Рефераты - Афоризмы - Словари
Русские, белорусские и английские сочинения
Русские и белорусские изложения
 

Исследование линий на плоскости, заданных неявно

Работа из раздела: «Математика»

/

Содержание

Введение

1. Основные понятия теории кривых

1.1 Понятие кривой. Регулярная кривая. Особые точки кривой

1.2 Касательная к кривой. Соприкасающаяся плоскость

1.3 Кривизна кривой

1.4 Плоская кривая. Эволюта и эвольвента плоской кривой

2. Кривые на плоскости, заданные уравнением в неявной форме

2.1 Задание линии уравнения F(x,y)=0

2.2 Особые точки

2.3 Примеры точки возврата

2.4 Асимптоты

2.5 Полярные координаты

2.6 Понятие кривой и линии

3. Решение задач

Заключение

Список использованной литературы

Введение

Работа посвящена изучению линий на плоскости, заданных неявно.

Цель работы:

Исследовать соответствующую литературу, особенно ту, в которой рассматриваются линии на поверхности, заданы не явно.

Рассмотреть некоторые подходы в определении линии (кривой).

Исследовать линии на поверхности, заданные неявно.

Рассмотреть соответствующие задачи.

Структура работы:

Работа состоит из 3 глав. В первой главе рассмотрим основные понятия теории кривых. Во второй - кривые на плоскости, заданные уравнением в неявной форме. В третьей главе рассмотрим решение задач по теме работы.

1. Основные понятия теории кривых

1.1 Понятие кривой. Регулярная кривая. Особые точки кривой

Понятие кривой.

Понятие преобразования фигуры (множества точек) известно из элементарной геометрии. Если каждую точку фигуры F сместить каким-нибудь образом, то мы получим новую фигуру F'. Говорят, что она получена преобразованием из фигуры F. Преобразование фигуры F переводит близкие точки фигуры F в близкие точки фигуры F'?. Это значит, что если точка X фигуры F переходит в точку X'? фигуры F'?, то каково бы ни было ?е > 0, существует д > 0 такое, что любая точка Y фигуры F, которая отстоит от X на расстоянии меньшем д, переходит в точку фигуры F', которая отстоит от X' на расстоянии меньшем е. Преобразование, переводящее различные точки фигуры F в различные точки фигуры F', называется топологическим, если это преобразование и обратное к нему преобразование фигуры F' в F непрерывны. Преобразование фигуры называется локально топологическим, если оно является топологическим в достаточно малой окрестности каждой ее точки.

Дадим теперь несколько определений, относящихся к понятию кривой. Элементарной кривой мы будем называть фигуру, полученную топологическим преобразованием открытого отрезка. Простой кривой будем называть фигуру, каждая точка которой имеет пространственную окрестность такую, что часть фигуры, содержащаяся в этой окрестности, является элементарной кривой (рис. 1). Общей кривой мы будем называть фигуру, полученную локально топологическим преобразованием простой кривой. Общая кривая на рисунке 2 получается локально топологическим преобразованием окружности.

Ввиду таких определений, изучение любой кривой 'в малом' сводится к изучению элементарной кривой. Пусть г - элементарная кривая, являющаяся топологическим преобразованием отрезка AB. Если на прямой AB как на числовой оси ввести координату t, то преобразование отрезка AB в кривую г можно задать уравнениями

где - непрерывные функции, причем для различных значений t' и t'

Уравнения (*) мы будем называть уравнениями кривой г в параметрической форме (t -- параметр). Элементарная кривая допускает различные задания в параметрической форме. Например, кривую г можно задать уравнениями:

где -- любая непрерывная строго монотонная функция от .

Регулярная кривая.

Кривую г мы будем называть регулярной (k раз дифференцируемой), если она допускает регулярную параметризацию, т. е. задание уравнениями в параметрической форме

где - регулярные (k раз дифференцируемые) функции удовлетворяющие условию

При k=1 кривая называется гладкой.

Кривая называется аналитической, если она допускает аналитическую параметризацию (функции -- аналитические).

