таблицы (табл. 3).

Таблица 3

Область деятельности человека

Основные неопределяемые понятия

Аксиомы, принципы построения теории

«Развертывание теории» области деятельности

Математика

Геометрия

Евклида

1) точка;

2) прямая;

3) плоскость;

и др.

1) через любые две точки проходит прямая и притом только одна;

2) через точку, не лежащую на прямой проходит только одна прямая параллельная данной;

3) из трех точек лежащих на одной прямой одна и только одна лежит между двумя другими;

и др.

Все многообразие совокупности понятий и теорем геометрии Евклида

Алгебра

1) число;

2) множество;

и др.

1) a+b=b+a;

2) a+(b+c)=(a+b)+c;

3) a•(b•c)=(a•b);

и др.

Вся совокупность понятий алгебры действительных чисел, теорем, лемм и др.

Игровая

Шашки

1) фигуры (шашка, дамка);

2) поле с клетчаткой

исходная расстановка фигур;

правила движения фигур;

3) видоизменения фигур (превращения);

4) правила «уничтожения» фигур противника

Различные варианты комбинаций, игровых ситуаций, выводимых дедуктивно

Шахма-ты

1) фигуры (король, ферзь, пешка, ладья, конь, слон);

2) поле с клетчаткой

Домино

Фигуры (28 пластинок, на которых нанесено число очков)

Музыкальная

1) высота;

2) длительность;

3) громкость;

4) тембр;

5) нотный стан

1) законы построение аккордов по терциям;

2) построение музыкальных мелодий по законам гармонии;

3) местоположение каждого аккорда;

4) разрешение неустойчивых нот в устойчивые;

5) закон Вебера-Фехнера - чувственное восприятие пропорционально логарифму раздражителя: loga b+c;

и др.

Все многообразие гармонических сочетаний звуков и мелодий. Всего 10100 сочетаний семи нот в определенном темпе и порядке, различной громкости и частоты

Любая математическая теория основана на первичных, исходных, неопределяемых понятиях и правилах их взаимодействия - аксиомах, принципах, постулатах. Например, в геометрии Евклида такими понятиями являются точка, прямая, плоскость, а правила их взаимодействия определяются аксиомами евклидовой геометрии. Все многообразие геометрических понятий, теорем, лемм, формул и т.д. выводится на основе правил вывода (математической логики) из исходных понятий и аксиом.

Эти факты имеют иллюстрирующий классический пример, основанный на использовании игр, знакомых школьникам.

Роль исходных понятий геометрии выполняют в данном примере фигуры, участвующие в игре (шашка, дамка) и поле игры - игровая доска размером 8х8 (10х10), а также связывающие эти фигуры правила игры (аксиомы геометрии, принципы) - как ходят фигуры, как преобразуются шашки, достигнув конца поля, как «бьют» фигуры противника. Все многообразие игровых ситуаций, которое получается из исходной расстановки фигур по правилам игры, есть аналог всему многообразию теории геометрии - геометрических понятий, теорем и т. д.

Аналогичен пример и в такой области деятельности человека, как музыка.

Не случайно отмечал профессор, композитор, заслуженный деятель искусств Мордовии Гавриил Вдовин, что музыка - это математика, что есть семь нот, которые можно сочетать в различном темпе и порядке, с различной громкостью, а число таких сочетаний - 10100 (гугол).

То есть, исходными понятиями музыки являются высота, длительность, громкость, тембр и др. Правилами (аксиомами), которые связывают исходные музыкальные понятия, являются законы построения аккордов по терциям, построение музыкальных мелодий по законам гармонии и др. А все многообразие сочетаний, полученных из исходных понятий в соответствии с образным выражением композитора Г. Вдовина, представляет собой совокупность (10100) всевозможных гармонических (приятных) и энгармонических («режущих» слух) звуков.

Далее, в процессе следующих этапов формирования понятия аксиоматической вероятности, целесообразно ограничиться конечным случаем ? - множества всех возможных исходов некоторого случайного эксперимента. Поскольку корректное оперирование бесконечными совокупностями (или последовательностями, рядами) требует специальных знаний, умений и навыков. Именно так и поступили авторы учебного пособия (Е.А. Бунимович, В.А. Булычев), которые ограничились самой элементарной интерпретацией аксиоматической вероятности:

«Пусть ? - множество всех возможных исходов некоторого случайного эксперимента. Будем считать, что множество ? конечно, и обозначать его элементы (т. е. исходы эксперимента) щ1, щ2, …, щn:

? = { щ1, щ2, …, щn }.

