Рефераты - Афоризмы - Словари
Русские, белорусские и английские сочинения
Русские и белорусские изложения
 
У нас есть несколько работ на данную тему. Вы можете создать свою уникальную работу объединив фрагменты из уже существующих:
  1. Организация статистического контроля качества дорожно-строительных работ. Статистическая обработка результатов измерений 3 Кб.
  2. Статистическая обработка результатов измерений 51.9 Кб.
  3. Статистическая обработка результатов измерений 22.9 Кб.

Статистическая обработка результатов измерений

Работа из раздела: «Математика»

/

Содержание

Контрольная работа № 1. Обработка многократных измерений

Цель работы - освоение основных приемов статистической обработки результатов многократных измерений.

Измерения - один из важнейших путей познания природы человеком. Они играют огромную роль в современном обществе. Наука и промышленность не могут существовать без измерений. Практически нет ни одной сферы деятельности человека, где бы интенсивно не использовались результаты измерений, испытаний и контроля.

Многократные измерения - измерения, при которых число измерений превышает число измеряемых величин в n/m раз, где n - число измерений каждой величины, m - число измеряемых величин. Обычно для многократных измерений принято n > или = 3. Многократные измерения проводят с целью уменьшения влияния случайных составляющих погрешностей измерения.

Диапазон измерительных величин и их количество постоянно растут и поэтому возрастает и сложность измерений. Они перестают быть одноактным действием и превращаются в сложную процедуру подготовки и проведения измерительного эксперимента и обработки полученной информации.

Другой причиной важности измерений является их значимость. Основа любой формы управления, анализа, прогнозирования, контроля или регулирования - достоверная исходная информация, которая может быть получена лишь путем измерения требуемых физических величин, параметров и показателей. Только высокая и гарантированная точность результатов измерений обеспечивает правильность принимаемых решений.

измерение статистическая обработка массив

Таблица 1

Протокол результатов измерений

7,74

7,93

7,94

8,3

7,75

7,87

7,38

7,92

7,87

7,85

8,33

7,66

7,91

7,85

8,13

8,08

8,16

8,31

7,68

7,79

8,17

7,72

8,22

8,11

8,16

8,3

7,94

8,34

8,37

7,93

8,06

8,17

Построим вариационный ряд значений результатов измерений (рис.1).

Xmax = 8,37

Xmin = 7,38

Wn = Xmax - Xmin = 0,99 - размах варьирования.

r = 5 - число интервалов.

h = 0,99/5 = 0, 198 - шаг интервала.

Результаты расчетов представлены в табл.2.

Таблица 2

Таблица данных для построения гистограммы

Номер интервала

Интервал

Среднее значение в интервале

Число значений в интервале nk (частота)

Частость (nk/n)

Начало

Конец

1

7,380

7,578

7,479

1

0,0313

2

7,578

7,776

7,677

5

0,1563

3

7,776

7,974

7,875

11

0,3438

4

7,974

8,172

8,073

8

0,2500

5

8,172

8,370

8,271

7

0,2188

Построим гистограмму (рис.2). На ней проведем кривую, сглаживающую гистограмму. Далее рассчитаем теоретическую кривую вероятности попадания результата отдельного измерения в k-й интервал в виде табл.3 и сплошной линии на гистограмме по значениям Pk.

Рисунок 1

Рисунок 2

Рассчитаем необходимые точечные значения:

= = 255,94/32 = 7,998.

Sx2 = = = 0,058.

Sx = = = 0,241.

= (7,94 + 7,38) / 2 = 7,935.

= 7,87.

= = = 0,043.

Судя по графику нельзя утверждать, что результаты измерений подчиняются нормальному закону распределения. Подтвердить или опровергнуть эту гипотезу помогут дальнейшие расчеты.

Таблица 3

Данные для построения кривой теоретических вероятностей

Номер границы инт. k

Значение границы интервала

Zk =

Ф (Zk)

Pk = Ф (Zk+1) - Ф (Zk)

1

7,38

-2,5658

0,0051

2

7,578

-1,7439

0,0406

0,0354

3

7,776

-0,9220

0,1783

0,1377

4

7,974

-0,1001

0,4601

0,2819

5

8,172

0,7218

0,7648

0,3047

6

8,37

1,5437

0,9387

0,1739

Проверим результаты измерений на промахи по формулам:

и

= = 1,568

= = 2,607

кр = 2,792.