Некоторые кривые при подходящем выборе осей координат допускают параметрическое задание вида

или, что то же,

Эта параметризация иногда оказывается очень удобной для исследования кривой. В связи с этим возникает вопрос: когда кривая хотя бы 'в малом' допускает такую параметризацию? Ответ на этот вопрос дает следующее предположение.

Теорема 1.

Пусть г - регулярная кривая,

- ее регулярное параметрическое задание в окрестности точки , соответствующей , то в достаточно малой окрестности точки кривая может быть задана уравнениями

где - регулярные функции от x.

Особые точки кривой.

Пусть г - кривая и Р--точка на ней. Точка Р называется обыкновенной точкой, если в окрестности этой точки кривая допускает гладкую параметризацию:

Если такой параметризации не существует, точка называется особой. Вопрос об особых точках плоской кривой во многих практически важных случаях решает следующее предположение.

Теорема 2.

Пусть г - кривая, заданная уравнениями в параметрической форме:

Тогда точка Р кривой будет обыкновенной точкой, если в этой точке первая отличная от нуля производная функций и нечетная. Точка Р будет особой, если первая отличная от нуля производная будет четной.

1.2 Касательные кривой. Соприкасающаяся плоскость

Опр. 1: Если в пространстве задана прямоугольная система координат , то гладкая линия класса Ck может быть задана параметрическим уравнениями наз. касательной.

,

Опр. 2. Пусть г--кривая, Р--точка на ней и g--прямая, проходящая через точку Р. Возьмем на кривой точку Q, близкую к Р, и обозначим ее расстояния от точки Р и прямой d через д соответственно (рис. 3). Мы будем называть прямую g касательной к кривой г в точке Р, если >0, когда Q > Р.

Теорема 1. Определение 1 эквивалентно определению 2.

Если кривая г в точке Р имеет касательную, то прямая PQ при Q > Р сходится к этой касательной. Обратно, если прямая PQ при Q >Р сходится к некоторой прямой, то эта прямая является касательной. Для доказательства этого утверждения достаточно заметить, что есть синус угла, образуемого прямыми g и PQ.

Гладкая кривая г имеет в каждой точке касательную, и притом единственную. Если

- векторное уравнение кривой, то касательная в точке P, соответствующей значению параметра t, имеет направление вектора

Соприкасающаяся плоскость кривой.

Пусть г - кривая и Р--точка на ней, б -- плоскость, проходящая через точку Р. Обозначим через d расстояние точки Q кривой от точки P, а через д -- расстояние ее от плоскости б. Мы будем называть плоскость б соприкасающейся плоскостью кривой г в точке P, если отношение >0, когда Q>P (рис. 4).

Теорема 2.

Дважды дифференцируемая кривая г в каждой точке имеет соприкасающуюся плоскость. При этом она либо единственная, либо любая плоскость, содержащая касательную кривой, является соприкасающейся.

Если

-- уравнение кривой, то соприкасающаяся плоскость параллельна векторам и .

Каждая прямая, проходящая через точку кривой перпендикулярно касательной, называется нормалью кривой. Среди этих прямых в случае, когда соприкасающаяся плоскость единственная, выделяются две нормали: главная нормаль - нормаль, лежащая в соприкасающейся плоскости, и бинормаль - нормаль, перпендикулярная соприкасающейся плоскости.

1.3 Кривизна кривой

Пусть Р--произвольная точка регулярной кривой г и Q - точка кривой, близкая к Р. Обозначим Ди угол между касательными кривой в точках P и Q, a |Дs| - длину дуги отрезка PQ кривой (рис. 5).

Кривизной кривой г в точке Р называют предел отношения Ди/|Дs| , когда точка Q>P.

Теорема 3.

Регулярная (дважды непрерывно дифференцируемая) кривая имеет в каждой точке определенную кривизну k1. Если

-- естественная параметризация кривой, то

1.4 Плоская кривая. Эволюта и эвольвента плоской кривой

Пусть г - регулярная (трижды дифференцируемая) кривая, заданная уравнением . Отложим из произвольной точки P кривой на ее нормали отрезок, равный радиусу кривизны в направлении вектора . Конец этого отрезка называется центром кривизны кривой. Такое название связано с тем, что окружность с этим центром и радиусом имеет с кривой в точке P соприкосновение третьего порядка, т.е. расстояние точки кривой от окружности имеет третий порядок малости по сравнению с расстоянием точки P. Напомним, что касательная имеет с кривой соприкосновение второго порядка.