Зададим на элементах множества ? неотрицательную числовую функцию р (щ), для которой

р (щ1) + р (щ2) + … + р (щn) = 1 .

Эту функцию будем называть распределением вероятности (курсив авторов - И.В.) на ?, а пару (?,p) - вероятностным пространством.

Случайным событием А назовем любое подмножество элементов из множества щ, а его вероятностью P(A) - сумму вероятностей входящих в него исходов. В частности, вероятностью элементарного события {щ} будет сопоставленное ему число р (щ)» [21, с. 103].

Понятно, что свойства аксиоматической вероятности уже знакомы учащимся в процессе изучения классической и статистической вероятности:

1. р (щ1) + р (щ2) + … + р (щn) = 1 -- вероятность достоверного события равна единице.

2. Если события щ1, щ2, щ3, …- несовместны, то

р (щ1 + щ2) = р (щ1) + р (щ2)

3. р (Ш) = 0 - вероятность невозможного события равна нулю.

4. 0 < Р(А) <1 - вероятность принимает значения из промежутка [0; 1].

Аналогия с классической и статистической вероятностями очевидна. Поэтому существенных затруднений усвоение данных свойств не вызывает.

Непривычным уровнем абстрактности в определении аксиоматической вероятности для школьников отличается понятие некоторой функции р (щ), для которой заданы определенные условия. Во-первых, школьникам более привычным является представление функции в виде записи посредством буквенного обозначения через y и x - y = f (x), во-вторых, более привычно задание конкретной формулы, например y = 5x, y = x2, y = k/x и т. п.

Преодолеть это затруднение возможно посредством актуализации способа табличного представления функций, а, затем, приведения и детального анализа достаточного числа конкретных примеров. Данная актуализация совершенно необходима, так как табличное представление функций изучается школьниками в седьмом классе, а изучение аксиоматической вероятности осуществляется в силу ранее указанных причин, не ранее восьмого-девятого классов.

Нужно отметить, что, не актуализируя табличного представления функций, авторы указанного выше учебного пособия приводят значительное число иллюстрирующих примеров, позволяющих сформировать у школьников представление о функции р (щ).

Заключение

Таким образом, необходимо сделать следующие выводы:

1. В курсе «Элементы комбинаторики, теории вероятностей и математической статистики» имеются следующие способы определения вероятности: классическое; статистическое; геометрическое; аксиоматическое.

2. В существующих учебных пособиях имеют место такие последовательности изложения трактовок данного понятия:

1) статистическая классическая геометрическая аксиоматическая;

2) классическая геометрическая статистическая;

3) классическая статистическая геометрическая;

4) классическая статистическая;

5) статистическая классическая;

6) статистическая классическая геометрическая.

3. Задачи, решаемые, в процессе изучения геометрической вероятности, в целом являются стандартными геометрическими задачами раздела планиметрии и не относятся к дополнительным или особо трудным разделам школьной геометрии и, соответственно, не вызывают существенных затруднений.

Изучение геометрической вероятности содействует:

1) реализации принципа наглядности в обучении математике. Это весьма важно для учащихся, в мыслительной деятельности которых наглядно-образный компонент является доминирующим;

2) интеграции курсов планиметрии и теории вероятностей, что ведет к более глубокому пониманию изучаемого материала и реализации внутрипредметных связей курса математики в целом.

4. Формирование аксиоматического понятия вероятности необходимо на профильном уровне подготовки учащихся в процессе обучения математике.

Изучение аксиоматической вероятности способствует:

1) достижению основных требований к уровню подготовки выпускников в процессе обучения математике. В результате изучения математики ученик должен понимать: роль аксиоматики в математике, возможность построения математических теорий на аксиоматической основе, значение аксиоматики для других областей знания и для практики (профильный уровень); универсальный характер математики, широту применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе;

2) реализации основных целей обучения математике: формирование представлений об идеях и методах математики, о математике как универсальном языке науки и части общечеловеческой культуры;

3) формированию научного мировоззрения учащихся, а также реализации концепций гуманизации, гуманитаризации и фундаментализации математического образования в процессе обучения.

