Рефераты - Афоризмы - Словари
Русские, белорусские и английские сочинения
Русские и белорусские изложения
 

Анализ и построение зависимостей

Работа из раздела: «Математика»

/

148

Курсовая работа

Анализ и построение зависимостей

Введение

Цель: показать знание теории точечных статистических оценок, продемонстрировать умение грамотно проводить обработку статистических данных и статистических рядов и на основании результатов вычислений делать заключение об изучаемом процессе.

Задачи: уметь производить обработку экспериментальных данных; уметь выбрать схему изучения статистических данных, подобрать необходимые методы и формулы для расчётов; уметь сравнивать результаты расчётов, полученных разными методами; закрепить навыки вычислений и анализа.

Необходимые расчеты рекомендуется выполнять с использованием различных пакетов математических и статистических программ. Все графики выполняются только с использованием пакетов математических и статистических программ.

1. Согласование выборочных распределений

1.1 Пояснительная записка

Пусть у нас есть так много наблюдений, что их гистограмма 'почти совпадает' с точным априорным распределением. Допустим также, что эта гистограмма построена так, что не проставлены числа вдоль осей. Без чисел на вертикальной оси мы не можем сказать, сколь велика выборка. Но поскольку нам интересно распределение, а не выборка и выборка велика, можем забыть об этих числах. Далее, без чисел на горизонтальной оси мы не можем сказать даже приблизительно, каковы значения выпавших наблюдений, как распределение растянуто или сжато, каковы его положение и масштаб. выборочный статистический генеральный совокупность

Потеряв положение и масштаб, мы теряем лишь два числа и соответственно многое остаётся. Вот всё то, что остаётся, и обозначается обычно словом форма. Даже распределения, принадлежащие к одному и тому же математическому семейству, могут иметь весьма разные формы. Реальная практика согласования выборочных распределений показывает, что их принадлежность к какому-либо известному теоретическому распределению часто нелегко установить, анализируя отдельную выборку или даже весь объём имеющихся данных, составляющий, быть может, тысячи наблюдений.

В части I настоящей работы предлагается согласовать распределение выборочных изделий со свойствами избранного семейства 'нормальных' распределений, плотность вероятности которых задаётся формулой

для -? < X < ?, где м и у - соответственно генеральные среднее и стандартное отклонение, е - основание натуральных логарифмов 2,7182818… , а р - наш старый знакомый 3,1415926…

Термин 'нормальное' многие истолковывают как обыкновенно появляющееся, что не совсем правильно, ведь известно, на практике никогда не бывает распределений, в точности удовлетворяющих этой формуле,- ни для отдельных наблюдений, ни для средних значений, ни для других производных величин, хотя есть как умозрительные, так и фактические основания считать, что многие эмипирические распределения должны хорошо ею аппроксимироваться.

1.2 Общее описание задания

При выполнении части I курсовой работы (КР) необходимо провести обработку статистических данных по схеме:

1. Отбор экспериментальных данных с помощью таблицы случайных чисел.

2. Составление таблиц распределения частот по данным выборки.

3. Графическое представление распределения частот полученных наблюдений.

4. Вычисление числовых характеристик распределения выборочных частот.

5. Проверка степени соответствия полученного распределения выборочных частот нормальному распределению.

6. Проверка, что выборка осуществлялась по случайному закону.

7. Проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности.

8. Проверка предположения, что распределение генеральной совокупности является нормальным.

2. Отбор экспериментальных данных с помощью таблицы случайных чисел

Результаты наблюдений, в общем случае, представляют собой ряд чисел, расположенных в беспорядке.

С самого начала должно быть ясно, что ко всем собранным статистическим данным будут применяться одни и те же методы анализа независимо от природы данных.

То есть независимо от того, измеряются ли данные в миллиметрах, фунтах на квадратный дюйм, килограммах, градусах, миллиметрах ртутного столба и т.д.

Генеральная совокупность (см. таблицу А) содержит несистематизированные данные, полученные в результате замера наружнего диаметра всех 1000 деталей, изготовленных предприятием за дневную смену.

На основании предшествующих опытных данных относительно характера контроля производственного процесса известно, что партия имеет приближённо нормальное распределение со средним значением, равным 60, и стандартным отклонением, равным примерно 10.

Для контроля за правильностью производственного процесса из этой генеральной совокупности выбирается по случайному закону 150 изделий.

Для такого отбора используется таблица случайных чисел (см. таблицу Б) и отбор производят в следующем порядке:

1. Начав с верхнего левого трёхзначного номера (543) и последовательно опускаясь вниз, выписывают из таблицы Б случайных чисел все первые 150, включая и повторяющиеся.

Если при этом встречается число 000, то его следует заменить на 1000. Отметим, что мы вольны применить любой другой способ систематического выбора этих случайных чисел, помня о правиле запрета повторения пройденного пути.

2. Выбранные случайные числа являются порядковыми номерами деталей из генеральной совокупности (таблица А) и мы выписываем соответствующие значения Хi признака Х в таблицу 1.