Геометрическое место центров кривизны кривой, если оно является кривой, называется эволютой.

Теорема 4.

Эволюта является огибающей нормалью кривой.

Доказательство:

Уравнение эволюты:

.

Касательный вектор эволюты

.

Таким образом, он направлен по нормали данной кривой. А следовательно, эта нормаль является касательной эволюты. Это значит, что эволюта кривой является огибающей её нормалей.

Заметим, что если , то длина эволюты равна

т.е. равна разности радиусов кривизны в концах отрезка.

Определим теперь эвольвенту кривой. Пусть кривая задана в естественной параметризации. Отложим из точки кривой на её касательной отрезок длины |s| в направлении вектора , если s < 0, и в противоположном направлении, если s > 0. Кривая, которую описывает конец этого отрезка, называется эвольвентой кривой.

Наглядно образование эвольвенты можно представить следующим образом. Представим себе нерастяжимую нить, закрепленную одним концом на кривой и намотанную на кривую. Если эту нить, оттягивая за свободный конец, сматывать с кривой, то этот конец описывает эвольвенту кривой.

Данная кривая является эволютой для её эвольвенты. Действительно, уравнение эвольвенты

.

Касательный вектор эвольвенты

.

Отсюда следует, что касательная кривой является нормлью к эвольвенте. А значит, данная кривая является эволютой для эвольвенты.

Эволюта и эвольвента имеют форму эвольвент окружности.

2. Кривые на плоскости, заданные уравнением в неявной форме

2.1 Задание линии уравнением F(x,y)=0

кривая касательная эволюта асимптота

Рассмотрим геометрическое место точек M(х,у), координаты которых удовлетворяют уравнению:

,

где функция F(x, у) непрерывно дифференцируема по обоим аргументам в области U на плоскости xy.

Для того чтобы можно было утверждать, что это геометрическое место точек в окрестности некоторой точки М0 области U образует линию (простую дугу), надо задать начальную точку М0(х0, у0), координаты которой удовлетворяют уравнению (1) и не обращают в нуль одновременно обе частные производные:

Действительно, если, например, , то, существует решение

,

которое определяет простую дугу кривой, проходящую через точку М0(х0, у0) и принадлежащую геометрическому месту точек (1).

Теорема 1.

Уравнение

,

где F(x,y)- функция, допускающая в области U плоскости непрерывные частные производные по обоим аргументам, не обращающиеся одновременно в нуль, определяет в этой власти регулярный кусок кривой, если найдется в ней хотя бы одна точка М0(х0,у0), координаты которой, удовлетворяют уравнению.

Действительно, геометрическое место точек (1) не пустое, ибо содержит точку M0; в каждой его точке условие (2) удовлетворено, следовательно, в окрестности этой точки геометрическое место (1) представляет простую дугу, а такая линия называется регулярным куском кривой.

По формуле угловой коэффициент касательной при условии определяется отношением:

,

откуда уравнение касательной пишется в виде:

Если Fy=0, то касательная параллельна оси ординат, ибо в этом случае существует производная , и равна нулю. Уравнение (5) сохраняет силу. Уравнение нормали, как прямой, перпендикулярной к касательной в точке касания, имеет вид:

2.2 Особые точки

В этом параграфе мы предполагаем, что функция F(х,у) непрерывно дифференцируема три раза по обоим аргументам.

Условие регулярности кривой (1) нарушается в точках, где обе частные производные первого порядка равны нулю:

.

Следовательно, подлежат исследованию точки, координаты которых удовлетворяют трем уравнениям: (1), (7). Если в такой точке не все производные 2-го порядка равны нулю, то точка называется двойной.

1. Касательные в двойной точке.

Допустим, что через двойную точку M0(x0,у0) проходит простая дуга кривой, определяемая уравнениями (**), где

.