5. В процессе обучения более целесообразной является такая последовательность изложения основных трактовок понятия «вероятность»: классическая статистическая геометрическая аксиоматическая, так как:

1) наиболее тривиальной и «узкой» является классическая трактовка вероятности. Ей присущи наименьшие сложность и трудность процесса формирования и овладения данным понятием;

2) статистическое определение вероятности отличается от классического существенно большей универсальностью применения, а на ее основе возможно оперирование не только вероятностными, но и статистическими категориями. Соответственно, логичное и последовательное расширение понятия классическая вероятность целесообразно осуществить в процессе изучения статистической вероятности;

3) геометрическая вероятность является интерпретацией классической и статистической вероятности посредством отношения площадей геометрических фигур, что требует сформированной совокупности умений вычислять площади фигур. Соответственно, необходима актуализация геометрических знаний, навыков и умений и целесообразно соответствующее временное «сближение» изучения площадей планиметрических фигур и геометрической вероятности (восьмой класс);

4) классическая, статистическая и геометрическая вероятности обобщаются и математически моделируются аксиоматической вероятностью.

6. Формирование аксиоматического понятия вероятности нетривиально. В процессе его формирования необходимо учитывать следующие методические особенности:

1) этап мотивации целесообразно осуществить в процессе формирования у учащихся представлений об аксиоматическом строении математики, игр, музыки и др. областей деятельности человека (табл. 1);

2) на следующих этапах формирования понятия аксиоматической вероятности, целесообразно ограничиться конечным случаем ? - множества всех возможных исходов некоторого случайного эксперимента. Корректное оперирование бесконечными совокупностями (последовательностями, рядами) требует специальных знаний, умений и навыков;

3) при формировании понятия функции р (щ) необходима актуализации табличного способа представления функций, а, затем, приведение и детальный анализ достаточного числа конкретных примеров;

4) в процессе изучения свойств аксиоматической вероятности целесообразно использование аналогии со свойствами классической и статистической вероятностей.

Список использованных источников

1. Афанасьев, В.В. Школьникам о вероятности и играх. Введение в теорию вероятностей для учащихся 8-11 классов/ В.В. Афанасьев, М.А. Суворова. - Ярославль: Академия развития, 2006.

2. Бродский, Я.С. Статистика. Вероятность. Комбинаторика / Я.С. Бродский.- М.: ООО «Издательство Оникс»: ООО «Издательство «Мир и Образование»», 2008.

3. Булычев, В.А. Изучение теории вероятностей и статистики в школьном курсе математики. Программа для курсов повышения квалификации учителей /В.А. Булычев, Е.А. Бунимович // Математика в школе.- 2003. - №4.

4. Бунимович, Е.А. Вероятностно-статистическая линия в базовом школьном курсе математики / Е.А. Бунимович // Математика в школе.- 2002. - №4.

5. Вероятность и статистика. 5-9 кл.: пособие для общеобразовательных учебных заведений / Е.А. Бунимович, А.А. Булычев -- 2-е изд., -- М.: Дрофа, 2004.

6. Егорченко, И.В. Методика изучения элементов комбинаторики, теории вероятностей и математической статистики: учебное пособие / И.В. Егорченко, - Саранск, 2011.

7. Ивашев-Мусатов, О.С. Начала теории вероятностей для школьниковю. / Ивашев-Мусатов.- М.: ИЛЕКСА, 2009.

8. Колмогоров, А.Н. Введение в теорию вероятностей/ А.Н. Колмагоров, И.Г. Журбенко, А.В. Прохоров. - М. : Наука, 1982.(Библиотечка «Квант». Вып.23).

9. Мордкович, А.Г. События. Вероятности. Статистическая обработка данных: дополнительные параграфы к курсу алгебры 7-9 кл. общеобразовательных учреждений / А.Г. Мордкович, П.В. Семенов.- 5-е изд. - М.: Мнемозина, 2008.

10. Мордкович, А.Г. События. Вероятности. Статистическая обработка данных / А.Г. Мордкович, П.В. Семенов // Математика (приложение к газете «Первое сентября»).- 2002.-№34, 35, 41, 43 44, 48, -2003. -№11, 17.

11. Основы статитики и вероятность. 5-11 кл.: учебное пособие / Е.А. Бунимович, А.А. Булычев. - М.: Дрофа, 2008

12. Решение задач по статистике, комбинаторике и теории вероятностей, 7-9 классы / Автор-составитель В.Н. Студенецкая.- Волгоград: Учитель, 2005.

13. Теория вероятностей и статистика / Ю.Н. Тюрин, А.А. Макаров, И.Р. Высоцкий, И.В. Ященко. - 2-е изд., переработанное.- М.: МЦНМО: ОАО «Московские учебники», 2008.

14. Ткачева, М.В. Элементы статистики и вероятность: учебное пособие для 7-9 классов общеобразовательных учреждений / М.В. Ткачева, Н.Е. Федорова. - 4-е изд. - М.: Просвещение, 2007.

ref.by 2006—2019
contextus@mail.ru