Таблица А

Нормальная генеральная совокупность: N=1000, м=60, у=10

67

56

65

50

52

48

57

56

56

74

67

48

56

69

78

67

68

50

73

45

30

53

47

78

73

50

40

56

58

40

51

62

58

55

70

58

73

70

51

77

58

46

47

55

70

57

54

59

67

62

64

67

49

57

52

79

51

48

46

61

54

63

58

67

72

57

62

31

67

64

75

73

79

70

69

69

46

49

73

61

33

58

63

70

63

54

69

71

64

53

71

61

52

64

64

54

50

71

71

70

37

66

64

55

70

69

50

39

58

59

48

65

62

64

78

53

72

74

66

68

59

53

61

67

72

46

55

51

64

52

46

57

63

64

61

60

61

54

68

68

46

56

57

65

43

43

85

61

62

57

55

75

45

57

65

49

69

65

43

61

35

63

46

53

52

54

66

56

72

59

66

65

48

64

59

61

78

48

56

61

65

57

48

67

51

80

70

47

58

39

64

49

56

35

59

67

58

64

58

81

74

62

77

50

66

57

57

56

54

60

70

56

63

64

57

48

75

50

73

58

53

34

71

52

63

54

52

56

57

49

64

76

55

64

42

63

60

48

74

45

52

45

48

62

60

78

83

56

58

59

41

62

63

58

62

75

62

71

56

79

62

63

48

50

81

57

52

68

74

63

39

68

76

56

56

62

37

61

75

79

58

82

48

51

58

57

59

65

56

46

51

62

39

58

47

67

66

71

73

26

58

44

61

47

66

49

67

68

58

79

60

62

46

55

64

67

43

54

49

79

77

44

60

53

68

54

66

45

58

55

74

66

67

52

55

58

69

59

64

70

60

36

62

50

40

67

36

64

66

74

60

66

53

62

72

69

63

67

63

45

39

72

40

57

61

58

54

64

64

65

56

54

79

60

62

74

81

46

56

79

79

85

57

49

68

52

52

62

58

59

60

74

66

69

66

36

73

72

74

79

42

56

50

49

63

54

65

56

57

46

51

59

56

37

68

57

77

52

62

26

73

49

50

49

52

74

51

45

72

55

58

45

59

55

75

47

77

31

74

79

60

66

73

66

52

64

55

57

65

59

80

61

62

79

89

48

57

71

74

52

59

45

51

43

65

45

66

72

49

36

58

61

57

74

72

68

57

72

47

63

77

51

58

41

75

49

66

57

69

59

60

62

63

52

67

69

52

68

46

80

64

68

74

59

66

57

73

61

74

51

69

58

56

53

61

74

54

61

56

48

65

67

44

71

76

63

40

48

58

73

72

43

56

62

66

68

44

51

48

73

58

58

42

63

50

88

56

50

76

73

49

62

60

69

58

68

69

72

75

45

67

44

55

47

54

63

55

49

80

75

68

62

63

64

43

61

70

46

47

78

59

46

65

50

66

68

72

64

59

62

71

57

67

52

66

68

43

72

59

68

52

68

70

57

66

70

69

57

65

60

56

44

82

54

47

48

74

42

75

37

48

56

65

43

57

61

80

68

75

45

65

59

57

64

50

66

70

68

36

64

62

53

48

87

49

58

56

60

75

67

52

58

79

38

57

65

74

67

78

70

50

69

49

46

43

53

49

58

72

67

53

62

63

42

59

46

52

72

51

68

80

64

54

46

41

55

52

42

62

60

58

62

67

58

69

72

65

59

73

71

59

46

58

65

58

54

57

66

77

53

61

50

42

57

55

68

70

62

52

56

43

82

49

53

65

54

62

62

59

46

48

65

63

44

68

71

56

58

48

82

42

63

52

66

79

67

39

62

49

68

71

58

46

65

80

31

67

72

71

54

70

48

47

51

54

92

66

57

64

67

52

62

89

44

70

45

64

70

59

83

48

48

60

50

82

54

57

65

52

60

68

73

49

71

48

56

64

45

85

52

74

46

52

57

56

56

59

69

81

54

64

63

65

51

55

45

70

72

54

84

47

52

61

50

79

66

64

51

66

64

61

67

69

49

75

60

82

58

76

56

70

48

81

40

73

58

60

68

61

65

61

48

69

57

71

48

40

51

56

64

45

81

81

67

58

52

49

35

60

55

63

58

64

59

67

59

57

63

65

55

70

70

52

51

68

72

69

53

59

60

55

57

64

59

70

67

64

53

50

86

66

59

60

69

53

51

76

66

51

68

49

65

72

69

64

61

73

62

49

67

41

59

47

58

53

52

63

44

63

51

61

51

60

58

51

68

70

58

76

50

43

68

43

68

63

63

60

57

59

79

51

62

64

56

72

63

70

57

76

89

65

56

73

46

53

69

56

46

74

62

67

70

63

53

60

52

64

59

55

57

66

57

50

53

53

55

53

71

43

60

54

67

48

71

62

50

60

76

64

58

Таблица Б

Случайные пятизначные числа

66543

35797

80287

64760

83991

55408

81670

89005

99730

39911

75470

53389

35801

97252

32847

20542

55657

91402

21246

37246

46685

37901

58727

97473

43808

20103

35624

30091

39972

25417

56891

76038

04102

91039

75045

74087

56307

02349

29841

88863

46655

35213

76222

98420

27195

33611

72828

42673

77588

26575

40836

14780

34952

46634

30460

07527

18912

25832

12659

29080

14222

97572

19923

28290

42878

96063

73708

57375

80685

06499

29880

80021

66134

56942

04110

99124

35899

06115

83765

64563

25555

45578

25701

48755

20655

92351

42607

89656

14777

95173

51170

09922

35648

93161

46565

22923

05438

37408

56873

54328

59920

70663

38261

70533

98590

66969

81995

69774

19661

10158

55408

04167

87589

76797

41688

47363

59688

72459

23149

94970

86645

84855

41151

89920

08597

00597

11398

98947

02008

31720

08472

13313

92621

02987

45766

15475

35931

95850

75639

10121

50490

71500

48413

48373

01548

62688

40539

59744

11817

49518

28865

40801

17447

55277

81249

84637

45585

46751

86337

68725

71179

76463

40801

70002

87074

38261

52926

55560

59516

65989

94884

57102

10158

79688

18197

14778

05998

88267

64584

13944

80584

97029

81536

55536

96189

66520

24579

26295

40539

61362

18019

14361

42416

04643

17877

55277

63904

28168

89286

76655

93335

86688

11573

22209

44137

69352

65855

16496

68725

06045

99547

61607

17247

80150

22039

52926

76179

36086

04880

48223

54262

01807

79688

73865

08625

32427

13300

37888

28575

80584

98630

82271

69975

92259

09250

34374

26295

92566

Таблица 1

150 случайных чисел и результирующая случайная выборка 150 изделий из генеральной совокупности объёма N=1000

СЧ

Хi

СЧ

Хi

СЧ

Хi

СЧ

Хi

СЧ

Хi

СЧ

Хi

543

61

778

68

797

68

780

68

300

55

074

45

005

33

536

61

645

64

659

64

259

54

102

47

847

70

362

56

947

76

063

45

760

67

584

62

901

73

904

73

766

67

134

49

470

59

520

60

972

79

209

52

500

60

563

62

402

58

416

58

087

46

547

61

817

69

607

63

808

69

655

64

222

52

086

46

637

63

161

50

038

42

855

71

575

62

625

63

801

68

920

74

841

70

150

50

912

74

271

54

989

83

774

68

611

63

262

54

290

54

797

68

998

89

688

65

952

77

888

72

880

72

730

66

536

61

855

71

080

46

250

53

115

48

542

61

019

39

008

35

708

65

991

84

655

64

727

66

168

50

475

59

942

76

389

57

922

74

417

58

137

49

413

58

555

61

246

53

873

71

307

55

607

63

518

60

656

64

103

47

969

79

420

58

880

72

585

62

565

62

102

47

589

62

836

70

427

58

002

30

663

64

863

71

970

79

832

70

975

80

884

72

661

64

828

69

398

57

878

72

287

54

267

54

363

56

634

63

987

82

021

42

911

73

189

51

151

50

222

52

490

60

765

67

657

64

361

56

720

66

375

57

744

67

351

56

473

59

286

54

931

75

110

48

249

53

648

64

891

72

352

56

373

57

578

62

463

59

328

56

349

56

247

53

865

71

777

68

516

60

995

86

195

51

223

52

751

67

923

74

СЧ - случайное число

Экстремальные значения случайной выборки: хmin = 30 и хmах = 89.

3. Составление таблиц распределения частот по данным выборки

В том виде, в каком данные представлены в таблице 1, они мало приспособлены для осуществления контроля производственного процесса. Гораздо больших результатов можно достичь при распределении частот наблюдаемого признака в порядке увеличения их численных значений (ранжирования данных).

Таблица 2

Распределение частот вариационного ряда по данным из таблицы 1

30

|

50

||||

70

||||

31

51

||

71

|||||

32

52

||||

72

||||| |

33

|

53

||||

73

|||

34

54

||||| ||

74

||||

35

|

55

||

75

|

36

56

||||| ||

76

||

37

57

||||

77

|

38

58

||||| |

78

39

|

59

||||

79

|||

40

60

|||||

80

|

41

61

||||| |

81

42

||

62

||||| |

82

|

43

63

||||| |

83

|

44

|

64

||||| ||||

84

|

45

||

65

||

85

46

|||

66

|||

86

|

47

|||

67

|||||

87

48

||

68

||||| ||

88

49

||

69

|||

89

|

Оцифровывая значения частот из таблицы 2 и заменяя пробелы нулями, получаем статистический ряд (см. таблицу 3).

Таблица 3

Статистический ряд по данным из таблицы 2

Хi

mi

Хi

mi

Хi

mi

30

1

50

4

70

4

31

0

51

2

71

5

32

0

52

4

72

6

33

1

53

4

73

3

34

0

54

7

74

4

35

1

55

2

75

1

36

0

56

7

76

2

37

0

57

4

77

1

38

0

58

6

78

0

39

1

59

4

79

3

40

0

60

5

80

1

41

0

61

6

81

0

42

2

62

6

82

1

43

0

63

6

83

1

44

1

64

9

84

1

45

2

65

2

85

0

46

3

66

3

86

1

47

3

67

5

87

0

48

2

68

7

88

0

49

2

69

3

89

1

Полученная картина остаётся всё ещё недостаточно наглядной и компактной для эффективного визуального анализа. Компактность может быть достигнута соответствующей группировкой данных, то есть разбиением всех значений Хi признака Х из таблицы 3 на интервалов длиной ?Х = (хmах - хmin)/S, где n - объём выборки.

Из таблицы десятичных логарифмов из Приложения 1, находим S = 8,229 ? 8.

?Х = 7,4 ? 8,

Таким образом, разбиваем все значения НСВ Х из таблицы 3 на восемь интервалов (групп) длиной 8 каждый, причём правая граница предыдущего интервала служит левой границей следующего. Получаем частичные интервалы по схеме:

Х1 ч Х1 + ?Х = Х2,

Х2 ч Х2 + ?Х = Х3,

Х8 ч Х8 + ?Х = Х9.

Таблица 4

Сгруппированное распределение частот по данным рассматриваемого примера

Группа

Середина группы Хс

Фактическая частота mi

Накопленная частота nX

26 ч 34

30

2

2

34 ч 42

38

4

6

42 ч 50

46

17

23

50 ч 58

54

37

60

58 ч 66

62

40

100

66 ч 74

70

37

137

74 ч 82

78

9

146

82 ч 90

86

4

150

150

4. Графическое представление распределения частот полученных наблюдений

Полигоном частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки (Хс;mi), где Хс - середина интервала группировки, mi - соответствующая данному интервалу частота.

Рис. А. Полигон частот

Рис. Б. Гистограмма частот

Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников с основаниями длиной ДХ и высотами mi.

Откладывая по оси ординат соответствующие интервалам группировки накопленные частоты nx, получают так называемую огиву. Нормальное распределение принимает на диаграмме огивы форму s-образной кривой.

Рис. В. Огива

5. Вычисление числовых характеристик распределения выборочных частот

После осуществления выборки дальнейшая работа с данными строится на принципе свёртки информации - получения числовых характеристик распределения.

Одной из основных характеристик распределения, как видно из нашего примера, является тенденция наблюденных значений признака группироваться вокруг центра этого распределения. Эта характеристика называется центральной тенденцией.

Центральная тенденция обычно выражается тремя величинами:

1) средней величиной, именуемой средней арифметической выборки или выборочной средней;

2) средней величиной, именуемой медианой;

3) наиболее часто повторяющейся величиной, именуемой модой.

Эти величины также называют характеристиками положения, так как они показывают расположение полигона частот относительно оси абсцисс.

Когда ряд наблюденных значений хотят охарактеризовать одним значением, целесообразно бывает использовать выборочное среднее арифметическое .

Формула определения выборочной средней на основе данных о распределении частот (таблица 4).

,

S - число интервалов разбиения (частичных интервалов),

Хс - середина частичного интервала,

mi - частота частичного интервала.

При некоторых формах распределения (речь идёт об эмпирическом распределении в отличие от теоретического распределения генеральной совокупности) более хорошей характеристикой положения является медиана. К таким распределениям относятся распределения, обладающие значительной асимметрией или очень удлинёнными краями.

Медиана Mе представляет собой значение признака, которое делит пополам распределение всех наблюденных значений, то есть является той точкой, выше и ниже которой лежит равное число наблюдений.

Формула определения медианы на основе распределения частот, т.е. для интервальных статистических рядов:

Mе = ,

L - начало медианного интервала,

ДХ - длина частичного интервала,

nm-1 - накопленная частота предмедианного интервала,

mm - частота медианного интервала.

Для интервального статистического ряда под модой Мо понимается значение признака в наиболее плотном интервале (так называемом модальном интервале).

Формула определения моды на основе распределения частот

Мо = ,

L - начало модального интервала,

mm - частота модального интервала,

mm-1 - частота предмодального интервала,

mm+1 - частота постмодального интервала.