Внося значения (**) в уравнение (1), мы получим в окрестности точки М0(х0, у0) тождество, которое можно дифференцировать по t.

Дифференциал второго порядка принимает вид:

.

Внося сюда значения x = x0, y=y0 заметим, что последние два члена пропадут, и мы получим:

,

где

.

Следовательно, через двойную точку М0 может проходить не более двух ветвей кривой с угловыми коэффициентами касательных , определяемыми уравнением (8).

2. Изолированная точка.

Теорема 1. Если дискриминант

,

то в достаточно малом круге с центром M0, кроме этой точки, нет других, координаты которых удовлетворяли бы уравнению (1).

Особая точка называется изолированной.

Доказательство: по теореме Тэйлора, поскольку функции F, Fx, Fy в точке М0(х0, y0) обращаются в нуль, уравнение (1) преобразуется к виду:

,

где a*, b*, c* являются значением вторых производных (8') в точке

.

Дискриминант

,

как непрерывная функция аргументов х*, у*, имеющая положительное значение а в точке М0, сохранит положительный знак в достаточно малой окрестности этой точки (круг достаточно малого радиуса).

Следовательно, квадратный трехчлен в левой части (9) сохраняет знак во всей окрестности, и уравнение

в окрестности точки M0 имеет единственное решение x0, y0.

3. Точка самопересечения.

Теорема 2. Если H < 0, то через точку M0 проходят две простые дуги с различными касательными.

Особая точка -- точка самопересечения (узел).

В этом случае трехчлен (8) имеет два действительных различных корня: k1 и k2 следовательно, при имеем:

Тогда, полагая

,

внося это в уравнение (1) и разлагая по формуле Тэйлора по степеням получим по сокращении на уравнение:

,

где функция

,

непрерывно дифференцируемая, а при -- ограниченная функция.

Согласно условию теоремы существования , выбираем для (10.2) начальную точку , u=k1 (или k2) с тем расчетом, чтобы удовлетворить уравнению (10.2) и по формулам (10.1) получить для этих значений и и координаты х0, у0. точки М0.

Дифференцируя равенство (10.3) частным образом по и и подставляя , получим:

.

Таким образом, условия теоремы существования удовлетворены, откуда следует существование двух непрерывно дифференцируемых функций:

,

удовлетворяющих уравнению (10.2) и принимающих для значения u =k1 и u = k2. Отсюда по формулам (10.1) получим уравнения двух линий, проходящих через точку М0(х0,у0), с угловыми коэффициентами касательных k1 и k2 и представляющих каждая простую дугу.

2.3 Примеры точки возврата

Чтобы показать, как исследуется особая точка в более сложном случае, рассмотрим кривую

Если обозначить через F(x, у) левую часть уравнения, то, дифференцируя, получим:

.

Откуда единственное общее решение трех уравнений: F=0,Fx=0, Fy=0: X=0, y=0.

Далее:

,

и уравнение (8')

.

Если существует дуга кривой, проходящая через начало О(0,0), то она имеет в этой точке касательную прямую x = 0, но Н=0, и теоремы § 2 неприменимы.

В окрестности начала О (0, 0) текущие координаты х,у будут бесконечно малыми и порядок малости х (расстояние от касательной) выше, чем порядок малости у, который примем равным единице. Отбрасывая в уравнении (а) бесконечно малые выше 3-го порядка, можно аппроксимировать линию (а) в окрестности начала уравнением

.

Отсюда естественно ввести подстановку

,

где и -- новая неизвестная функция. Подставляя в уравнение (а) и сокращая на у3, получим для определения и, как функции от у, уравнение:

.

Начальную точку следует искать с координатами у=0, и = и0, чтобы ей соответствовало по формуле (b) начало координат; после подстановки в уравнение (c), получим:

.

Значит, следует выбрать

.

Поскольку

условия теоремы существования удовлетворены, существование двух решений:

,

принимающих для у = 0 значения

,

доказано. Отсюда следует, что в окрестности начала имеются две ветви кривой:

.