Поскольку рассчитанные значения меньше критического значения, промахи в измерениях отсутствуют.

Нанесем на график значения фактической и теоретической вероятностей (рис.3).

Ф (Zk) = - интегральная функция нормированного нормального распределения.

Р2 = Ф2 - Ф1

Р3 = Ф3 - Ф2

Р4 = Ф4 - Ф3

Р5 = Ф5 - Ф4

Р6 = Ф6 - Ф5

Р2 = 0,0406 - 0,0051 = 0,0354

Р3 = 0,1783 - 0,0406 = 0,1377

Р4 = 0,4601 - 0,1783 = 0,2819

Р5 = 0,7648 - 0,4601 = 0,3047

Р6 = 0,9387 - 0,7648 = 0,1739

Согласно графикам, предположение о нормальном законе распределения не подтверждается. Поскольку вид распределения установить не удается, определим погрешность результата измерения с помощью неравенства Чебышева:

?.

При = 0,90, = 3,2 * .

Т.е. интервал с вероятностью, большей или равной 0,90, накрывает неизвестное истинной значение. Вместо будем использовать выборочную оценку .

Доверительный интервал будет следующим:

Хист = 7,988 ± 3,2 * 0,043 = 7,998 ± 0,136. = 0,90. n = 32.

Вид распределения не установлен.

Рисунок 3

Контрольная работа № 2. Проверка гипотезы о виде распределения

Цель работы - Освоить основные методы и приемы проверки гипотезы о виде закона распределения результатов отдельных измерений методом линеаризации интегральной эмпирической функции распределения (метод вероятностной бумаги) с помощью критерия Колмогорова и критерия согласия ч2 на примере нормального распределения.

Проверка гипотезы о виде закона распределения заключается в том, чтобы установить, не противоречат ли данные выборочных наблюдений выдвинутой гипотезе. С этой целью производится количественная оценка степени достоверности предлагаемой гипотезы, которая осуществляется с помощью специальных построенных критериев.

1. Использование вероятностной бумаги.

Расположим результаты измерений в неубывающем порядке (табл.4).

Построим график, нанеся по оси абсцисс точки с координатами, равными Хi, а по оси ординат - Zi. Расположение точек на графике вдоль прямой, подтверждает линейную зависимость между экспериментальными значениями измерений Хi и теоретическими Zi, что свидетельствует о возможности принятия гипотезы о виде закона распределения. Согласно графика, среднее значение Х - около 8. По расчетным результатам в работе № 1 Хср = 7,988. Поэтому можно сделать вывод о том, что экспериментальные значения не подвержены нормальному закону распределения. Вид распределения не установлен.

Таблица 4

Данные для проверки закона распределения по вероятностной бумаге

Номер точки i

Xi

Fn (Xi) = Ф (Zi)

Zi

1

7,38

0,0303

-1,8764

2

7,66

0,0606

-1,5497

3

7,68

0,0909

-1,3352

4

7,72

0,1212

-1,1689

5

7,74

0,1515

-1,0300

6

7,75

0,1818

-0,9085

7

7,79

0,2121

-0,7991

8

7,85

0,2424

-0,6985

9

7,85

0,2727

-0,6046

10

7,87

0,3030

-0,5157

11

7,87

0,3333

-0,4307

12

7,91

0,3636

-0,3488

13

7,92

0,3939

-0,2691

14

7,93

0,4242

-0, 1911

15

7,93

0,4545

-0,1142

16

7,94

0,4848

-0,0380

17

7,94

0,5152

0,0380

18

8,06

0,5455

0,1142

19

8,08

0,5758

0, 1911

20

8,11

0,6061

0,2691

21

8,13

0,6364

0,3488

22

8,16

0,6667

0,4307

23

8,16

0,6970

0,5157

24

8,17

0,7273

0,6046

25

8,17

0,7576

0,6985

26

8,22

0,7879

0,7991

27

8,3

0,8182

0,9085

28

8,3

0,8485

1,0300

29

8,31

0,8788

1,1689

30

8,33

0,9091

1,3352

31

8,34

0,9394

1,5497

32

8,37

0,9697

1,8764

2. Проверка нормальности по критерию Колмогорова.

Критическое значение наибольшего отклонения эмпирической функции распределения от теоретической для доверительной вероятности Рд = 0,90 равно Dn, кр = 0,22.