В нашем примере = = 60,72.

Для определения медианы интервального статистического ряда (таблица 4), по определению, необходимо выбрать интервал, в котором находится варианта, делящая ряд пополам. Это легко сделать, используя последний столбец (накопленные частоты).

Медианным интервалом нашего ряда является интервал (58 ч 66). Значит,

.

Значение моды

Мо = 58 + 8Ч = 62.

Рассмотренные выше числовые характеристики служат для описания распределения с точки зрения тенденции наблюденных значений признака группироваться вокруг некоторого их среднего значения.

Наряду с этим всякое распределение характеризуется также рассеянием - отклонением значений наблюденного признака от его среднего значения. Для оценки варьирования (колеблемости) наблюденных значений будем пользоваться только стандартным отклонением.

Таблица 5

Вспомогательная таблица для вычисления числовых характеристик распределения таблицы 4

Хс

mi

Хс mi

Хс -

30

2

60

-30,72

1887,4368

-57982,05850

1781208,83700

38

4

152

-22,72

2064,7936

-46912,11059

1065843,15265

46

17

782

-14,72

3683,5328

-54221,60282

798141,99345

54

37

1998

-6,72

1670,8608

-11228,18458

75453,40035

62

40

2480

1,28

65,5360

83,88608

107,37418

70

37

2590

9,28

3186,3808

29569,61382

274406,01629

78

9

702

17,28

2687,3856

46438,02317

802449,04034

86

4

344

25,28

2556,3136

64623,60781

1633684,80539

У

150

9108

17802,2400

-29628,82560

6431294,61965

Формула определения стандартного отклонения на основе распределения частот:

.

Для рассматриваемого интервального статистического ряда:

= 10,89.

Форма распределения обычно описывается с помощью характеристик, получивших название асимметрии и эксцесса. Вероятность получения значений, лежащих в пределах некоторого заданного интервала, частично зависит от асимметрии и эксцесса распределения.

Асимметрия, как явствует из названия, показывает, насколько несимметрично распределение, в то время как эксцесс характеризует островершинность или плосковершинность распределения (в точке максимальной частоты). Кривая может обладать большой крутизной и называться в этом случае островершинной, характеризоваться небольшой крутизной и называться плосковершинной или, наконец, иметь среднюю крутизну. Нормальная кривая обладает средней крутизной.

Коэффициент скошенности, или асимметрии, характеризует тенденцию к рассеянию в одном направлении больше, чем в другом.

Коэффициент относительной скошенности, или выборочный коэффициент асимметрии определяется для сгруппированных данных:

.

Разумеется, для симметричного распределения sk = 0. Если значение sk меньше нуля, то большая часть ряда распределения располагается слева от оси ординат; если sk больше нуля, то справа от неё.

В нашем случае

sk = = - 0,15,

что подтверждает сделанный выше вывод.

Эксцесс, напомним, характеризует островершинность распределения. Относительный эксцесс, или выборочный коэффициент эксцесса определяется:

.

Имеем:

ex = - 3 = 0,05.

Для теоретического нормального распределения коэффициенты асимметрии и эксцесса равны нулю.

6. Проверка степени соответствия полученного распределения выборочных частот нормальному распределению

Исчислив на основе данных нашего примера соответствующие им числовые характеристики, мы можем сопоставить полученные значения с параметрами нормально распределённой генеральной совокупности (см. табл. 6). Результаты такого сопоставления говорят о том, что фактические данные близки к теоретическим. Поскольку сопоставление основывалось на выборочных данных, естественно было ожидать некоторого их расхождения с теоретическими.

Таблица 6

Функции результатов наблюдений и приближённые оценки нормально распределённой генеральной совокупности

Выборочная совокупность

Генеральная совокупность

60,72

м

60

s

10,89

у

10

sk

-0,15

б3

00

ex

00,05

б4-3

00

7. Проверка, что выборка осуществлялась по случайному закону

Будем использовать критерий согласия Пирсона

. (1)

Если, как это обычно имеет место,

,

то указанную формулу можно преобразовать к виду более удобному для вычислений

. (2)

Проверяемая гипотеза состоит в том, что выбор 150 изделий из нормальной генеральной совокупности с м = 60 и у = 10 был произведён по случайному закону. Так как известны параметры нормальной генеральной совокупности, то критерий ч2 может только проверить случайный характер выборки.

В качестве уровня значимости выберем б = 0,05.

Для того, чтобы получить визуальное представление о степени соответствия нашей выборки нормальной кривой, воспользуемся гистограммой частот 150 изделий (см. рис. Б) с наложенной на неё нормальной кривой с параметрами м = 60 и у = 10. Вычисленные значения ординат нормальной кривой приведены в таблице 7.

Таблица 7

Ординаты нормальной кривой: м=60; у=10; n=150; ?Х=8

Х

Z (x/у)

T (z2/2)

28

-32

-3,2

5,12

0,000598

00,29

36

-24

-2,4

2,88

0,056140

02,69

44

-16

-1,6

1,28

0,278040

13,31

52

0-8

-0,8

0,32

0,726150

34,76

60

000

00,0

0

1,000000

47,87

68

008

00,8

0,32

0,726150

34,76

76

016

01,6

1,28

0,278040

13,31

84

024

02,4

2,88

0,056140

02,69

92

032

03,2

5,12

0,000598

00,29

- середина теоретического интервала

Значения вычислены с использованием таблицы 2.1 из Приложения 2. Величины Yс получены путём умножения каждого из этих значений на Y0,

.

Умножение на , а не на вызвано тем, что площадь гистограммы должна быть равна 100, а не 1 и являться суммой площадей прямоугольников с основанием ДХ.

Увеличение числа интервалов и изменение их границ вызвано симметричностью нормальной кривой относительно м.

При рассмотрении рис. Г может создаться впечатление, что между нормальной кривой и гистограммой наблюдается несоответствие. Однако при этом следует помнить, что выборка содержит только 150 изделий, и наличие даже существенного расхождения не следует считать слишком неожиданным.

В таблице 8 приведены данные наблюдений с правилами распределения площади под кривой нормального распределения. Фактический процент наблюдения находится путём простого подсчёта частот mi статистического ряда (таблица 3), попадающих в заданные интервалы ± zs и соотнесённых с объёмом выборки n = 150. В нашем случае наблюдается хорошее согласие процентов наблюдений.

Таблица 8

Сопоставление опытных данных с правилами распределения площади под кривой нормального распределения

z

± zs

Теоретический процент наблюдений

Фактический процент наблюдений

1

от 49,83 до 71,61

68,27

70,00

2

от 38,94 до 82,50

95,45

95,33

3

от 28,05 до 93,99

99,73

100,00

Рис. Г. Нормальная кривая и гистограмма 150 изделий, взятых по случайному закону из приближённо нормальной генеральной совокупности (м = 60, у = 10)

Теоретические частоты для рассматриваемого распределения 150 изделий, взятых из генеральной совокупности с м = 60 и у = 10, приведены в таблице 9. Порядок вычисления объясняют заголовки каждого из столбцов этой таблицы.

Очевидно, что значений 1-го столбца следует выбирать нечётное количество с учётом величины м так, чтобы серединное значение равнялось значению м.

Таблица 9

Вычисление теоретических частот для 150 изделий, взятых по случайному закону из приближённо нормальной генеральной совокупности (м=60; у=10; n=150;ДX=8)

X (- м)

Интегральные относительные частоты

Первая разность Д

m* (n·Д)

-?

-?

-?

-0,50000

0,00226

0,34

32

-28

-2,8

-0,49744

36

0,02019

3,03

40

-20

-2,0

-0,47725

44

0,09232

13,85

48

-12

-1,2

-0,38493

52

0,22951

34,43

56

-4

-0,4

-0,15542

60

0,31084

46,63

64

4

0,4

0,15542

68

0,22951

34,43

72

12

1,2

0,38493

76

0,09232

13,85

80

20

2,0

0,47725

84

0,02019

3,03

88

28

2,8

0,49744

0,00226

0,34

?

?

?

0,50000

У

0,99940

149,93

Значения в первой и последней строчках 2, 3 и 4-го столбцов равны соответственно -? и +?, так как нормальное распределение теоретически простирается от -? до +?. Числа, указанные в 5-м столбце, взяты из таблицы 2.3, приведённой в Приложении 2. Наличие знака 'минус' у первых цифр этого столбца, соответствующих значениям , меньшим нуля, обусловлено тем, что при Хр < м

< 0.

В 6-м столбце приведены первые разности.

Так, например,

Хс

Первая разность

Относительная частота

52

-0,15542 - (-0,38493)

= 0,22951

60

0,15542 - (-0,15542)

= 0,31084

68

0,38493 - 0,15542

= 0,22951

Вычисленное по формуле (1) значение ч2 приведено в таблице 10. Как следует из этой таблицы, значение ч2 = 1,2433. В этой таблице приведено семь групп (интервалов), то есть на две группы меньше, чем в таблице 9. Сокращение числа групп осуществлено за счёт объединения первых двух, а также двух последних групп. Это сделано потому, что значения m* в первых двух и последних двух группах весьма малы. Очень часто применяется правило, указывающее, что критерий ч2 может применяться в тех случаях, когда каждая теоретическая группа содержит по крайней мере пять наблюденных значений, а общее количество наблюденных значений составляет по крайней мере 50. Введение этих ограничений имеет вполне определённую цель: гарантировать, что распределение наблюденных значений mi относительно значений теоретических частот будет настолько близко к нормальному, что применение при оценке вероятностей таблиц для ч2 будет вполне обоснованным.