Чтобы корень был действительным, надо брать отрицательные значения у; поскольку в окрестности начала положительно, а -- отрицательно, координата х точек первой линии будет получать отрицательные значения, второй -- положительные.

2.4 Асимптоты

Для отыскания асимптот, параллельных оси координат надо искать предельное значение ординаты y=b при . Если кривая -- алгебраическая и F(x у) -- многочлен, то достаточно приравнять к нулю коэффициент при старшей степени х. Если полученное уравнение допускает решение y=bi, то оно даст все асимптоты:

.

Действительно, если собрать члены с одинаковыми степенями xx и записать уравнение кривой в виде

,

то, деля люе части уравнения на xp:

и переходя к пределу при , , заметим, что все функции обратятся в и сохранят конечные значения, следовательно, все члены уравнения, имеющие делителем х, обратятся в нуль, и для определения b мы получим уравнение

.

Чтобы найти асимптоты, не параллельные осям координат:

,

надо найти пределы

.

Полагая

И исключая ординату, мы получаем уранение:

надо найти

.

Аналогично, полагая

,

исключаем из уравнения F(x, у)=0 ординату у. Поскольку k известно, получаем уравнение:

и снова имеем:

.

2.5 Полярные координаты

В полярных координатах обычно рассматривают кривые, заданные уравнением вида

,

где - полярный радиус-вектор и - полярный угол.

Эту кривую можно определить параметрическими уравнениями в декартовой системе координат, полагая

и принимая за независимый параметр .

Отсюда для углового коэффициента касательной получаем:

Или, деля на :

.

Если же положить

,

,

.

Отсюда геометрическое значение угла (рис. 6): есть угол касательной с полярным радиусом вектором.

Аналогично, дифференцируя уравнение (11) и внося в основную формулу , получим:

.

Наконец, по формуле (кривизна в точке) и (13) получим для кривизны в полярных координатах выражение:

.

2.6 Понятие кривой и линии

В некоторых учебных пособиях различают понятие кривой и линии [4].

Пусть I -- интервал, отрезок или полуоткрытый интервал на прямой R. Путем (или параметризованной кривой) класса Ck в пространстве R3 называется вектор - функция r: I>R3 класса Ck, которую, будем обозначать (I, r). Путь (I, r) называется:

Простым, если отображение r инъективно;

Регулярным, если для всякой внутренней точки

;

Бирегулярным, если для всякой внутренней точки

?

Два пути (I, r=г(t) и (J, с = с(s)) класса Сk где I, J --интервалы, называются эквивалентными, если существует диффеоморфизм л: I>J класса Сk такой, что r(t)= с(л(t)). Классы эквивалентных путей (параметризованных кривых) называются кривыми, а каждый путь этого класса -- параметризацией кривой. Функция л: I>J, задающая эквивалентность двух путей, называется заменой параметра. Если (I, r) -- путь, то множество r(I) ? R3 называется образом этого пути. Все эквивалентные пути, образующие данную кривую, имеют один и тот же образ, который называется образом этой кривой. Часто образ кривой называют кривой, хотя различные кривые могут иметь один и тот же образ. Кривая, образ которой содержится в некоторой плоскости, называется плоской. Кривая называется простой (регулярной, бирегулярной), если существует ее параметризация, которая является простой (регулярной, бирегулярной).

Пусть задан путь r=r(t). Рассмотрим все такие эквивалентные ему пути, которые получаются заменой параметра с положительной производной . Класс таких путей называется ориентированной кривой. Параметризация кривой называется натуральной, если . Всякая регулярная кривая допускает натуральную параметризацию. Натуральный параметр, обозначаемый обычно через s, есть длина дуги кривой, отсчитываемая от некоторой начальной точки, и взятая со знаком + или --. Подмножество из R3 называется линией (или одномерным многообразием) класса Ck, если для всякой точки существует окрестность W этой точки в R3 и регулярный путь (I, r) класса удовлетворяющие условиям: и является гомеоморфизмом.

Пусть (I, r) называется параметризацией линии . Линия называется элементарной, если существует такая её параметризация (I, r), что r(I)= . Если (I, r) и (J, с) - две параметризации линии , то пути (I, r) и (J, с) являются эквивалентными.