Построим график эмпирической функции распределения Fn (Xi) (по данным табл.4) в виде ступенчатой ломаной линии полагая, что функция имеет постоянную величину от измерения до измерения, а в самой измеренной точке Хi имеет рост до соответствующего расчетного значения Fn (Xi).

Рассчитаем данные для проверки закона распределения по критерию Колмогорова (табл.5).

Таблица 5

Данные для проверки закона распределения по критерию Колмогорова

Номер границы инт. k

Значение границы интервала

Ф (Zk)

Ф (Zk) - Dn, кр

Ф (Zk) + Dn, кр

1

7,38

0,0051

-

0,2251

2

7,578

0,0406

-

0,2606

3

7,776

0,1783

-

0,3983

4

7,974

0,4601

0,2401

0,6801

5

8,172

0,7648

0,5448

0,9848

6

8,37

0,9387

0,7187

-

Согласно графика во всем интервале значений Xi максимальное значение отклонение наблюдается во 2-м интервале. Оно выходит за пределы нижней границы доверительной полосы. Поэтому гипотеза о нормальности закона распределения отвергается. Вид распределения не установлен.

3. Использование критерия согласия ч2.

Таблица 6

Данные для проверки закона распределения по критерию согласия Пирсона

Номер интер-вала

Интервал

Число значений в интервале nk (частота)

Pk

nPk

Начало

Конец

1

7,38

7,578

1

0,0354

1,13401

0,0158

2

7,578

7,776

5

0,1377

4,40539

0,0803

3

7,776

7,974

11

0,2819

9,01961

0,4348

4

7,974

8,172

8

0,3047

9,74923

0,3139

5

8,172

8,37

7

0,1739

5,56435

0,3704

Итого

1,2152

Вычислим ч2 по формуле:

ч2 = = 1,2152.

Критическое значение ч2н, кр для одностороннего уровня значимости б = 0,10 и н = r - 3 имеет значение 5,991. Поскольку ч2 < ч2н, кр, поэтому гипотеза о нормальном распределении теоретически принимается.

Согласно различным критериям, рассматриваемые измерения не подчиняются нормальному закону распределения. Установить его невозможно.

Доверительный интервал будет следующим:

Хист = 7,988 ± 3,2 * 0,043 = 7,998 ± 0,136. = 0,90. n = 32.

Контрольная работа № 3. Объединение результатов измерений

Цель работы - Изучить основные особенности объединения результатов разных серий измерений в общий массив.

Измерительную информацию о физической величине постоянного (одного и того же) размера часто получают в разное время, в разных условиях, разными методами, разные операторы. Если объединить все результаты измерений в общий массив, то можно получить более точный и надежный результат за счет увеличения объема выборки. Однако объединение возможно только при условии однородности и равноточности серий.

Таблица 7. Дополнительный протокол результатов измерений

10,01

10,09

9,72

10,13

10,05

10,36

9,9

9,89

9,85

10,01

9,91

10,5

9,76

9,9

10,17

9,91

9,9

9,76

10,28

9,93

9,98

9,85

9,52

10,07

10,11

9,69

9,88

10,27

9,9

10,2

9,86

9,86

Рассчитаем оценки параметров распределения:

= = 319,22/32 = 9,976.

Sx2 = = = 0,0425.

Проверим равноточность измерений в сериях (для основного и дополнительного протоколов) по F-критерию на уровне значимости б = 0,05.

F = = = 1,365.

Fкр = 1,84.

Поскольку F < Fкр, гипотеза о равноточности дисперсий принимается.

Рассчитаем объединенную оценку дисперсий:

S2X, об = = = 1,558.

Рассчитаем критерий однородности по формуле:

t = = = 1,978., tкр = 2,04.

Поскольку t < tкр серии являются однородными.

При равноточности и однородности серий объединим их и рассчитаем и S.

= = ,

= .

= = 8,987

==

1,752

Доверительный интервал для объединенных серий будет следующим:

Хист = 8,987 ± 3,2 * 1,752 = 8,987 ± 9,918. = 0,90. n = 64.

Рассчитанный доверительный интервал совпадает с результатами для основной серии.

Вывод: При объединении результатов измерений в общий массив получим более точные и надежные результаты за счет увеличения объема выборки.

Список используемой литературы

1. Методические указания к контрольным работам/ Сост. Ю.Р. Чашкин, А.В. Щекин - Хабаровск: Издательство Тихоокеанского гос. ун-та, 2008. - 36с.

ref.by 2006—2019
contextus@mail.ru