Хотя таблица 10 содержит семь групп, имеется только шесть степеней свободы (н = S - 1 = 7 - 1 = 6), так как на теоретические частоты накладывается одно ограничение: .

В таблице для ч2 из Приложения 3 для н = 6 находим При этом область принятия будет определяться соотношением ч2 < 12,592, а область отклонения - соотношением ч2 ? 12,592.

Таблица 10

Вычисление ч2 для распределения частот при ширине группового интервала, равной 8, и выборке из 150 изделий, взятых по случайному закону из нормальной генеральной совокупности:м=60; у =10

Границы теоретических интервалов

m

m*

m - m*

(m - m*)2

-? ч 40

4

3,37

0,63

0,3969

0,1178

40 ч 48

13

13,85

-0,85

0,7225

0,0522

48 ч 56

32

34,43

-2,43

5,9049

0,1715

56 ч 64

46

46,63

-0,63

0,3969

0,0085

64 ч 72

35

34,43

0,57

0,3249

0,0094

72 ч 80

15

13,85

1,15

1,3225

0,0955

80 ч ?

5

3,37

1,63

2,6569

0,7884

Всего

150

149,93

0,07

1,2433

Так как вычисленное значение ч2 составляет 1,2433, то оно попадает в область принятия, в связи с чем нет оснований для отклонения гипотезы о том, что выборка осуществлялась по случайному закону.

8. Проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности

Если параметры распределения неизвестны, но можно считать, что выборка взята по случайному закону, то может возникнуть желание проверить гипотезу о том, что генеральная совокупность является нормальной. При этом снова примем б = 0,05.

Так как параметры распределения неизвестны, используем совместные оценки максимума правдоподобия, исчисленные на основании группировки (таблица 4). Такими оценками являются для м и s2 для у2.

По формулам и , находим:

В таблице 11 показано вычисление теоретических частот, а из таблицы 12 по формуле (2) находим ч2 = 0,59.

Таблица 11

Вычисление нормальных частот для 150 изделий, взятых по случайному закону из генеральной совокупности с неизвестными параметрами:=60,72; s=10,89

X (-)

х /s

Интегральные относительные частоты

Д

m* (n·Д)

-?

-?

-?

-0,50000

0,02872

004,31

40

-20,72

-1,903

-0,47128

44

0,09228

013,84

48

-12,72

-1,168

-0,37900

52

0,21260

031,89

56

-4,72

-0,433

-0,16640

60

0,28431

042,66

64

3,28

0,301

0,11791

68

0,23292

034,94

72

11,28

1,036

0,35083

76

0,11081

016,62

80

19,28

1,770

0,46164

0,03836

005,74

?

?

?

0,50000

У

1,00000

150,00

Полученное в этом случае значение ч2 несколько меньше того значения, которое было указано в таблице 10, так как среднее значение и стандартное отклонение теоретического распределения были согласованы (за исключением ошибки группирования) со средним значением и стандартным отклонением выборки. Однако значение ч2 уменьшилось незначительно, то есть и м достаточно хорошо согласуются между собой, а s и у не очень сильно отличаются одно от другого.

Таблица 12

Вычисление ч2 для распределения частот при ширине группового интервала, равной 8, и выборке из 150 изделий, взятых по случайному закону из генеральной совокупности с неизвестными параметрами:=60,72; s=10,89

Границы интервалов

m

m*

m2

-? ч 40

04

04,31

0016

03,71

40 ч 48

13

13,84

0169

12,21

48 ч 56

32

31,89

1024

32,11

56 ч 64

46

42,66

2116

49,60

64 ч 72

35

34,94

1225

35,06

72 ч 80

15

16,62

0225

13,54

80 ч ?

05

05,74

0025

04,36

Всего

150

150,00

150,59

При этой проверке критерий ч2 имеет 4 степени свободы, а 3 степени свободы потеряны, так как согласование наблюденных и теоретических частот осуществлялось из трёх условий:

; ; .

Из 7 групповых частот любые четыре можно взять случайно или произвольно, а выбор 3-х остальных групповых частот нельзя осуществлять произвольно, если наблюденные и теоретические распределения должны иметь одинаковые количество элементов, средние и стандартные отклонения.

Воспользовавшись таблицей из Приложения 3, находим Значит, область принятия определяется соотношением ч2 < 9,488.

Так как вычисленное значение ч2 лежит в области принятия, гипотеза Н0, что генеральная совокупность, из которой взята эта случайная выборка, является нормальной, не отвергается.

9. Проверка предположения, что распределение генеральной совокупности является нормальным

Проверка при помощи критерия ч2 не является окончательной. Даже если значение ч2 невелико, наличие у разностей одного и того же знака может указывать на то, что генеральная совокупность не является нормальной.

Вычисление а3 и а4 или g1 и g2 и проверка их значимости может также указывать на то, что следует осуществить проверку некоторых других гипотез. Если значение или оказывается больше 2, то, может быть, надо проверить согласованность исследуемого распределения с другим распределением, отличным от нормального.

Вычисляем k-статистики Фишера, используя результаты вычислений из таблицы 5.

k3 == ;

k4 =

=.

Здесь .

Можно вычислить оценки, аналогичные г1 = б3 и г2 = б4 - 3:

g1 = = g2 ==

Заметим, что

sk

- 0,15

g1

- 0,15

ex

0,05

g2

0,09

Значимость и можно проверить путём сравнения с их стандартными ошибками, применяя формулы:

и .

Получим:

и

< 2 и < 2.

Поскольку ни одна из оценок более чем в два раза не превосходит свою стандартную ошибку, имеются все основания говорить о нормальности распределения изделий.

Заключение

ч2-критерий указывает на хорошее согласие (табл. 12), но выборка только одна и необходимо проявить известную осторожность при заключении об удовлетворительности согласия.

Визуальный анализ (см. рис. Г) не показывает существенного расхождения между нормальной кривой и гистограммой.

В целом нет оснований отбрасывать гипотезу о нормальном распределении в пользу какой-то иной теоретической модели, то есть, нет сомнений в правильности хода производственного процесса.

Перечень ссылок

1. Введение в теорию алгоритмов [Электронный ресурс]. - Электронные текстовые данные. - Режим доступа: http://th-algoritmov.narod.ru/1.htm

2. Алферова З.В. Теория алгоритмов. - М.: Издательство 'Статистика', 2010. - 164 с.

3. Марков А.А. Теория алгоритмов./ А.А. Марков, Н.М. Нагорный - М.: Наука, 2014. -217 с.: ил.

Приложения

Приложение 1. Таблица десятичных логарифмов

По определению логарифмом данного числа называют показатель степени, в которую надо возвести некоторое постоянное число (называемое основанием), чтобы получить данное число (называемое антилогарифмом). Так, например, 102=100, и мы можем написать, что log10100 = lg100 = 2 (логарифм числа 100 при основании 10 равен 2). В этом примере 10 является основанием, 2 - логарифмом (числа 100), а 100 является антилогарифмом (числа 2).

Каждый логарифм состоит из целого числа, называемого характеристикой, и десятичной дроби, называемой мантиссой. Когда в lgn антилогарифм n ? 1, характеристика положительна и численно равна числу знаков, стоящих слева от запятой, минус единица. Таким образом, логарифм числа 24 равен 1,38021.

n

0

n

0

n

0

n

0

n

0

15

17609

35

54407

55

74036

75

87506

95

97772

16

20412

36

55630

56

74819

76

88081

96

98227

17

23045

37

56820

57

75587

77

88649

97

98677

18

25527

38

57978

58

76343

78

89209

98

99123

19

27875

39

59106

59

77085

79

89763

99

99564

20

30103

40

60206

60

77815

80

90309

100

00000

21

32222

41

61278

61

78533

81

90849

110

04139

22

34242

42

62325

62

79239

82

91381

115

06070

23

36173

43

63347

63

79934

83

91908

120

07918

24

38021

44

64345

64

80618

84

92428

125

09691

25

39794

45

65321

65

81291

85

92942

130

11394

26

41497

46

66276

66

81954

86

93450

135

13033

27

43136

47

67210

67

82607

87

93952

140

14613

28

44716

48

68124

68

83251

88

94448

145

16137

29

46240

49

69020

69

83885

89

94939

150

17609

30

47712

50

69897

70

84510

90

95424

155

19033

31

49136

51

70757

71

85126

91

95904

160

20412

32

50515

52

71600

72

85733

92

96379

165

21748

33

51851

53

72428

73

86332

93

96848

170

23045

34

53148

54

73239

74

86923

94

97313

175

24304

Приложение 2

Таблицы функции нормального распределения

В таблице 2.1 указаны значения е-z, необходимые для вычисления ординат кривой f(z).

В таблице 2.2 указаны ординаты нормальных кривых для фиксированных значений z.

В таблице 2.3 приведены величины площадей, заключённых между средним и заданным значением Х (или между 0 и заданным значением z)

.

На приведённом ниже рисунке F(z) изображена в виде заштрихованной площади.