Если подмножество l содержится в некоторой плоскости, то линия l называется плоской.

Пусть M - некоторая точка линии l, (I, r) - параметризация l такая, что M=r(t). Касательной прямой линии l в точке M называется прямая, проходящая через точку M и имеющая своим направляющим вектором вектор r'(t). Аналогично определяется касательная прямая для кривой и для пути. Пусть r=r(s) --натуральная параметризация кривой (или линии). Тогда вектор r'(s) называется вектором кривизны кривой (линии) в точке s, а его длина | r'(s) | --кривизной и обозначается k(s) (или к).

Соприкасающейся плоскостью бирегулярной кривой (линии) в точке t0 называется плоскость, проходящая через точку и имеющая своими направляющими векторами векторы и .

Для натуральной параметризации r=r(s) бирегулярной кривой (линии) вектор r''(s) ортогонален касательной в соответствующей точке. Соприкасающейся окружностью бирегулярной кривой (линии) в точке s этой кривой (линии) называется окружность радиуса , лежащая в соприкасающейся плоскости и центром которой является точка

.

Репером Френе ориентированной бирегулярной кривой (линии) r=r(s) в точке s называется ортонормированный репер (r(s); t(s), n(s), b(s)), где t(s)=r'(s), и тройка векторов (t(s), n(s), b(s)) - правая.

Замечание: мы в дальнейшем не будем различать понятия кривой и линии.

3. Решение задач

Построить кривую (овал)

Решение. Уравнение (a) содержит только квадраты переменных x и y; следовательно, левая часть уравнения не меняется при перемене знака координаты x и y. Отсюда следует, что кривая симметрична относительной осей координат, ибо для каждой точки кривой M1(x1,y1) найдутся еще три такие точки M2(x1,-y1), M3(-x1,y1), M4(-x1, -y1).

Кривая вся помещается в конечной части плоскости. Действительно, деля уравнения на x2+y2 получим:

.

Если х2+у2 станет больше единицы, то последнее слагаемое правой части будет меньше, чем а4, и так как абсолютная величина разности двух положительных чисел всегда меньше их суммы, то

,

и, следовательно, во всяком случае

,

т.е. расстояние точки M(x, y) от начала - конечно.

Дифференцируя левую часть уравнения

по x и по y, имеем:

,

и угловой коэффициент касательной :

отсюда следует, что касательная параллельна оси ординат только в точках пересечения кривой с осью абсцисс , ибо второй множитель знаменателя как сумма трех квадратов всегда положителен. Внося значение y = 0 в уравнение (а), получим:

,

откуда только два действительных корня

.

Кривая пересекает ось абсцисс только в двух точках.

Угловой коэффициент (b) обращается в нуль в двух случаях.

Касательная будет параллельна оси абсцисс в точках пересечения с осью ординат .

Решая это уравнение совместно с уравнением кривой (а), получим опять только два действительных корня:

.

Кроме того, касательная будет параллельна оси при обращении в нуль второго множителя числителя

.

Внося отсюда значение в уравнение (a), получим:

,

Откуда

.

Четыре комбинации знаков дадут четыре симметрично расположенные точки.

Получаем таблицу опорных точек (рис. 7).

x

y

k

M1

0

0.6a

0

M2

0.7a

0.7a

0

M3

1.6a

0

Построить кривую

.

Решение. Уравнение (а) содержит только один член с третьей степенью и этот член имеет коэффициентом единицу. Следовательно, нет асимптот, параллельных оси х. Действительно, деля на х3, имеем:

.

Переходя к пределу и предполагая, что при этом у сохраняет конечное значение, придем к невозможному равенству 1=0.

Зато уравнение содержит два члена с высшей степенью y2. Деля на y2 и переходя к пределу предполагая, что х сохраняет конечное значение, получим в пределе .

Это и будет уравнение асимптоты, параллельной оси ординат. Дифференцируя левую часть уравнения

по x и по y, получим

.

Мы видим, что Fx как сумма трех положительных чисел не обращается в нуль. Следовательно, кривая не имеет касательных, параллельных оси абсцисс.

