Рефераты - Афоризмы - Словари
Русские, белорусские и английские сочинения
Русские и белорусские изложения
 
У нас есть несколько работ на данную тему. Вы можете создать свою уникальную работу объединив фрагменты из уже существующих:
  1. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью 49.9 Кб.
  2. Дифференциальные уравнения 41.4 Кб.
  3. Дифференциальные уравнения движения точки. Решение задач динамики точки 22.9 Кб.
  4. Обыкновенные дифференциальные уравнения 6.3 Кб.
  5. Дифференциальные уравнения 9.2 Кб.
  6. Дифференциальные уравнения 8.6 Кб.
  7. Дифференциальные уравнения в частных производных 40.7 Кб.
  8. Дифференциальные уравнения для электрической цепи 3.5 Кб.
  9. Дифференциальные уравнения и их решение 4.7 Кб.
  10. Дифференциальные уравнения и передаточные функции звеньев САУ 7.4 Кб.

Дифференциальные уравнения

Работа из раздела: «Математика»

Министерство образования РФ

Московский авиационный институт

(государственный технический университет)

Филиал 'Восход'

Кафедра МиПОИС

Курсовая работа

по курсу: Дифференциальные уравнения

Студент гр. ДА 2-40

Воронцов О. В.

Байконур 2005 г.

1. Теоретическая часть

Дифференциальные уравнения, приводящиеся к однородным

Дифференциальные уравнения, которые приводятся к однородным, имеют вид:

Возможны три случая:

1) Когда C1=C2 =0

2) Когда

Когда

Вводятся новые переменные u и х так, чтобы правая часть исходного уравнения в этих переменных была однородной функцией нулевого порядка. А именно, делается замена x=u+h, y= х+k и подбираются постоянные h и k таким образом, чтобы в правой части исходного уравнения после подстановки пропали свободные члены. При подстановке x=u+h, y= х+k в дробь приравниваются нулю свободные члены числителя и знаменателя, то есть записываются два равенства:

Определитель данной системы линейных алгебраических уравнений: , не равен нулю по условию, поэтому система имеет единственное решение, то есть существует единственная пара чисел h и k, такая что при подстановке x=u+h, y= х+k правая часть исходного уравнения принимает вид , а само уравнение: . Полученное уравнение является однородным

2. Практическая часть

Задача 1. Найти общий интеграл дифференциального уравнения:

Решение:

- дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными

Разделим переменные:

Проинтегрируем выражение:

Ответ:

Задача 2. Найти общий интеграл дифференциального уравнения:

Решение:

Следовательно, исходное уравнение является однородным.

Пусть

Произведём замену в исходном уравнении:

- дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными

Разделим переменные:

Проинтегрируем а затем пропотенцируем выражение:

Но

Ответ:

Задача 3. Найти общий интеграл:

Решение:

- дифференциальное уравнение, приводящееся к однородному

Введём новые элементы:

,

где h и k должны удовлетворять уравнениям:

откуда

Таким образом:

откуда

Подставляя это в исходное уравнение, получим

Или

Сделаем подстановку:

-

дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными

Упростим левую часть выражения

1+z=A(z-1)+Bz

Z1: 1=A+B A=-1

z0: 1=-A B=2

Проинтегрируем уравнение (**)

ln|z|-2ln|z-1|=ln|U|+C

Пропотенцируем и подставим значение z в выражение

Упрощая данное выражение, получим:

Ответ:

Задача 4. Найти решение задачи Коши:

Решение:

- линейное уравнение

Воспользуемся методом Бернулли:

a)

Разделим переменные:

Проинтегрируем а затем пропотенцируем данное выражение:

б)

Разделяя переменные, подставляя значение х и интегрируя выражение получим:

Следовательно:

Найдём значение С2

y|п/4=1/2

Ответ:

Задача 5. Решить задачу Коши:

Решение:

- линейное уравнение

Воспользуемся методом интегрирующего множителя:

Ответ:

Задача 6. Найти решение задачи Коши: , y(0)=1

Решение:

- уравнение Бернулли

Подёлим данное уравнение на (:y2):

Произведём замену и подставим её в исходное уравнение:

z=y-1

Следовательно:

- линейное уравнение

Воспользуемся методом Бернулли:

Откуда:

Найдём значение С2

Следовательно:

Ответ:

Задача 7. Найти общий интеграл дифференциального уравнения:

Решение:

- дифференциальное уравнение в полных дифференциалах

Следовательно, левая часть уравнения является полным дифференциалом некоторой функции

(*)

Интегрируем по x первое из уравнений (*), при этом считаем, что С является функцией от y:

Дифференцируя полученное, имеем:

Но

Откуда:

Следовательно:

Ответ:

Задача 8. Для данного дифференциального уравнения методом изоклин построить интегральную кривую, проходящую через точку М.