Таблица 2.1. Величины е-z

z

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0,0

1,000000

0,990050

0,980199

0,970446

0,960789

0,951229

0,941765

0,932394

0,923116

0,913931

0,1

0,904837

0,895834

0,886920

0,878095

0,869358

0,860708

0,852144

0,843665

0,835270

0,826959

0,2

0,818731

0,810584

0,802519

0,794534

0,786628

0,778801

0,771052

0,763379

0,755784

0,748264

0,3

0,740818

0,733447

0,726149

0,718924

0,711770

0,704688

0,697676

0,690734

0,683861

0,677057

0,4

0,670320

0,663650

0,657047

0,650509

0,644036

0,637628

0,631284

0,625002

0,618783

0,612626

0,5

0,606531

0,600496

0,594521

0,588605

0,582748

0,576950

0,571209

0,565525

0,559898

0,554327

0,6

0,548812

0,543351

0,537944

0,532592

0,527292

0,522046

0,516851

0,511709

0,506617

0,501576

0,7

0,496585

0,491644

0,486752

0,481909

0,477114

0,472367

0,467666

0,463013

0,458406

0,453845

0,8

0,449329

0,444858

0,440432

0,436049

0,431711

0,427415

0,423162

0,418952

0,414783

0,410656

0,9

0,406570

0,402524

0,398519

0,394554

0,390628

0,386741

0,382893

0,379083

0,375311

0,371577

1,0

0,367879

0,364219

0,360595

0,357007

0,353455

0,349938

0,346456

0,343009

0,339596

0,336216

1,1

0,332871

0,329559

0,326280

0,323033

0,319819

0,316637

0,313486

0,310367

0,307279

0,304221

1,2

0,301194

0,298197

0,295230

0,292293

0,289384

0,286505

0,283654

0,280832

0,278037

0,275271

1,3

0,272532

0,269820

0,267135

0,264477

0,261846

0,259240

0,256661

0,254107

0,251579

0,249075

1,4

0,246597

0,244143

0,241714

0,239309

0,236928

0,234570

0,232236

0,229925

0,227638

0,225373

1,5

0,223130

0,220910

0,218712

0,216536

0,214381

0,212248

0,210136

0,208045

0,205975

0,203926

1,6

0,201897

0,199888

0,197899

0,195930

0,193980

0,192050

0,190139

0,188247

0,186374

0,184520

1,7

0,182684

0,180866

0,179066

0,177284

0,175520

0,173774

0,172045

0,170333

0,168638

0,166960

1,8

0,165299

0,163654

0,162026

0,160414

0,158817

0,157237

0,155673

0,154124

0,152590

0,151072

1,9

0,149569

0,148080

0,146607

0,145148

0,143704

0,142274

0,140858

0,139457

0,138069

0,136695

2,0

0,135335

0,133989

0,132655

0,131336

0,130029

0,128735

0,127454

0,126186

0,124930

0,123687

2,1

0,122456

0,121238

0,120032

0,118837

0,117655

0,116484

0,115325

0,114178

0,113042

0,111917

2,2

0,110803

0,109701

0,108609

0,107528

0,106459

0,105399

0,104350

0,103312

0,102284

0,101266

2,3

0,100259

0,099261

0,098274

0,097296

0,096328

0,095369

0,094420

0,093481

0,092551

0,091630

2,4

0,090718

0,089815

0,088922

0,088037

0,087161

0,086294

0,085435

0,084585

0,083743

0,082910

2,5

0,082085

0,081268

0,080460

0,079659

0,078866

0,078082

0,077305

0,076536

0,075774

0,075020

2,6

0,074274

0,073535

0,072803

0,072078

0,071361

0,070651

0,069948

0,069252

0,068563

0,067881

2,7

0,067206

0,066537

0,065875

0,065219

0,064570

0,063928

0,063292

0,062662

0,062039

0,061421

2,8

0,060810

0,060205

0,059606

0,059013

0,058426

0,057844

0,057269

0,056699

0,056135

0,055576

2,9

0,055023

0,054476

0,053934

0,053397

0,052866

0,052340

0,051819

0,051303

0,050793

0,050287

3,0

0,049787

0,049292

0,048801

0,048316

0,047835

0,047359

0,046888

0,046421

0,045959

0,045502

3,1

0,045049

0,044601

0,044157

0,043718

0,043283

0,042852

0,042426

0,042004

0,041586

0,041172

3,2

0,040762

0,040357

0,039955

0,039557

0,039164

0,038774

0,038388

0,038006

0,037628

0,037254

3,3

0,036883

0,036516

0,036153

0,035793

0,035437

0,035084

0,034735

0,034390

0,034047

0,033709

3,4

0,033373

0,033041

0,032712

0,032387

0,032065

0,031746

0,031430

0,031117

0,030807

0,030501

z

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

3,5

0,030197

0,029897

0,029599

0,029305

0,029013

0,028725

0,028439

0,028156

0,027876

0,027598

3,6

0,027324

0,027052

0,026783

0,026516

0,026252

0,025991

0,025733

0,025476

0,025223

0,024972

3,7

0,024724

0,024478

0,024234

0,023993

0,023754

0,023518

0,023284

0,023052

0,022823

0,022596

3,8

0,022371

0,022148

0,021928

0,021710

0,021494

0,021280

0,021068

0,020858

0,020651

0,020445

3,9

0,020242

0,020041

0,019841

0,019644

0,019448

0,019255

0,019063

0,018873

0,018686

0,018500

4,0

0,018316

0,018133

0,017953

0,017774

0,017597

0,017422

0,017249

0,017077

0,016907

0,016739

4,1

0,016573

0,016408

0,016245

0,016083

0,015923

0,015764

0,015608

0,015452

0,015299

0,015146

4,2

0,014996

0,014846

0,014699

0,014552

0,014408

0,014264

0,014122

0,013982

0,013843

0,013705

4,3

0,013569

0,013434

0,013300

0,013168

0,013037

0,012907

0,012778

0,012651

0,012525

0,012401

4,4

0,012277

0,012155

0,012034

0,011914

0,011796

0,011679

0,011562

0,011447

0,011333

0,011221

4,5

0,011109

0,010998

0,010889

0,010781

0,010673

0,010567

0,010462

0,010358

0,010255

0,010153

4,6

0,010052

0,009952

0,009853

0,009755

0,009658

0,009562

0,009466

0,009372

0,009279

0,009187

4,7

0,009095

0,009005

0,008915

0,008826

0,008739

0,008652

0,008566

0,008480

0,008396

0,008312

4,8

0,008230

0,008148

0,008067

0,007987

0,007907

0,007828

0,007750

0,007673

0,007597

0,007521

4,9

0,007447

0,007372

0,007299

0,007227

0,007155

0,007083

0,007013

0,006943

0,006874

0,006806

5,0

0,006738

0,006671

0,006605

0,006539

0,006474

0,006409

0,006346

0,006282

0,006220

0,006158

5,1

0,006097

0,006036

0,005976

0,005917

0,005858

0,005799

0,005742

0,005685

0,005628

0,005572

5,2

0,005517

0,005462

0,005407

0,005354

0,005300

0,005248

0,005195

0,005144

0,005092

0,005042

5,3

0,004992

0,004942

0,004893

0,004844

0,004796

0,004748

0,004701

0,004654

0,004608

0,004562

5,4

0,004517

0,004472

0,004427

0,004383

0,004339

0,004296

0,004254

0,004211

0,004169

0,004128

5,5

0,004087

0,004046

0,004006

0,003966

0,003927

0,003887

0,003849

0,003810

0,003773

0,003735

5,6

0,003698

0,003661

0,003625

0,003589

0,003553

0,003518

0,003483

0,003448

0,003414

0,003380

5,7

0,003346

0,003313

0,003280

0,003247

0,003215

0,003183

0,003151

0,003120

0,003089

0,003058

5,8

0,003028

0,002997

0,002968

0,002938

0,002909

0,002880

0,002851

0,002823

0,002795

0,002767

5,9

0,002739

0,002712

0,002685

0,002658

0,002632

0,002606

0,002580

0,002554

0,002529

0,002504

6,0

0,002479

0,002454

0,002430

0,002405

0,002382

0,002358

0,002334

0,002311

0,002288

0,002265

6,1

0,002243

0,002221

0,002198

0,002177

0,002155

0,002133

0,002112

0,002091

0,002070

0,002050

6,2

0,002029

0,002009

0,001989

0,001969

0,001950

0,001930

0,001911

0,001892

0,001873

0,001855

6,3

0,001836

0,001818

0,001800

0,001782

0,001764

0,001747

0,001729

0,001712

0,001695

0,001678

6,4

0,001662

0,001645

0,001629

0,001612

0,001596

0,001581

0,001565

0,001549

0,001534

0,001519

6,5

0,001503

0,001488

0,001474

0,001459

0,001444

0,001430

0,001416

0,001402

0,001388

0,001374

6,6

0,001360

0,001347

0,001333

0,001320

0,001307

0,001294

0,001281

0,001268

0,001256

0,001243

6,7

0,001231

0,001219

0,001207

0,001195

0,001183

0,001171

0,001159

0,001148

0,001136

0,001125

6,8

0,001114

0,001103

0,001092

0,001081

0,001070

0,001059

0,001049

0,001038

0,001028

0,001018

6,9

0,001008

0,000998

0,000988

0,000978

0,000968

0,000959

0,000949

0,000940

0,000930

0,000921

z

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

7,0

0,000912

0,000903

0,000894

0,000885

0,000876

0,000867

0,000859

0,000850

0,000842

0,000833

7,1

0,000825

0,000817

0,000809

0,000801