Производная Fy обращается в нуль при х=1; это соответствует найденной асимптоте. Кроме того, F обращается в нуль и касательная становится параллельной оси у при пересечении оси кривой с осью абсцисс y=0. Уравнение (а) при этом принимает вид:

Второй множитель, очевидно, отличен от нуля (сумма положительных чисел), а первый показывает, что кривая пересекает ось абсцисс в начале координат, касаясь, следовательно, оси ординат.

Мы еще не имеем общего правила отыскания асимптот, не параллельных осям координат, но в данном случае можно показать отсутствие других асимптот чрезвычайно просто. Уравнение (а) может быть разрешено относительно у2:

.

Так как в левой части стоит квадрат, то правая часть должна быть положительна. Второй множитель числителя, x2+1, всегда положителен. Значит, должно быть:

или , или .

Отсюда следует, что х не может быть отрицательным (ибо отрицательное число -- меньше всякого положительного числа) и, значит, x<1 (чтобы было больше единицы).

Итак, кривая существует только для значений х в интервале

Следовательно, абсцисса х не может расти до бесконечности.

Построить кривую

Решение. Асимптоты , . Первые две не имеют общих точек с кривой (кроме несобственной), последняя пересекает кривую в начале. Это - единственная общая точка кривой с осями координат; кривая имеет в начале точку перегиба (абсцисса меняет знак вместе с ординатой), касаясь оси ординат. Кроме того кривая имеет касательные, параллельные оси ординат, в точках

Построить кривую

.(a)

Решение. Так как уравнение кривой не содержит свободного члена и членов первой степени, то начало координат -- особая точка. Пара касательных вначале определяется уравнением x2+y2=0. Касательные мнимы. Особая точка -- изолированная.

Кривая имеет асимптоту, параллельную оси ординат x=1, ибо для этого значения х коэффициент при у2 обращается в нуль. Кроме того, она имеет две асимптоты, не параллельные осям координат. Действительно, если разделить уравнение (а) на x3 и перейти к пределу , то получим для уравнение

т.е.

С другой стороны, внося

в уравнение (а) и помня, что k2 = 1 получим:

,

откуда при и имеем:

ибо .

Значит, кривая имеет две асимптоты:

Они пересекают кривую в общей точке x=-1, у=0.

Так как уравнение (а) содержит у только в квадрате, то кривая симметрична относительно оси х. С другой стороны, разрешая уравнение относительно у2

видим, что ордината будет действительной, кроме начала координат, только вне отрезка

ю

Единственное исключение -- особая точка x=0, у=0, откуда еще раз видно, что эта точка -- изолированная.

Дифференцируя, имеем:

Откуда

Касательная параллельна оси ординат, если

1) y=0 или 2) x=1.

В первом случае мы найдем, кроме особой точки (0, 0), точку пересечения асимптот х=-1, у =0; во втором мы придем к несобственной точке.

Касательная параллельна оси абсцисс, если

Внося это значение в уравнение (а) и сокращая на х (что соответствует исключению особой точки), получим:

откуда:

.

Только первый корень приводит к действительному значению ординаты у.

Имеем таблицу опорных точек (рис. 9):

x

Y

k

O

0

0

Изолированная точка

M1

-1

0

M2

1.6

3.2

0

Заключение

В работе показаны некоторые методы исследования кривых на плоскости, заданных неявно, что может послужить основой при разработки соответствующих спецкурсов для студентов ВУЗов, а также школьного курса математики.

Список использованной литературы

Фиников С.П., Дифференциальная геометрия. Методическое пособие для студентов педагогических институтов: учеб. пособие / С.П. Фиников. - М.:Учпедгиз, 1949. - 109с.

Фиников С.П., Дифференциальная геометрия: учеб. пособие / С.П. Фиников. -М.: Учпедгиз, 1955. - 215с.

Погорелов А.В., Геометрия: /А.В. Погорелов. -М.: Наука, 1983. - 290с.

Сборник задач по дифференциальной геометрии / А.С. Феденко [и др.] -М.: Наука, 1979. - 272с.

ref.by 2006—2019
contextus@mail.ru