Решение:

Чтобы решить данное дифференциальное уравнение необходимо построить семейство изоклин, показать на них угол наклона касательных и построить интегральные кривые таким образом, чтобы они пересекали изоклины под соответствующим углом:

Откуда

В результате получим следующий график:

Задача 9. Найти линию, проходящую через точку М0 и обладающую тем свойством, что в любой точке М нормальный вектор с концом на оси ординат имеет длину равную а и образует угол с положительным направлением оси ординат. М0(6;4), a=10

Решение:

Подставляя значения функции в точке M найдём значение С:

Ответ:

Задача 10. Найти общее решение дифференциального уравнения:

Решение:

- дифференциальное уравнение третьего порядка

Пусть

Подставив в исходное уравнение, получим:

Проинтегрируем и поделим на х данное выражение:

Следовательно:

Разделяя переменные и вновь интегрируя, получим:

Повторяем процедуру в третий раз и получаем искомое выражение для y

Ответ:

Задача 11. Найти общее решение дифференциального уравнения:

Решение:

Данное уравнение не содержит х в явном виде

Предположим, что откуда

Тогда исходное уравнение будет выглядеть так:

Разделим переменные и проинтегрируем выражение:

Но. Тогда

Однако: . Поэтому разделим переменные и проинтегрируем выражение:

Выясним значение С2:

Следовательно:

Ответ:

Задача 12. Найти общее решение дифференциального уравнения:

Решение:

- НЛДУ четвёртого порядка

Решение будет записано в виде:

Запишем однородное линейное дифференциальное уравнение (ОЛДУ):

Составим и решим для ОЛДУ характеристическое уравнение:

k4-3k3+3k2-k=0

k1=0

k3-3k2+3k-1=0

k2=1

по методу Горнера:

1 -3 3 -1

1 1 -2 1 0

k3-2k2+1=0

k3,4=1

Общее решение будет равно:

Найдём частное решение:

6A-2Ax-B=2x

Откуда:

Ответ:

Задача 13. Найти общее решение дифференциального уравнения:

Решение:

- НЛДУ с постоянными коэффициентами

Составим ОЛДУ и решим соответствующее характеристическое уравнение

Решение НЛДУ запишется в виде:

Общее решение:

Найдём частное решение дифференциального уравнения:

Подставим найдённое в исходное уравнение и выразим коэффициенты

=>

Частное решение:

Решение дифференциального уравнения:

Ответ:

Задача 14. Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение:

- НЛДУ с постоянными коэффициентами

Общее решение

Найдём частное решение:

Подставим найдённое в исходное уравнение и выразим неизвестные коэффициенты:

Частное решение уравнения:

=

Ответ: =

Задача 15. Найти общее решение дифференциального уравнения:

Решение:

По определению гиперболического синуса:

Найдём общее решение

Найдём частное решение:

Подставив в исходные уравнения, найдём значения коэффициентов:

Ответ:

Задача 16. Решить задачу Коши:

, ,

Решение:

- НЛДУ

Общее решение запишем в виде

Запишем ОЛДУ и найдём корни его характеристического уравнения:

Общее решение имеет вид:

Найдём решение частное:

,

где С1 и С2- решения системы дифференциальных уравнений

По теореме Крамера:

Интегрируя выражения, получим:

Следовательно, решение будет выглядеть так:

Найдём значения С1 и С2

Ответ:

Задача 17. Решить систему дифференциальных уравнений

Решение:

Составим матрицу системы:

Составим характеристическое уравнение det(A-лE)=0, то есть:

Найдём собственные векторы

1)

2)

Запишем общее решение системы уравнений

Отсюда получаем:

Ответ:

Задача 18. Найти кривые, у которых точка пересечения любых касательных с осью абсцисс имеет абсциссу, вдвое меньшую абсциссы точки касания.

Решение:

Но

=>

Разделим переменные:

Проинтегрируем и пропотенцируем выражение:

Ответ:

ref.by 2006—2019
contextus@mail.ru