0,000793

0,000785

0,000777

0,000769

0,000762

0,000754

7,2

0,000747

0,000739

0,000732

0,000725

0,000717

0,000710

0,000703

0,000696

0,000689

0,000682

7,3

0,000676

0,000669

0,000662

0,000656

0,000649

0,000643

0,000636

0,000630

0,000624

0,000617

7,4

0,000611

0,000605

0,000599

0,000593

0,000587

0,000581

0,000576

0,000570

0,000564

0,000559

7,5

0,000553

0,000548

0,000542

0,000537

0,000531

0,000526

0,000521

0,000516

0,000511

0,000505

7,6

0,000500

0,000495

0,000491

0,000486

0,000481

0,000476

0,000471

0,000467

0,000462

0,000457

7,7

0,000453

0,000448

0,000444

0,000439

0,000435

0,000431

0,000426

0,000422

0,000418

0,000414

7,8

0,000410

0,000406

0,000402

0,000398

0,000394

0,000390

0,000386

0,000382

0,000378

0,000374

7,9

0,000371

0,000367

0,000363

0,000360

0,000356

0,000353

0,000349

0,000346

0,000342

0,000339

8,0

0,000335

0,000332

0,000329

0,000326

0,000322

0,000319

0,000316

0,000313

0,000310

0,000307

8,1

0,000304

0,000301

0,000298

0,000295

0,000292

0,000289

0,000286

0,000283

0,000280

0,000277

8,2

0,000275

0,000272

0,000269

0,000267

0,000264

0,000261

0,000259

0,000256

0,000254

0,000251

8,3

0,000249

0,000246

0,000244

0,000241

0,000239

0,000236

0,000234

0,000232

0,000229

0,000227

8,4

0,000225

0,000223

0,000220

0,000218

0,000216

0,000214

0,000212

0,000210

0,000208

0,000206

8,5

0,000203

0,000201

0,000199

0,000197

0,000195

0,000194

0,000192

0,000190

0,000188

0,000186

8,6

0,000184

0,000182

0,000180

0,000179

0,000177

0,000175

0,000173

0,000172

0,000170

0,000168

8,7

0,000167

0,000165

0,000163

0,000162

0,000160

0,000158

0,000157

0,000155

0,000154

0,000152

8,8

0,000151

0,000149

0,000148

0,000146

0,000145

0,000143

0,000142

0,000141

0,000139

0,000138

8,9

0,000136

0,000135

0,000134

0,000132

0,000131

0,000130

0,000128

0,000127

0,000126

0,000125

9,0

0,000123

0,000122

0,000121

0,000120

0,000119

0,000117

0,000116

0,000115

0,000114

0,000113

9,1

0,000112

0,000111

0,000109

0,000108

0,000107

0,000106

0,000105

0,000104

0,000103

0,000102

9,2

0,000101

0,000100

0,000099

0,000098

0,000097

0,000096

0,000095

0,000094

0,000093

0,000092

9,3

0,000091

0,000091

0,000090

0,000089

0,000088

0,000087

0,000086

0,000085

0,000084

0,000084

9,4

0,000083

0,000082

0,000081

0,000080

0,000079

0,000079

0,000078

0,000077

0,000076

0,000076

9,5

0,000075

0,000074

0,000073

0,000073

0,000072

0,000071

0,000070

0,000070

0,000069

0,000068

9,6

0,000068

0,000067

0,000066

0,000066

0,000065

0,000064

0,000064

0,000063

0,000063

0,000062

9,7

0,000061

0,000061

0,000060

0,000059

0,000059

0,000058

0,000058

0,000057

0,000057

0,000056

9,8

0,000055

0,000055

0,000054

0,000054

0,000053

0,000053

0,000052

0,000052

0,000051

0,000051

9,9

0,000050

0,000050

0,000049

0,000049

0,000048

0,000048

0,000047

0,000047

0,000046

0,000046

10,0

0,000045

0,000045

0,000045

0,000044

0,000044

0,000043

0,000043

0,000042

0,000042

0,000041

10,1

0,000041

0,000041

0,000040

0,000040

0,000039

0,000039

0,000039

0,000038

0,000038

0,000038

10,2

0,000037

0,000037

0,000036

0,000036

0,000036

0,000035

0,000035

0,000035

0,000034

0,000034

10,3

0,000034

0,000033

0,000033

0,000033

0,000032

0,000032

0,000032

0,000031

0,000031

0,000031

10,4

0,000030

0,000030

0,000030

0,000030

0,000029

0,000029

0,000029

0,000028

0,000028

0,000028

Таблица 2.2

Ординаты нормальных кривых для фиксированных значений z

z

f(z)

z

f(z)

z

f(z)

z

f(z)

z

f(z)

0,01

0,398922

0,51

0,350292

1,01

0,239551

1,51

0,127583

2,01

0,052919

0,02

0,398862

0,52

0,348493

1,02

0,237132

1,52

0,125665

2,02

0,051864

0,03

0,398763

0,53

0,346668

1,03

0,234714

1,53

0,123763

2,03

0,050824

0,04

0,398623

0,54

0,344818

1,04

0,232297

1,54

0,121878

2,04

0,049800

0,05

0,398444

0,55

0,342944

1,05

0,229882

1,55

0,120009

2,05

0,048792

0,06

0,398225

0,56

0,341046

1,06

0,227470

1,56

0,118157

2,06

0,047800

0,07

0,397966

0,57

0,339124

1,07

0,225060

1,57

0,116323

2,07

0,046823

0,08

0,397668

0,58

0,337180

1,08

0,222653

1,58

0,114505

2,08

0,045861

0,09

0,397330

0,59

0,335213

1,09

0,220251

1,59

0,112704

2,09

0,044915

0,10

0,396953

0,60

0,333225

1,10

0,217852

1,60

0,110921

2,10

0,043984

0,11

0,396536

0,61

0,331215

1,11

0,215458

1,61

0,109155

2,11

0,043067

0,12

0,396080

0,62

0,329184

1,12

0,213069

1,62

0,107406

2,12

0,042166

0,13

0,395585

0,63

0,327133

1,13

0,210686

1,63

0,105675

2,13

0,041280

0,14

0,395052

0,64

0,325062

1,14

0,208308

1,64

0,103961

2,14

0,040408

0,15

0,394479

0,65

0,322972

1,15

0,205936

1,65

0,102265

2,15

0,039550

0,16

0,393868

0,66

0,320864

1,16

0,203571

1,66

0,100586

2,16

0,038707

0,17

0,393219

0,67

0,318737

1,17

0,201214

1,67

0,098925

2,17

0,037878

0,18

0,392531

0,68

0,316593

1,18

0,198863

1,68

0,097282

2,18

0,037063

0,19

0,391806

0,69

0,314432

1,19

0,196520

1,69

0,095657

2,19

0,036262

0,20

0,391043

0,70

0,312254

1,20

0,194186

1,70

0,094049

2,20

0,035475

0,21

0,390242

0,71

0,310060

1,21

0,191860

1,71

0,092459

2,21

0,034701

0,22

0,389404

0,72

0,307851

1,22

0,189543

1,72

0,090887

2,22

0,033941

0,23

0,388529

0,73

0,305627

1,23

0,187235

1,73

0,089333

2,23

0,033194

0,24

0,387617

0,74

0,303389

1,24

0,184937

1,74

0,087796

2,24

0,032460

0,25

0,386668

0,75

0,301137

1,25

0,182649

1,75

0,086277

2,25

0,031740

0,26

0,385683

0,76

0,298872

1,26

0,180371

1,76

0,084776

2,26

0,031032

0,27

0,384663

0,77

0,296595

1,27

0,178104

1,77

0,083293

2,27

0,030337

0,28

0,383606

0,78

0,294305

1,28

0,175847

1,78

0,081828

2,28

0,029655

0,29

0,382515

0,79

0,292004

1,29

0,173602

1,79

0,080380

2,29

0,028985

0,30

0,381388

0,80

0,289692

1,30

0,171369

1,80

0,078950

2,30

0,028327

0,31

0,380226

0,81

0,287369

1,31

0,169147

1,81

0,077538

2,31

0,027682

0,32

0,379031

0,82

0,285036

1,32

0,166937

1,82

0,076143

2,32

0,027048

0,33

0,377801

0,83

0,282694

1,33

0,164740

1,83

0,074766

2,33

0,026426

0,34

0,376537

0,84

0,280344

1,34

0,162555

1,84

0,073407

2,34

0,025817

0,35

0,375240

0,85

0,277985

1,35

0,160383

1,85

0,072065

2,35

0,025218

0,36

0,373911

0,86

0,275618

1,36

0,158225

1,86

0,070740

2,36

0,024631

0,37

0,372548

0,87

0,273244

1,37

0,156080

1,87

0,069433

2,37

0,024056

0,38

0,371154

0,88

0,270864

1,38

0,153948

1,88

0,068144

2,38

0,023491

0,39

0,369728

0,89

0,268477

1,39

0,151831

1,89

0,066871

2,39

0,022937

0,40

0,368270

0,90

0,266085

1,40

0,149727

1,90

0,065616

2,40

0,022395

0,41

0,366782

0,91

0,263688

1,41

0,147639

1,91

0,064378

2,41

0,021862

0,42

0,365263

0,92

0,261286

1,42

0,145564

1,92

0,063157

2,42

0,021341

0,43

0,363714

0,93

0,258881

1,43

0,143505

1,93

0,061952

2,43

0,020829

0,44

0,362135

0,94

0,256471

1,44

0,141460

1,94

0,060765

2,44

0,020328

0,45

0,360527

0,95

0,254059

1,45

0,139431

1,95

0,059595

2,45

0,019837

0,46

0,358890

0,96

0,251644

1,46

0,137417

1,96

0,058441

2,46

0,019356

0,47

0,357225

0,97

0,249228

1,47

0,135418

1,97

0,057304

2,47

0,018885

0,48

0,355533

0,98

0,246809

1,48

0,133435

1,98

0,056183

2,48

0,018423

0,49

0,353812

0,99

0,244390

1,49

0,131468

1,99

0,055079

2,49

0,017971

0,50

0,352065

1,00

0,241971

1,50

0,129518

2,00

0,053991

2,50

0,017528

z

f(z)

z

f(z)

z

f(z)

z

f(z)

z

f(z)

2,51

2,52

2,53

2,54

2,55

0,017095

0,016670

0,016254

0,015848

0,015449

3,01

3,02

3,03

3,04

3,05

0,004301

0,004173

0,004049

0,003928

0,003810

3,51

3,52

3,53

3,54

3,55

0,000843

0,000814

0,000785

0,000758

0,000732

4,01

4,02

4,03

4,04

4,05

0,000129

0,000124

0,000119

0,000114

0,000109

4,51

4,52

4,53

4,54

4,55

0,000015

0,000015

0,000014

0,000013

0,000013

2,56

2,57

2,58

2,59

2,60

0,015060

0,014678

0,014305

0,013940

0,013583

3,06

3,07

3,08

3,09

3,10

0,003695

0,003584

0,003475

0,003370

0,003267

3,56

3,57

3,58

3,59

3,60

0,000706

0,000681

0,000657

0,000634

0,000612

4,06

4,07

4,08

4,09

4,10

0,000105

0,000101

0,000097

0,000093

0,000089

4,56

4,57

4,58

4,59

4,60

0,000012

0,000012

0,000011

0,000011

0,000010

2,61

2,62

2,63

2,64

2,65

0,013234

0,012892

0,012558

0,012232

0,011912

3,11

3,12

3,13

3,14

3,15

0,003167

0,003070

0,002975

0,002884

0,002794

3,61

3,62

3,63

3,64

3,65

0,000590

0,000569

0,000549

0,000529

0,000510

4,11

4,12

4,13

4,14

4,15

0,000086

0,000082

0,000079

0,000076

0,000073

4,61

4,62

4,63

4,64

4,65

0,000010

0,000009

0,000009

0,000008

0,000008

2,66

2,67

2,68

2,69

2,70

0,011600

0,011295

0,010997

0,010706

0,010421

3,16

3,17

3,18

3,19

3,20

0,002707

0,002623

0,002541

0,002461

0,002384

3,66

3,67

3,68

3,69

3,70

0,000492

0,000474

0,000457

0,000441

0,000425

4,16

4,17

4,18

4,19

4,20

0,000070

0,000067

0,000064

0,000061

0,000059

4,66

4,67

4,68

4,69

4,70

0,000008

0,000007

0,000007

0,000007

0,000006

2,71

2,72

2,73

2,74

2,75

0,010143

0,009871

0,009606

0,009347

0,009094

3,21

3,22

3,23

3,24

3,25

0,002309

0,002236

0,002165

0,002096

0,002029

3,71

3,72

3,73

3,74

3,75

0,000409

0,000394

0,000380

0,000366

0,000353

4,21

4,22

4,23

4,24

4,25

0,000057

0,000054

0,000052

0,000050

0,000048

4,71

4,72

4,73

4,74

4,75

0,000006

0,000006

0,000006

0,000005

0,000005

2,76

0,008846

3,26

0,001964

3,76

0,000340

4,26

0,000046

4,76

0,000005

2,77

0,008605

3,27

0,001901

3,77

0,000327

4,27

0,000044

4,77

0,000005

2,78

0,008370

3,28

0,001840

3,78

0,000315

4,28

0,000042

4,78

0,000004

2,79

0,008140

3,29

0,001780

3,79

0,000303

4,29

0,000040

4,79

0,000004

2,80

0,007915

3,30

0,001723

3,80

0,000292

4,30

0,000039

4,80

0,000004

2,81

0,007697

3,31

0,001667

3,81

0,000281

4,31

0,000037

4,81

0,000004

2,82

0,007483

3,32

0,001612

3,82

0,000271

4,32

0,000035

4,82

0,000004

2,83

0,007274

3,33

0,001560

3,83

0,000260

4,33

0,000034

4,83

0,000003

2,84

0,007071

3,34

0,001508

3,84

0,000251

4,34

0,000032

4,84

0,000003

2,85

0,006873

3,35

0,001459

3,85

0,000241

4,35

0,000031

4,85

0,000003

2,86

0,006679

3,36

0,001411

3,86

0,000232

4,36

0,000030

4,86

0,000003

2,87

0,006491

3,37

0,001364

3,87

0,000223

4,37

0,000028

4,87

0,000003

2,88

0,006307

3,38

0,001319

3,88

0,000215

4,38

0,000027

4,88

0,000003

2,89

0,006127

3,39

0,001275

3,89

0,000207

4,39

0,000026

4,89

0,000003

2,90

0,005953

3,40

0,001232

3,90

0,000199

4,40

0,000025

4,90

0,000002

2,91

0,005782

3,41

0,001191

3,91

0,000191

4,41

0,000024

4,91

0,000002

2,92

0,005616

3,42

0,001151

3,92

0,000184

4,42

0,000023

4,92

0,000002

2,93

0,005454

3,43

0,001112

3,93

0,000177

4,43

0,000022

4,93

0,000002

2,94

0,005296

3,44

0,001075

3,94

0,000170

4,44

0,000021

4,94

0,000002

2,95

0,005143

3,45

0,001038

3,95

0,000163

4,45

0,000020

4,95

0,000002

2,96

0,004993

3,46

0,001003

3,96

0,000157

4,46

0,000019

4,96

0,000002

2,97

0,004847

3,47

0,000969

3,97

0,000151

4,47

0,000018

4,97

0,000002

2,98

0,004705

3,48

0,000936

3,98

0,000145

4,48

0,000017

4,98

0,000002

2,99

0,004567

3,49

0,000904

3,99

0,000139

4,49

0,000017

4,99

0,000002

3,00

0,004432

3,50

0,000873

4,00

0,000134

4,50

0,000016

5,00

0,000001

Таблица 2.3

Площади нормальных кривых для фиксированных значений z

z

0,00

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

0,08

0,09

0,0

0,00000

0,00399

0,00798

0,01197

0,01595

0,01994

0,02392

0,02790

0,03188

0,03586

0,1

0,03983

0,04380

0,04776

0,05172

0,05567

0,05962

0,06356

0,06749

0,07142

0,07535

0,2

0,07926

0,08317

0,08706

0,08095

0,09483

0,09871

0,10257

0,10642

0,11026

0,11409

0,3

0,11791

0,12172

0,12552

0,12930

0,13307

0,13683

0,14058

0,14431

0,14803

0,15173

0,4

0,15542

0,15910

0,16276

0,16640

0,17003

0,17364

0,17724

0,18082

0,18439

0,18793

0,5

0,19146

0,19497

0,19847

0,20194

0,20540

0,20884

0,21226

0,21566

0,21904

0,22240

0,6

0,22575

0,22907

0,23237

0,23564

0,23891

0,24215

0,24537

0,24857

0,25175

0,25490

0,7

0,25804

0,26115

0,26424

0,26730

0,27035

0,27337

0,27637

0,27935

0,28230

0,28524

0,8

0,28814

0,29103

0,29389

0,29673

0,29955

0,30234

0,30511

0,30785

0,31057

0,31327

0,9

0,31594

0,31859

0,32121

0,32381

0,32639

0,32894

0,33147

0,33398

0,33646

0,33891

1,0

0,34134

0,34375

0,34614

0,34849

0,35083

0,35314

0,35543

0,35769

0,35993

0,36214

1,1

0,36433

0,36650

0,36864

0,37076

0,37286

0,37493

0,37698

0,37900

0,38100

0,38298

1,2

0,38493

0,38686

0,38877

0,39065

0,39251

0,39435

0,39617

0,39796

0,39973

0,40147

1,3

0,40320

0,40490

0,40658

0,40824

0,40988

0,41198

0,41309

0,41466

0,41621

0,41774

1,4

0,41924

0,42073

0,42220

0,42364

0,42507

0,42647

0,42785

0,42922

0,40356

0,43189

1,5

0,43319

0,43448

0,43574

0,43699

0,43822

0,43943

0,44062

0,44179

0,44295

0,44408

1,6

0,44520

0,44630

0,44738

0,44845

0,44950

0,45053

0,45154

0,45254

0,45352

0,45449

1,7

0,45543

0,45637

0,45728

0,45818

0,45907

0,45994

0,46080

0,46164

0,46246

0,46327

1,8

0,46407

0,46485

0,46562

0,46638

0,46712

0,46784

0,46856

0,46926

0,46995

0,47062

1,9

0,47128

0,47193

0,47257

0,47320

0,47381

0,47441

0,47500

0,47558

0,47615

0,47670

2,0

0,47725

0,47784

0,47831

0,47882

0,47932

0,47982

0,48030

0,48077

0,48124

0,48169

2,1

0,48214

0,48257

0,48300

0,48341

0,48382

0,48422

0,48461

0,48500

0,48537

0,48574

2,2

0,48610

0,48645

0,48679

0,48713

0,48745

0,48778

0,48809

0,48840

0,48870

0,48899

2,3

0,48928

0,48956

0,48983

0,49010

0,49036

0,49061

0,49086

0,49111

0,49134

0,49158

2,4

0,49180

0,49202

0,49224

0,49245

0,49266

0,49286

0,49305

0,49324

0,49343

0,49361

2,5

0,49379

0,49396

0,49413

0,49430

0,49446

0,49461

0,49477

0,49492

0,49506

0,49520

2,6

0,49534

0,49547

0,49560

0,49573

0,49585

0,49598

0,49609

0,49621

0,49632

0,49643

2,7

0,49653

0,49664

0,49674

0,49683

0,49693

0,49702

0,49711

0,49720

0,49728

0,49736

2,8

0,49744

0,49752

0,49760

0,49767

0,49774

0,49781

0,49788

0,49795

0,49801

0,49807

2,9

0,49813

0,49819

0,49825

0,49831

0,49836

0,49841

0,49846

0,49851

0,49856

0,49861

3,0

0,49865

0,49869

0,49874

0,49878

0,49882

0,49886

0,49889

0,49893

0,49896

0,49900

3,1

0,49903

0,49906

0,49910

0,49913

0,49992

0,49918

0,49921

0,49924

0,49926

0,49929

3,2

0,49931

0,49934

0,49936

0,49938

0,49940

0,49942

0,49944

0,49946

0,49948

0,49950

3,3

0,49952

0,49953

0,49955

0,49957

0,49958

0,49960

0,49961

0,49962

0,49964

0,49965

3,4

0,49966

0,49968

0,49969

0,49970

0,49971

0,49972

0,49973

0,49974

0,49975

0,49976

3,5

0,49977

0,49978

0,49978

0,49979

0,49980

0,49981

0,49981

0,49982

0,49983

0,49983

3,6

0,49984

0,49985

0,49985

0,49986

0,49986

0,49987

0,49987

0,49988

0,49988

0,49989

3,7

0,49989

0,49990

0,49990

0,49990

0,49991

0,49991

0,49992

0,49992

0,49992

0,49992

3,8

0,49993

0,49993

0,49993

0,49994

0,49994

0,49994

0,49994

0,49995

0,49995

0,49995

3,9

0,49995

0,49995

0,49996

0,49996

0,49996

0,49996

0,49976

0,49996

0,49997

0,49997

4,0

0,49997

4,5

0,499997

5,0

0,4999997

Приложение 3

Значения ч2 для фиксированных значений вероятностей и заданных степеней свободы

Таблица даёт значения Q(ч2/н), то есть вероятности получения значения ч2, равного или превышающего выборочное значение.

Таблица даёт величину зачернённой площади.

н

Вероятность

0,999

0,995

0,99

0,98

0,975

0,95

0,90

0,80

0,75

0,70

0,50

1

0,05157

0,04393

0,03157

0,03628

0,03982

0,00393

0,0158

0,0642

0,102

0,148

0,455

2

0,00200

0,0100

0,0201

0,0404

0,0506

0,103

0,211

0,446

0,575

0,713

1,386

3

0,0243

0,0717

0,115

0,185

0,216

0,352

0,584

1,005

1,213

1,424

2,366

4

0,0908

0,207

0,297

0,429

0,484

0,711

1,064

1,649

1,923

2,195

3,357

5

0,210

0,412

0,554

0,752

0,831

1,145

1,610

2,343

2,675

3,000

4,351

6

0,381

0,676

0,872

1,134

1,237

1,635

2,204

3,070

3,455

3,828

5,348

7

0,598

0,989

1,239

1,564

1,690

2,167

2,833

3,822

4,255

4,671

6,346

8

0,857

1,344

1,646

2,032

2,180

2,733

3,490

4,594

5,071

5,527

7,344

9

1,152

1,735

2,088

2,532

2,700

3,325

4,168

5,380

5,899

6,393

8,343

10

1,479

2,156

2,558

3,059

3,247

3,940

4,865

6,179

6,737

7,267

9,342

11

1,834

2,603

3,053

3,609

3,816

4,575

5,578

6,989

7,584

8,148

10,341

12

2,214

3,074

3,571

4,178

4,404

5,226

6,304

7,807

8,438

9,034

11,340

13

2,617

3,565

4,107

4,765

5,009

5,892

7,042

8,634

9,299

9,926

12,340

14

3,041

4,075

4,660

5,368

5,629

6,571

7,790

9,467

10,165

10,821

13,339

15

3,483

4,601

5,229

5,985

6,262

7,261

8,547

10,307

11,036

11,721

14,339

16

3,942

5,142

5,812

6,614

6,908

7,962

9,312

11,152

11,912

12,624

15,338

17

4,416

5,697

6,408

7,255

7,564

8,672

10,085

12,002

12,792

13,531

16,338

18

4,905

6,265

7,015

7,906

8,231

9,390

10,865

12,857

13,675

14,440

17,338

19

5,407

6,844

7,633

8,567

8,907

10,117

11,651

13,716

14,562

15,352

18,338

20

5,921

7,434

8,260

9,237

9,591

10,851

12,443

14,578

15,452

16,266

19,337

21

6,447

8,034

8,897

9,915

10,283

11,591

13,240

15,445

16,344

17,182

20,337

22

6,983

8,643

9,542

10,600

10,982

12,338

14,041

16,314

17,240

18,101

21,337

23

7,529

9,260

10,196

11,293

11,688

13,091

14,848

17,187

18,137

19,021

22,337

24

8,085

9,886

10,856

11,992

12,401

13,848

15,659

18,062

19,037

19,943

23,337

25

8,649

10,520

11,524

12,697

13,120

14,611

16,473

18,940

19,939

20,867

24,337

26

9,222

11,160

12,198

13,409

13,884

15,379

17,292

19,820

20,843

21,792

25,336

27

9,803

11,808

12,879

14,125

14,573

16,151

18,114

20,703

21,749

22,719

26,336

28

10,391

12,461

13,565

14,847

15,308

16,928

18,939

21,588

22,657

23,647

27,336

29

10,986

13,121

14,256

15,574

16,047

17,708

19,768

22,475

23,567

24,577

28,336

30

11,588

13,787

14,953

16,306

16,791

18,493

20,599

23,364

24,478

25,508

29,336

Для больших н

,

где zQ является нормальным отклонением, отсекающим соответствующие края нормального распределения. Таким образом, когда zQ = 1,96, мы получаем значения ч2 для Q = 0,975 и Q = 0,025, или Р = 0,025 и Р = 0,975.

н

Вероятность

0,30

0,25

0,20

0,10

0,05

0,025

0,02

0,01

0,005

0,001

1

1,074

1,323

1,642

2,706

3,841

5,024

5,412

6,635

7,879

10,827

2

2,408

2,773

3,219

4,605

5,991

7,378

7,824

9,210

10,597

13,815

3

3,665

4,108

4,642

6,251

7,815

9,348

9,837

11,345

12,838

16,268

4

4,878

5,385

5,989

7,779

9,488

11,143

11,668

13,277

14,860

18,465

5

6,064

6,626

7,289

9,236

11,070

12,832

13,388

15,086

16,750

20,517

6

7,231

7,841

8,558

10,645

12,592

14,449

15,033

16,812

18,548

22,457

7

8,383

9,037

9,803

12,017

14,067

16,013

16,622

18,475

20,278

24,332

8

9,524

10,219

11,030

13,362

15,507

17,535

18,168

20,090

21,955

26,125

9

10,656

11,389

12,242

14,684

16,919

19,023

19,679

21,666

23,589

27,877

10

11,781

12,549

13,442

15,987

18,307

20,483

21,161

23,209

25,188

29,588

11

12,899

13,701

14,631

17,275

19,675

21,920

22,618

24,725

26,757

31,264

12

14,011

14,845

15,812

18,549

21,026

23,337

24,054

26,217

28,300

32,909

13

15,119

15,984

16,985

19,812

22,362

24,736

25,472

27,688

29,819

34,528

14

16,222

17,117

18,151

21,064

23,685

26,119

26,873

29,141

31,319

36,123

15

17,322

18,245

19,311

22,307

24,996

27,488

28,259

30,578

32,801

37,697

16

18,418

19,369

20,465

23,542

26,296

28,845

29,633

32,000

34,267

39,252

17

19,511

20,489

21,615

24,769

27,587

30,191

30,995

33,409

35,718

40,790

18

20,601

21,605

22,760

25,989

28,869

31,526

32,346

34,805

37,156

42,312

19

21,689

22,718

23,900

27,204

30,144

32,852

33,687

36,191

38,582

43,820

20

22,775

23,828

25,038

28,412

31,410

34,170

35,020

37,566

39,997

45,315

21

23,858

24,935

26,171

29,615

32,671

35,479

36,343

38,932

41,401

46,797

22

24,939

26,039

27,301

30,813

33,924

36,781

37,659

40,289

42,796

48,268

23

26,018

27,141

28,429

32,007

35,172

38,076

38,968

41,638

44,181

49,728

24

27,096

28,241

29,553

33,196

36,415

39,364

40,270

42,980

45,558

51,179

25

28,172

29,339

30,675

34,382

37,652

40,646

41,566

44,314

46,928

52,620

26

29,246

30,434

31,795

35,563

38,885

41,923

42,856

45,642

48,290

54,052

27

30,319

31,528

32,912

36,741

40,113

43,194

44,140

46,963

49,645

55,476

28

31,391

32,620

34,027

37,916

41,337

44,461

45,419

48,278

50,993

56,893

29

32,461

33,711

35,139

39,087

42,557

45,722

46,693

49,588

52,336

58,302

30

33,530

34,800

36,250

40,256

43,773

46,979

47,962

50,892

53,672

59,703

Для очень больших н

.

Приложение 4

Греческий алфавит

Б б

альфа

Н н

ню

В в

бета

О о

кси

Г г

гамма

П п

омикрон

Д д

дельта

Р р

пи

Е е

эпсилон

С с

ро

Ж ж

дзета

У у

сигма

З з

эта

Ф ф

тау

И и

тета

Х х

ипсилон

Й й

йота

Ц ц

фи

К к

каппа

Ч ч

хи

Л л

ламбда

Ш ш

пси

М м

мю

Щ щ

омега

ref.by 2006—2019
contextus@mail.ru